精品解析：黑龙江哈尔滨市巴彦县华山乡中学2024-2025学年 九年级数学中考模拟练习卷（二）

2024—2025学年度中考模拟练习卷（二） 数学试卷 考生须知： 1.本试卷满分为120分，考试时间为120分钟. 2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效. 4.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 5.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 在，，，0四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 2024年10月30日神舟十九号飞船由长征二号遥十九运载火箭发射升空，飞船进入远地点米的近地轨道．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题，以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图1是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. A B. B C. C D. D 5. □ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ） A. BE=DF B. AE=CF C. AF//CE D. ∠BAE=∠DCF 6. 将抛物线图像先向上平移个单位，再向左平移个单位后的解析式是( ) A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 反比例函数的解析式是 B. 一次函数的解析式为 C. 当时，最大值为1 D. 若，则 9. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度，如图，将长度与旗杆高度相同的拉绳拉到如图的位置，测得（为水平线），测角仪的高度为1米，则旗杆的高度为（ ） A. B. C. D. 10. 笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离y（km）与甲船行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①A，B港口相距400km；②甲船的速度为100km/h；③B，C港口相距200km；④乙船出发4h时，两船相距220km．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 分解因式：___． 13. 计算：_____． 14. 在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的4个红球，3个白球，2个绿球，则摸出一个白球的概率是__________． 15. 如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2026个白色纸片，则n的值为__________. 16. 如图，在中，点分别在边上，且，．若，则的值为__________． 17. 如图，是的直径，交于，两点，，图中阴影部分的面积，则的半径为______. 18. 如，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素.集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）.若集合，我们说.已知集合，集合，若，则的值是__________. 19. 已知正方形中，点在边上，，.点是正方形边上一点，，则__________. 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，BD＝AC，CD＝2，连接AD，若，则AC的长为___． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）. 21. 先化简，再求值：，其中为整数且满足不等式组． 22. 如图，在8×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上． （1）在图1中找一点D（点D在小正方形的顶点上），使四边形ABCD是凸四边形，且∠ADC＝∠ACB： （2）在图2中找一点E（点E在小正方形的顶点上），使四边形ABCE是凸四边形，且∠AEC＝∠ABC； （3）直接写出（2）问中所画四边形ABCE的面积． 23. 冬奥会成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如图统计图（部分信息未给出）. 请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共调查了多少名学生； （2）通过计算补全条形统计图； （3）若该校共有3000名学生，估计爱好自由式滑雪运动的学生有多少人. 24. 如图1，在中，，D是的中点， E是的中点，过点A作交的延长线于点 F． （1）求证： 四边形是菱形； （2）如图2， 若，菱形的面积为，点M在线段上，，求直接写出的长． 25. 某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每套售价至少是多少元？ 26. 已知：为的直径，点C为上一点，连接，，交于点D，交于点E，连接交于点F． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，过点C作，垂足为G，交于点M，过点F作，垂足为N，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作，垂足为H，交于点R，连接，若，，，求线段的长. 27. 如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴，轴于点，点，抛物线经过，两点，并与轴的正半轴交于点． （1）求，的值； （2）如图2，点为第二象限抛物线上一点，连接交于点，设，点的横坐标为，求与的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，点在第一象限，轴，连接，是上一点，连接，交于点，过点作轴，垂足为，为中点，连接，过点作，垂足为，点在上，且，连接，，当，，时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度中考模拟练习卷（二） 数学试卷 考生须知： 1.本试卷满分为120分，考试时间为120分钟. 2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效. 4.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 5.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 在，，，0四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，可得答案． 【详解】解：∵， ∴最小的数为 故选：C． 2. 2024年10月30日神舟十九号飞船由长征二号遥十九运载火箭发射升空，飞船进入远地点米的近地轨道．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握“科学记数法的表示方法为：，”是解题关键． 根据科学记数法的表示方法表示即可． 【详解】解：． 故选：C． 3. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题，以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称；熟练掌握知识点是解题的关键． 4. 如图1是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. A B. B C. C D. D 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：从上边看第一层是一个小正方形，第二层是一个小正方形，右边一个小正方形， 故选A． 5. □ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ） A. BE=DF B. AE=CF C. AF//CE D. ∠BAE=∠DCF 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得． 【详解】A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵BE=DF， ∴OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意； B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意； C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC， ∵AF//CE， ∴∠FAO=∠ECO， 又∵∠AOF=∠COE， ∴△AOF≌△COE， ∴AF=CE， ∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意； D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB//CD， ∴∠ABE=∠CDF， 又∵∠BAE=∠DCF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF，∠AEB=∠CFD， ∴∠AEO=∠CFO， ∴AE//CF， ∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键． 6. 将抛物线图像先向上平移个单位，再向左平移个单位后的解析式是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减的规律，可得答案． 【详解】解：将抛物线图像先向上平移个单位，再向左平移个单位后的解析式是，即． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，主要考查的是函数图像的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 7. 如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，，，求得，根据线段垂直平分线的性质得出，再计算，进而求出结果． 【详解】在中，，， ， 由题意可知： 垂直平分， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8. 如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 反比例函数的解析式是 B. 一次函数的解析式为 C. 当时，最大值为1 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】结合图象，求出两个函数的解析式，再逐一进行判断即可。 【详解】解：A、由图象可知，两个函数图象相交于两个点，其中一个点坐标为， 把代入得，， ，选项错误，不符合题意； B、当时，， 另一个交点坐标为：， 直线解析式为：，分别代入，，得： ， 解得， ，选项错误，不符合题意； C、由图象可知，当时，随的增大而减小，当时，，选项错误，不符合题意； D、由图象可知， ，直线在双曲线的下方，，选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点、反比例函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式．解题的关键是待定系数法求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解． 9. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度，如图，将长度与旗杆高度相同的拉绳拉到如图的位置，测得（为水平线），测角仪的高度为1米，则旗杆的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，先证四边形是矩形，得出，设，则，利用三角函数解即可． 【详解】解：由题意知， 四边形是矩形， ， 设， ， 在中，， 解得， 旗杆的高度为， 故选A． 10. 笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离y（km）与甲船行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①A，B港口相距400km；②甲船的速度为100km/h；③B，C港口相距200km；④乙船出发4h时，两船相距220km．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】①由(0,400)可知A，B港口相距400km； ②甲船4个小时行驶了400km，可以求出甲船的速度； ③先求出乙船的速度，再根据两船同时到达目的地列出等式，可求出B，C港口的距离； ④乙船出发4h时，计算两船与B港口的距离，再相加即可． 【详解】解：由题意和题图，可知A，B港口相距400km，故①正确； 甲船4个小时行驶了400km，故甲船的速度为，故②正确； 乙船的速度为，设B、C港口的距离为skm， 则，解得，故③正确； 乙船出发4h时，两船的距离是，故④错误． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用---路程问题，解答此类问题的关键是根据图像找到一些关键点（如与x轴、y轴的交点，两图像的交点等），分析关键点的实际意义，转化为路程或速度或时间的关系，然后利用题中的等量关系进行解答．这种题型属于常考题型，属较难题. 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】由题意得，， 解得， 故答案为：． 12. 分解因式：___． 【答案】 【解析】 【详解】分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：． 13. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的化简，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的化简，根据特殊角的三角函数值，绝对值的化简，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的化简计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 14. 在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的4个红球，3个白球，2个绿球，则摸出一个白球的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据所求情况数除以总情况数，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴摸出一个白球的概率是 故答案为： 15. 如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2026个白色纸片，则n的值为__________. 【答案】675 【解析】 【分析】本题考查图形的变化，解一元一次方程，根据题目中的图形，可以发现白色纸片个数的变化规律，然后根据第n个图案中有2026张白色纸片，即可求得n的值． 【详解】解：由图可得， 第1个图案中白色纸片的个数为：， 第2个图案中白色纸片的个数为：， 第3个图案中白色纸片的个数为：， …， 第n个图案中白色纸片的个数为：， 令， 解得， 故答案为：675． 16. 如图，在中，点分别在边上，且，．若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例的性质得出，即可得解. 【详解】∵，， ∴ 故答案为：. 【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握，即可解题. 17. 如图，是的直径，交于，两点，，图中阴影部分的面积，则的半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积计算，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，掌握扇形面积公式是解题的关键． 连接，设与交于点，的半径为，根据得到为等边三角形，根据垂径定理得到，，然后证明，得到，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，设与交于点，的半径为， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径，交于，两点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素.集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）.若集合，我们说.已知集合，集合，若，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题以集合为背景考查了代数式求值，根据集合的定义和集合相等的条件即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，，或，，， ∴（舍去）或， ∴， 故答案为：． 19. 已知正方形中，点在边上，，.点是正方形边上一点，，则__________. 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，由正方形的性质得出，，由勾股定理求出；分两种情况：①当点F在边上时，由勾股定理求出，得出，再由勾股定理求出即可；②当点F在边上时，由勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边是正方形， ∴，，， ∴， 分两种情况： ①当点F在边上时，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点F在边上时，如图2所示： ∵， ∴； 综上所述：的长为3或； 故答案为：3或． 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，BD＝AC，CD＝2，连接AD，若，则AC的长为___． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”性质，想到过点A作AE⊥BC，垂足为E，设AB=AC=BD=x，然后在Rt△AED和Rt△AEC中，分别利用勾股定理表示出AE2，建立等量关系即可解答． 【详解】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E， ∵AB=AC，BD=AC， ∴设AB=AC=BD=x， ∵CD=2， ∴BC=BD+CD=x+2， ∵AB=AC，AE⊥BC， ∴BE=EC=1+x， ∴DE=BD-BE=x-1， 在Rt△AED中，AE2=AD2-DE2=（2）2-（x-1）2=−x2+x+7， 在Rt△AEC中，AE2=AC2-EC2=x2-（1+x）2=x2-x-1， ∴−x2+x+7=x2-x-1， 解得：x1=4，x2=-2（不符合题意，舍去）， ∴AC=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两次利用勾股定理建立等量关系，列出方程是解题的关键． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）. 21. 先化简，再求值：，其中为整数且满足不等式组． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解不等式组．先根据分式的混合运算法则化简原式，再解不等式组求出的取值范围，结合为整数，确定的值，最后代入原式计算即可． 【详解】解： ， ， 解不等式得：， 解不等式得：， 故不等式组的解为：， 又∵为整数， ∴， 将代入，原式． 22. 如图，在8×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上． （1）在图1中找一点D（点D在小正方形的顶点上），使四边形ABCD是凸四边形，且∠ADC＝∠ACB： （2）在图2中找一点E（点E在小正方形的顶点上），使四边形ABCE是凸四边形，且∠AEC＝∠ABC； （3）直接写出（2）问中所画四边形ABCE的面积． 【答案】（1）画图见解析； （2）画图见解析； （3）10． 【解析】 【分析】（1）根据网格可得∠ACB=90°，然后以AC为斜边作∠ADC=90°即可； （2）根据平行四边形两组对角分别相等，过A作BC和AB的平行线，两线交点就是E； （3）求出所画四边形ABCE的面积． 【小问1详解】 如图1所示： 【小问2详解】 如图2所示： 【小问3详解】 ． 【点睛】此题主要考查了复杂作图及求四边形的面积，关键是掌握平行四边形的性质和直角三角形的判定和作法． 23. 冬奥会成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如图统计图（部分信息未给出）. 请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共调查了多少名学生； （2）通过计算补全条形统计图； （3）若该校共有3000名学生，估计爱好自由式滑雪运动的学生有多少人. 【答案】（1）一共调查了100名学生 （2）见解析 （3）估计爱好自由滑雪运动的学生有900人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，抽样调查的可靠性，样本估计总体等．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）由爱好花样滑冰运动的40人，占调查人数的，即可求出调查人数； （2）求出爱好单板滑雪、爱好自由式滑雪的学生数，补全条形统计图即可； （3）用爱好自由式滑雪运动的学生占调查人数的比例乘以3000即可求解． 【小问1详解】 解： 答：一共调查了100名学生 【小问2详解】 解：（人）， （人） 补全图形如下： 【小问3详解】 解：（人） 答：估计爱好自由滑雪运动的学生有900人. 24. 如图1，在中，，D是的中点， E是的中点，过点A作交的延长线于点 F． （1）求证： 四边形是菱形； （2）如图2， 若，菱形的面积为，点M在线段上，，求直接写出的长． 【答案】（1）见详解 （2）的长为3或5 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质可得，，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）利用（1）的结论可得菱形的面积的面积，再根据点是的中点，可得的面积的面积，进而可得菱形的面积的面积，然后利用三角形的面积进行计算，再结合边之间关系得出，则，，作图进行分类讨论，即可解答． 本题考查了菱形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：， ，， 点是的中点， ， ， ， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， 菱形的面积的面积， 点是的中点， 的面积的面积， 菱形的面积的面积， ， ， ， ∵ ∴， ∴ 过点A作，如图： ∴在中， ∴， 在中， 当在上时， 当在上时， 综上：的长为3或5 25. 某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每套售价至少是多少元？ 【答案】（1）600套 （2）200元 【解析】 【分析】此题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量及不等关系，正确列方程和不等式求解． （1）设商场第一次购进x套运动服，根据“第二批所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元”即可列方程求解； （2）设每套运动服的售价为y元，根据“这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于200”即可列不等式求解． 【小问1详解】 解：设商场第一次购进x套运动服， 由题意得 解得， 经检验，是所列方程的根， ∴． 答：商场两次共购进这种运动服600套； 【小问2详解】 解：设每套运动服的售价为y元， 由题意得， 解得， 答：每套运动服的售价至少是200元． 26. 已知：为的直径，点C为上一点，连接，，交于点D，交于点E，连接交于点F． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，过点C作，垂足为G，交于点M，过点F作，垂足为N，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作，垂足为H，交于点R，连接，若，，，求线段的长. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据平行线的性质得出，根据垂径定理得出，证明，即可得出答案； （2）过作于点S，根据角平分线性质得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，证明四边形为矩形，得出，证明，根据线段间数量关系得出答案即可； （3）证明，则，根据，可求，，（舍），求出，求，则，证明，可求． 【小问1详解】 证明：为直径， ， ∵， ， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 证明：如图，过作于点S， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ∵ ∴四边形为矩形， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， 经检验：是所列方程的解， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，勾股定理，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形的性质等知识，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴，轴于点，点，抛物线经过，两点，并与轴的正半轴交于点． （1）求，的值； （2）如图2，点为第二象限抛物线上一点，连接交于点，设，点的横坐标为，求与的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，点在第一象限，轴，连接，是上一点，连接，交于点，过点作轴，垂足为，为中点，连接，过点作，垂足为，点在上，且，连接，，当，，时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得和，代入即可求解； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交于点．通过平行线的判定结合相似三角形的判定和性质得，设，得，解一元二次方程可得，即可求解； （3）延长，作交于点．设，利用平行的性质和三角形的外角性质得， ，即可得．利用勾股定理求解，通过全等三角形的判定和性质得，，再利用三角函数即可推出．利用等量代换和等腰三角形的判定和性质得，设点的坐标为，点的坐标为，通过解一元二次方程即可求解答案． 【小问1详解】 由可求，令，则，则， ， ， ， 令，则，，代入可求， ，，． 【小问2详解】 如图，过点作轴于点，交于点，过点作轴交于点． ， ， ， ，即． ， ， ， 由，令，则， 解得或， ，， ， . 【小问3详解】 如图，延长，作交于点． 设，则，可求， 轴， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，解得（舍去）或， ． ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ，， ． ， ， 轴， 轴， ， ，． 设点的坐标为，点的坐标为， ， 解得或（舍去）． ． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与二次函数图像的交点坐标求法，相似三角形的判定与性质，平行的判定和性质，解一元二次方程，三角形的外角性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角函数，全等三角形的判定与性质等，理解题意并作出适合的辅助线、熟练掌握各种判定与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $