16.1 第2课时 二次根式的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

16.1 二次根式 第2课时 二次根式的性质 第16章 二次根式 优翼八下数学教学课件（HK） 情景引入 问题1 下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入 客厅？ 算术平方根之门 平方之门 a a≥0 我们都是非负数哟！ 0 -4 -1 1 导入新课 问题2 若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？ 算术平方根之门 平方之门 a a 为任 意实数 思考 你发现了什么？ 0 -4 -1 1 16 4 1 我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数. 正方形的边长为 ， 用边长表示正方形的面积为 ， 又∵ 面积为 a， ∴ . 活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为 a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积. 你发现了什么？ 这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？ （a≥0）的性质 新课讲授 活动2 为了验证活动 1 的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空．你又发现了什么？ ... 算术平方根 平方运算 0 2 4 ... a(a≥0) 02 = 0 ... 观察两者有什么关系？ 22 = 4 4 2 0 根据活动 2 直接写出结果，然后根据活动 2 的探究过程说明理由： 是 2 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于 2 的非负数. 因此 . 同理， 分别是 0，4， 的算术平方根，即得上面的等式. 归纳总结 的性质： 一般地， ＝a (a≥0). 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件，这是使二次根式 有意义的前提条件. 典例精析 例1 计算： 解： (2)可以用到幂的哪条运算性质呢？ 积的乘方： (ab)2 = a2b2 例2 在实数范围内分解因式： 解： 本题逆用了 在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用. 归纳 练一练 计算： 解： ... 平方运算 算术平方根 2 0.1 0 ... a(a≥0) 2 ... 观察两者有什么关系？ 填一填： ＝a (a≥0) 的性质 ... 平方运算 算术平方根 -2 -0.1 ... 2 ... 观察两者有什么关系？ a(a＜0) 思考：当 a＜0 时， = ？ -a 归纳总结 a (a≥0) -a (a＜0) 即任意一个数的平方的算术平方根等于原数的绝对值. 的性质： 例3 化简： 解： ，而 3.14＜π，要注意 a 的正负. 注意 计算： 练一练 解： 辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错． （ ） （ ） （ ） （ ） × × √ √ 议一议：如何区别 与 ？ 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 先开方，后平方 先平方，后开方 a≥0 a取任何实数 a |a| 意义 表示一个非负数 a 的算术平方根的平方 表示一个实数 a 的平方的算术平方根 例4 实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，请你化简： 解：由数轴可知 a＜0，b＞0，a - b＜0， ∴ 原式 = |a| - |b| + |a - b| = - a - b - (a - b) = - 2a. a b 【变式题】实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，化简： . 解：根据数轴可知 b＜a＜0， ∴ a + 2b＜0，a - b＞0， 则 = | a + 2b | + | a - b | = - a - 2b + a - b = - 3b． 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据 a，b 的大小讨论绝对值内式子的符号. 注意 例5 已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，化简： 解：∵ a、b、c 是 △ABC 的三边长， ∴ a + b + c ＞0，b + c ＞ a，b + a ＞ c， ∴ 原式 = |a + b + c| - |b + c - a| + |c - b - a| = a + b + c - (b + c - a) + (b + a - c) = a + b + c - b - c + a + b + a - c = 3a + b - c． 分析： 利用三角形三边关系 三边长均为正数，a + b + c ＞ 0 两边之和大于第三边，b + c - a＞0，c - b - a ＜ 0 1.化简 得（ ） A. ±4 B. ±2 C. 4 D.-4 C 2. 当 1 < x < 3 时， 的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 1 D. -1 D 当堂练习 3. 化简： （1） = ； （2） = ； （3） ；（4） . 3 7 4 81 -1 0 1 2 a 4. 实数 a 在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是 . 1 5.利用 a ＝ (a≥0)，把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式： (1) 9； (2) 5； (3) 2.5； (4) 0.25； (5) ； (6) 0. 6.(1)已知 a 为实数，求代数式 的值. 解：由题意得 a + 2 ≥ 0，-4 - 2a ≥ 0， ∴ a = -2． ∴ . (2)已知 a 为实数，求代数式 的值. 解：由题意得 -a2≥0，又∵a2≥0， ∴ a2 = 0．∴ a = 0． ∴ 能力提升： 二次根式 性质 = a (a≥0) 拓展性质 |a|(a 为任意实数) 课堂小结 $$