第一章 1.4 第2课时 三角形三条内角的平分线（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

新知一览 等腰三角形 三角形的证明 线段的垂直平分线 角平分线 直角三角形 三角形三条内角的平分线 角平分线 1.4 角平分线 第一章 三角形的证明 第2课时 三角形三条内角的平分线 八年级下册数学（北师版） 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 结论：三角形的三条角平分线相交于一点. 情景导入 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？ 结论：过交点作三角形三边的垂线段相等. 你能证明以上两个结论吗？ 已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F. 求证：∠A 的平分线经过点 P，且 PD = PE = PF. 证明结论 D E F A B C P N M 三角形的内角平分线 1 探究新知 ∴点 P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)， 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即∠A 的平分线经过点 P. D E F A B C P N M 证明：BM 是 △ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，且 PD⊥AB，PE⊥BC，垂足为 D，E， ∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 结论：三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等. 归纳总结 例1 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. (1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长； E D A B C 解：∵ AD 是△ABC 的角平分线， DE⊥AB，垂足为 E， ∴ DE = CD = 4 cm. ∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC. ∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE. 在等腰 Rt△BDE 中， (2) 求证：AB＝AC＋CD. 证明：由 (1) 的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED (HL). ∴ AC＝AE. ∵ BE＝DE＝CD， ∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD. E D A B C 例2 如图，在直角△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM＝4， (1) 点 O 到△ABC 三边的距离和 为 . M A B C P O D 温馨提示：不存在垂线段——构造应用 12 E N 解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，ON⊥BC 于点 N，连接 OC. (2) 若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积. M E N A B C P O D 例3 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC 的度数为 (　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 解析：O 到△ABC 三边的距离相等，所以 O 是内心，即三条角平分线的交点，故 BO，CO 都是内角平分线， 则∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180° － 70°＝110°. 三角形内角 平分线的性质 性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 应用：位置的选择问题 当堂小结 1. 如图，已知 △ABC，求作一点 P，使 P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB．下列确定 P 点的方法正确的是 ( ) A. P 为∠A，∠B 两角平分线的交点 B. P 为∠A 的平分线与 AB 的垂直平分线的交点 C. P 为 AC，AB 两边上的高的交点 D. P 为 AC，AB 两边的垂直平分线的交点 B 课堂练习 2. 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，DE⊥AB， ∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm， 那么 AE + DE = cm. C A B E D 6 3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ( ) A. △ABC 的三条中线的交点 B. △ABC 三边的垂直平分线的交点 C. △ABC 三条角平分线的交点 D. △ABC 三条高所在直线的交点 C 4. 已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD = DF. 求证：CF = EB. 证明：∵ AD 平分∠CAB， DE⊥AB，∠C = 90° (已知)， ∴CD＝DE (角平分线的性质). 在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中， 　　 CD = ED (已证)， DF = DB (已知)， ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL). ∴ CF = EB (全等三角形的对应边相等). C F A E D B P1 P2 P3 P4 l1 l2 l3 5. 如图，直线 l1、l2、l3 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处? 画出它的位置. $$