第一章 1.4 第1课时 角平分线的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

新知一览 优翼 等腰三角形 三角形 直角三角形 的证明 线段的垂直 角平分线 平分线 角平分线 三角形三条内 角的平分线 优翼 八年级下册数学（北师版） 第一章 三确形的证明 1.4角平分线 第1课时角平分线 情景导入 优翼 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路.图中 点M,N表示大学，OA,OB表示公路，现计划修建 一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到 两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在 什么位置吗？请在图中画出你的设计.（尺规作图，不 写作法，保留作图痕迹) M B 探究新知 优翼 角平分线的性质 在∠AOB的角平分线上任意取一点C,分别折出过 点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D, E,将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗？ 改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗？ 对此你能得出什么结论？动手证一证. A 结论：角的平分线上的点到角 的两边的距离相等， E 结论证明 优翼 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E 求证：PD=PE D 证明：PD⊥OA,PE⊥OB,垂 足分别为D,E, ∴.∠PDO=∠PEO=90°. OC是∠AOB的平分线， E B ∴.∠1=∠2. .'.△PDO≌△PEO(AAS). OP =OP, ∴.PD=PE(全等三角形的对应边相等) 知识要点 优翼 +44 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 应用所具备的条件： ()角的平分线； (2)点在该平分线上； 3)垂直距离 定理的作用：证明线段相等 应用格式： E B OP是∠AOB的平分线， 推理的理由有三个，必须 PD⊥OA,PE⊥OB, 写完全，不能少了任何一 PD-PE 个 (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) 典例精析 优翼 例1如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上， PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是D、E,PD=4cm, 则PE=4 cm. 温馨提示：存在两条垂线段—一直接应用 2 角平分线的判定 优翼 00 类比探究 定理：角的平分线上的点到角的两边 的距离相等， 逆命题 E B 在一个角的内部，到角的两边距 离相等的点在这个角的平分线上」 它是真命题吗？你能证明吗？ 结论证明 优翼 已知：如图，点P为是∠AOB内一点，PDLOA,PE⊥ OB,垂足分别为D、E,且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明：.PD⊥OA,PE⊥OB, D 垂足分别为D,E, ∴.∠ODP=∠OEP=90° .'PD=PE,OP=OP, Rt△DOP≌Rt△EOP(HL). E B ∠1=∠2（全等三角形的对应角相等） OP平分∠AOB. 知识要点 优翼 判定定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上， 应用所具备的条件： ()位置关系：点在角的内部； (2)数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上 应用格式： PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE, 点P在∠AOB的平分线上 E B