第一章 1.2 第2课时 直角三角形全等的判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

现在学习应用斜边直角边定理，画一个三角形，与已知三角形全等，先画一条直线。在直线上任取一点C瞥。过CP做已知直线的垂线段。截取C为。截取CPA等于CA。进行CPAP等于CA。以为撇为圆心为B长为半径，画弧与前直线相交，交点为B瞥。连接A品B品。这是三角形A撇、B撇、C撇与三角形ABC全等。 新知一览 等腰三角形 三角形的证明 线段的垂直平分线 角平分线 直角三角形 直角三角形全等的判定 直角三角形的性质与判定 1.2 直角三角形 第一章 三角形的证明 第2课时 直角三角形全等的判定 八年级下册数学（北师版） 问题1 ：我们学过哪些判定三角形全等的方法？ 问题2 ：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗? 如果其中一组等边所对的角是直角呢? 复习回顾 问题： 如果这两个三角形都是直角三 角形，即∠B =∠E = 90°， 且 AC = DF，BC = EF，现在能 判定△ABC≌△DEF 吗？ A B C D E F 直角三角形全等的判定 1 探究新知 做一做 已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形. 已知：如图，线段 a，c (a＜c)，直角 α. 求作：Rt△ABC，使∠C = ∠α，BC = a，AB = c. α a c 结果展示 (1) 先画 ∠MCN＝∠α＝90°. (2) 在射线 CM 上截取 CB＝a. A M C M (3) 以点 B 为圆心，线段 c 的长为半径作弧，交射线 CN 于点 A. (4) 连接 AB，得到Rt△ABC. B α a c 视频观看 结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 已知：如图，在△ABC 与△A′B′C′ 中，∠C′ =∠C = 90°， AB = A′B′，AC = A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′ 证明：在△ABC中， A B C A′ B′ C′ ∴ △ABC≌△A'B'C'( SSS ) . ∴ BC＝B'C'. ∵AB＝A'B'，AC＝A'C'， 同理，B'C' 2＝A'B' 2－A'C' 2. ∴ BC2＝AB2－AC2 (勾股定理). ∵∠C＝90° 验证结论 归纳总结 文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言： “斜边、直角边”判定方法 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL). AB = A′B′， BC = B′C′， A B C A′ B′ C′ 例1 已知：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD， 求证：BC = AD. 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角. AB = BA， AC = BD. 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC = AD. A B D C 应用“HL”的前提条件是在直角三角形中 这是应用“HL”判定方法的书写格式. 利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路 典例精析 变式1：如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，要证明△ABC ≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) A B D C AD＝BC ∠DAB＝∠CBA BD＝AC ∠DBA＝∠CAB HL HL AAS AAS 例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？ BC = EF，AC = DF， ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B = ∠DEF (全等三角形的对应角相等). ∵∠DEF +∠F = 90°(直角三角形的两锐角互余)， ∴∠B +∠F = 90°. 解：根据题意，可知 ∠ABC = ∠DEF = 90°， B A D F C E 证明：∵ AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且 AD＝AF，AC＝AE， ∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL). ∴ CD ＝ EF. ∵ AD ＝ AF，AB ＝ AB， ∴ Rt△ABD≌Rt△ABF (HL). ∴ BD＝BF. ∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE. 1. 如图，已知 AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，若 AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE. 练一练 “斜边、直角边” 内容 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 前提条件 在直角三角形中 使用方法 只须找除直角外的两个条件即可 (两个条件中至少有一个条件是一组边相等) 当堂小结 1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有 ( ) A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一条直角边对应相等 D. 两个锐角对应相等 D 2. 如图，△ABC 中，AB = AC，AD 是高，则 △ADB 与△ADC (填“全等”或“不全等”)，依据是 (用简写法). 全等 HL ┑ 课堂练习 3. 如图，在 △ABC 中，已知 BD⊥AC，CE⊥AB， BD = CE. 求证：△EBC≌△DCB. A B C E D 证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC =∠BDC = 90°. 在 Rt△EBC 和 Rt△DCB 中， CE = BD， BC = CB， ∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL). 4. 如图，有一直角三角形 ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段 PQ＝AB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动，问 P 点运动到 AC 上什么位置时 △ABC 才能和△APQ 全等？ 解：(1)当 P 运动到 AP＝BC 时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中， ∵ PQ＝AB，AP＝BC， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△QPA (HL). ∴ AP＝BC＝5 cm. 能力拓展 (2) 当 P 运动到与 C 点重合时，AP＝AC. 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中， ∵ PQ＝AB，AP＝AC， ∴ Rt△QAP≌Rt△BCA (HL)， ∴ AP＝AC＝10 cm. ∴ 当 AP＝5 cm 或 10 cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等. 【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解． Lavf57.41.100 $$