第04讲 排列组合（十大重难点）-2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第04讲 排列组合 一、计数原理 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 拓展：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法2．分布乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 拓展：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法 注意：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步． 二、排列的定义及排列数 1.排列的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. 2.排列数:从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示. 3排列数公式:,并且.从形式上看排列数等于从开始的个连续自然数相乘. 全排列:特别地,个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列. 的阶乘:正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用!表示.规定:, 三、组合的定义及组合数 组合的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素作为一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示. 组合数公式：,这里,并且. 规定. 组合数的性质:（1） ;（2） 四、排列组合数的应用 1.没有限制条件的排列问题：对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,分清元素和位置即可. 2.有限制条件的排列问题：分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法. 3.相邻问题：采用捆绑法；不相邻问题：采用插空法 4.定序问题：可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列. 5.有限制条件的组合问题：①直接法：“特殊元素优先选取”的原则；②间接法：先不考虑限制条件计算选法种数,然后排除不满足条件的选法 6.平均分组问题：一般先分堆，再除以. 7.不平均分组问题：先分堆，其中有组个数一样，再除以 8.相同元素的“分配”问题：“隔板法”：将个相同的元素分成份,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中， 重难点01两个计数原理的应用 【解题必备】 利用分类加法计数原理计数时的解题步骤：①分类:将完成这件事的方法分成若干类；②计数:求出每一类的方法数.③结论:将每一类的方法数相加得出结果. 利用分步乘法计数原理计数时的解题步骤：①分步:将完成这件事的过程分成若干步；②计数:求出每一步的方法数；③结论:将每一步中的方法数相乘得出最终结果. 例1．在如图所示的电路（规定只能闭合其中2个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有 种． 例2．勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．120 B．240 C．300 D．320 【跟踪练习】 练习1．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个袋子中分别取1个球，不同的取法种数是（   ） A．5 B．6 C．11 D．30 练习2．将个相同的红球个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放个球，则不同的放法有 种（数字作答）. 练习3．假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖元的货款，则有 种不同的支付方式． 练习4．已知集合，直线中的是取自集合中的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为锐角，符合以上所有条件的直线的条数为（    ） A．40 B．32 C．24 D．23 重难点02排列数、组合数的化简与证明 【解题必备】 涉及具体数字问题可以直接运算和； 的主要作用:一是计算较大时的数;二是对含有字母的组合数的式子进行变形和证明. 例3． （   ） A．15 B．30 C．35 D．42 例4．已知，且，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．计算： ． 练习2．计算的值为 ． 练习3．（多选）若，为正整数且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 练习4．化简结果为（    ） A． B． C． D． 重难点03排列组、组合数的方程及不等式 【解题必备】 排列数，组合数中的隐含条件,且,求解时应检验其结果是否满足这一条件. 例5．已知＋1，则n＝ ． 例6．求解下列方程和不等式. (1)（）； (2)（）. 【跟踪练习】 练习1．（1）若，则x= . （2）不等式的解集为 . 练习2．解下列方程： (1)； (2). 练习3．若，求m. 练习4．（1）解方程：； （2）解不等式： 重难点04相邻问题和不相邻问题 【解题必备】 相邻问题采用捆绑法；不相邻问题采用插空法 例7．某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的号，其中甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数，且甲、乙不相邻，则这六人不同的座位安排方法种数为（    ） A．48 B．96 C．128 D．186 例8．数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有（    ） A．48种 B．40种 C．32种 D．24种 【跟踪练习】 练习1．把除颜色外完全相同的5个红球和4个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为 用数字作答 练习2．由一个1、两个2和三个3排列成一个六位数，则所有相同数字都不相邻的概率为 . 练习3．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会获得40金27银24铜共91枚奖牌，金牌数与美国队并列排名第一､创造了参加境外奥运会的最佳战绩.巴黎奥运会中国内地奥运健儿代表团于8月29日至9月2日访问香港､澳门.访问期间，甲､乙､丙3名代表团团员与4名青少年站成一排拍照留念，若甲､乙､丙互不相邻，则不同的排法有（    ） A．2880种 B．1440种 C．720种 D．360种 练习4．求下列问题的排列数： (1)4名男生3名女生排成一排，3名女生相邻； (2)4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相邻； (3)4名男生3名女生排成一排，女生不能排在两端. 重难点05定序问题 【解题必备】 定序问题采用倍缩法：先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列 例9．今有2个红球，3个黄球，同色球不加以区分，将这5个球排成一行，则不同的排法种数为（    ） A． B． C． D． 例10．某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会.晚会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则增加的2个教师节目有 种不同排法（用数字作答） 【跟踪练习】 练习1．小武是1993年12月18日出生的，他设置家里的电子门锁的时候打算用他的出生年、月、日中的8个数字进行排列得到一个8位数的密码，那么小武同学可以设置的不同密码的个数为（    ） A．2760 B．3180 C．3200 D．3360 练习2．甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．360 B．480 C．600 D．720 练习3．《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 练习4．有6位同学排成一排准备拍照，拍照前加入了2位同学，如果要求他们仍站成一排，同时原来6位同学的相对顺序保持不变，则有 种不同的站法．（用数字作答） 重难点06多面手问题 【解题必备】 一般要通过分类讨论，根据多面手参与的角色类型拆分计算。通常将多面手视为“动态元素”，分析其被分配到不同任务的情况（例如不参与、参与A任务、参与B任务或同时参与两种任务等），再结合剩余单一能力者进行组合计算。该方法通过穷举多面手的所有合理分配路径，结合加法原理完成整体计数。 例11．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ）． A．26种 B．31种 C．36种 D．37种 例12．某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有 种不同的选法.（用数字作答） 【跟踪练习】 练习1．有11名学生是数学物理竞赛队员，有5人只擅长数学，4人只擅长物理，还有2人数学和物理都精通，现在要从11人中选4人参加数学竞赛，选4人参加物理竞赛，且数学物理竞赛时间相同，则组队方案有（    ） A．120种 B．185种 C．245种 D．285种 练习2．已知某射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有 种．（用数字作答）． 练习3．9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌，2人只会跳舞，其余3人既会唱歌又会跳舞，现从中选6人，3人唱歌，3人跳舞，共有 种不同的选法. 练习4．现有10名运动员，其中有8名擅长铁饼运动，5名擅长跳高运动，3名既擅长铁饼又擅长跳高运动.现要从中选4人参加一个2人铁饼，2人跳高的混合田径比赛，则有 种不同的参赛方法（用数字作答）. 重难点07涂色问题 【解题必备】 1.按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析; 2.以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析; 3.对于空间涂色问题，通常将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题来解决. 例13．已知五个区域A，B，C，D，E依次相邻，如图所示，现在给这5个区域涂色，要求相邻的两个区域不能涂相同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法有（    ） A．1140 B．1200 C．1280 D．1400 例14．如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）．    A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 【跟踪练习】 练习1．如图，用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ）    A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 练习2．四色定理（Four color theorem）又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是1852年由毕业于伦敦大学的格斯里（Francis Guthrie）提出来的，其内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色．”四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理．现某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的侧面和下底面染色，提出如下的“四色问题”：要求相邻两个面不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方案有 种． 练习3．如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有 种不同的着色方法. 练习4．现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有 种. 重难点08分组分配问题 【解题必备】 完全均匀分组，应注意不要重复，有组均匀，最后必须除； 部分均匀分组，应注意不要重复，有组均匀，最后必须除； 完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象 例15．在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 例16．正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华•龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有5名大学生将前往3处场地开展志愿服务工作.若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加且只能去一处场地，则当甲去场地时，场地有且只有1名志愿者的概率为（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．某高校要在假期安排甲、乙等名大学生到、、三个公司进行社会实践，要求每个公司都要有大学生去，且甲和乙都不能去公司，则不同的安排方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 练习2．某宾馆安排甲、乙、丙、丁、戊五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且甲和乙住同一个房间，则共有 种不同的安排方法．（用数字作答） 练习3．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统．学生李华计划在高一年级每周一至周五每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》《三国演义》《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有 种．（用数字作答） 练习4．某宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，假设该晚会要安排这6名同学参加文艺演出，其中有三个节目，均要求至少一人且至多三人参与，求有多少种不同的安排方法． 重难点09隔板法 【解题必备】 隔板法：将个相同的元素分给个不同的对象，有种方法可描述为个空中插入块板. 例17．把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（    ） A．60 B．36 C．30 D．12 例18．四元一次方程的正整数解有 组，非负整数解有 组． 【跟踪练习】 练习1．6本相同的书分给4名同学，每人至少一本，有多少种不同的分法？ 练习2．某校准备参加2024年高中数学联赛，把10个选手名额分配给高三年级的3个教学班.若每班至少一个名额，则不同的分配方案有 种.（用数字作答） 练习3．现有15个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少3个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（　　） A．15种 B．35种 C．70种 D．125种 练习4．某校高一数学兴趣小组一共有15名学生，学号分别为，，，…，，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 种不同的选择方法. 重难点10数字排列问题 【解题必备】 首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数，两位及其以上的数首位数字不能是0,被3整除的数各数位上的数字之和能被3整除，等等;最后先分类再分步，从特殊数字或特殊位置入手进行组数. 例19．如图，在两行三列的网格中放入标有数字的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为7”的不同的排法有（    ） A．16种 B．32种 C．64种 D．96种 例20．把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们由大到小的顺序排成一个数列. (1)求43251是这个数列的第几项； (2)求这个数列的第26项； (3)求这个数列的所有项的和. 【跟踪练习】 练习1．用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 .（结果用数字作答） 练习2．小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以适当的方式全部放入表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（    ） A．42 B．38 C．54 D．48 练习3．用1~9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数共有 个 练习4．（1）用、、、、、可以组成多少个无重复数字的密码箱的四位密码； （2）用、、、、、可以组成多少个无重复数字的比大的四位偶数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$20242025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及其题训练（人教A版） 第04讲排列组合 重难点目录 数字排列问题 两个计数原理的应用 隔板法 排列数、组合数的化简与证明 分组分配问题 排列组、组合数的方程及不等式 排列组合 涂色问题 相邻问题和不相邻问题 多面手问题 定序问题 知积梳理 一、计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有？种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成 这件事共有N=m+n种不同的方法 拓展：完成一件事有”类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的 方法，，在第n类方案中有m。种不同的方法，那么完成这件事共有N=m十m2十..十m。种不同的方法 2.分布乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m×n种不同的方法 拓展：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，，做第n 步有m。种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×m2×.…×m。种不同的方法 注意：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则， 是分步。 二、排列的定义及排列数 1排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列， 1 20242025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版） 2排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 排列数用符号A”表示 3排列数公式：A"=n(n-1)(n-2).(n-m+1),m,n∈N°，并且m≤n从形式上看排列数A等于从n开始的 m个连续自然数相乘 全排列：特别地.n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列 n的阶乘：正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n表示规定：0！=1，A= n! (n-m)1 三、组合的定义及组合数 组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 组合数用符号C”表示 组合数公式：C= _n(n-1)(n-2)...(n-m+D)n! A ,这里m,n∈N,并且m≤n 7m! m(-m)！ 规定C%=1 组合数的性质：(1)C=Cm:(2)C”1=C+C 四、排列组合数的应用 1没有限制条件的排列问题：对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，分清元素和位置即可. 2.有限制条件的排列问题：分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优 先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法 3.相邻问题：采用捆绑法：不相邻问题：采用插空法 4.定序问题：可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 5有限制条件的组合问题：①直接法：“特殊元素优先选取”的原则：②间接法：先不考虑限制条件计算选 法种数，然后排除不满足条件的选法 6.平均分组问题：一般先分n堆，再除以A”, 7.不平均分组问题：先分n堆，其中有m组个数一样，再除以4 8.相同元素的“分配”问题：“隔板法”：将n个相同的元素分成m份，每份至少一个元素，可以用m一1块隔 板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中， 20242025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版） 重难点训练 重难，点01两个计数原理的应用 【解题必备】 利用分类加法计数原理计数时的解题步骤：①分类：将完成这件事的方法分成若千类：②计数：求出每一类的 方法数③结论将每一类的方法数相加得出结采 利用分步乘法计数原理计数时的解题步骤：①分步：将完成这件事的过程分成若千步：②计数：求出每一步的 方法数：③结论：将每一步中的方法数相乘得出最终结采 例1.在如图所示的电路（规定只能闭合其中2个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有种 【答案】6 【详解】由题意可知，在该电路中，只有先闭合A组2个开关中的任意1个， 再闭合B组3个开关中的任意1个后，接通电源，灯泡才能发光 因此要完成这件事，需要分两步，所以接通电源使灯泡发光的方法种数为 故答案为：6 例2.勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这 三段圆弧组成的曲边三角形现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色，规定每个区域 只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为() A.120 B.240 C.300 D.320 【答案】D 【详解】先涂中间，有5种选色，再逐个涂旁边部分，都有4种选色由分步乘法计数原理得不同的涂色方 案种数为5×4×4×4=320 故选：D 3 20242025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版） 【跟踪练习】 练习1.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个袋 子中分别取1个球，不同的取法种数是() A.5 B.6 C.11 D.30 【答案】D 【详解】根据分步乘法计数原理不同的取法种数为 种： 故选：D 练习2，将2个相同的红球2个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放 法有」 种（数字作答）. 【答案】7 【详解】若一个盒子中放1个红球，另一个盒子中放2个黑球、1个红球，则有2种不同的方法： 若一个盒子中放1个黑球，另一个盒子中放2个红球、1个黑球，则有2种不同的方法： 若两个盒子中一个盒子放2个红球，另一个盒子放2个黑球，则有2种不同的方法： 若两个盒子中都放1个红球、1个黑球，则有1种方法 故不同的放法有7种， 故答案为：7 练习3，假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖 元的货款，则有种不同的支付方式. 【答案】6 【详解】9元的支付有两种情况：5+2+2或者5+2+1+1， 200元的支付方式为2×100或者1×100+2×50或者1×100+1×50+2×20+10，共3种方式， 10元的支付只能用1张10元，所以总的支付方式共有2×3×1=6（种）， 故答案为：6 练习4.已知集合M={-2,-1,0,1,3引，直线Ax+y+C=0中的A,B,C是取自集合M中的三个不同元素，并 且该直线的倾斜角为锐角，符合以上所有条件的直线的条数为() A.40 B.32 C.24 D.23 【答案】D 【详解】由直线的倾斜角为锐角可知斜率一定存在，可得B≠0， 20242025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版） 且k=合>0，所以4B异号， 从集合M={-2,-1,0,1,3引中任取三个不同元素，且A,B异号， 易知A有4种选法，B有2种选法，C有3种选法，共有4×2×3=24种， 又因为当A=1,B=-1,C=0和A=-1,B=1,C=0时，都表示直线x-y=0, 所以符合条件的直线的条数为24-1=23种 故选：D 重难点02排列数、组合数的化简与证明 【解题必备】 涉及具体数字问题可以直接运算A”=nn-1(n-2)(n-m+1)和C”=m-1n-2).(n-m+) m! A,C的主要作用：一是计算m,川较大时的数：二是对含有字母的组合数的式子进行变形和证明 7! 例3.C94（） A.15 B.30 C.35 D.42 【答案】B 【1a.0 故选：B 例4.已知m,n∈N且m≤n,则下列等式正确的是() A.Aio=Aio B.C=A 4! C.n+川A=A D.C=m+ 【答案】C 【详解】对于A,A。=10×9×8×7,A。=10×9×8×7×6×5,A错误： 对于BCG=货B结误 F6g品" 所以(n+I)A:=A,C正确： mi(t C n! 对于D,C= 5 20242025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版） 故选：C 【跟踪练习】 练习1.计算：C+C0= 【答案】7 【详解】 0≤5-n≤n 0≤10-n≤n+1' 2Sn55.-neN'. n=5,Cg*+C=Cg+Cg=1+6=7 故答案为：7 练习2.计算2C；+3A的值为」 【答案】102 【详解】依题意，2C+3A?=2×7x6 +3×5×4=42+60=102 2×1 故答案为：102 练习3.（多选）若m,n为正整数且n>m>1,则下列等式正确的是() A.mC:=nC B.C3+C2+C++C2024=C02 C.若A=12×11×…×6,则m=6 D.A+mA=A 【答案】ABD 【详解】因为m,n为正整数且n>m>1, n! (n-1! 对于选项A:因为mC”=m 'm(n-m)!(m-)(n-1)-(m-1) =nC,故A正确： 对于选项B:因为C+C。=C 则C+C+C++C3=C+C+C++C =C;+C+…+C024=C6+C6++Ci04 ==Ci024+C3024=C30as 所以C+C+C+…+C4=Cas,故B正确： 20242025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版） 对于选项C:因为A8=12×11×…×6= 124 2-7A2,所以m=7,故C错误 对于选项D:因为A:+mA= n! n}(n-m+1)+m] (n-m)！“(n-m+1！(n-m+1) （n+1！ a-m++刊= (n+1-mj! =A1 所以A+mA=A1,故D正确： 故选：ABD 练习4.化简+C+C+…+ C 1×22×33×4 C学结果为(） 5×2626×27 A. 226-26 B. 226-27 C. 227-27 D. 22”-28 650 650 702 702 【答案】D 【详解】C+C+C三+…+ C C 1×22×33×4 5×2626×27 2!341 26！271 AA+AA+AA+…+AA盟+A 27！271271 27!271 CA盟，CA蓝+CA8+…+CA8+CA8. 27! 27！ 27! 27 27！ c C路++ 26×2726×2726×27 26×2726×27 C+C9+C+C+C9+…+Cn+C,-28 26×27 22”-282”-28 26×27 702 故选：D 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是利用排列数和组合数性质将 C5、依次巧妙变形得 n×n+1 AAC"A ,然后根据此式依次变形计算即可求解 (n+1！274 274 重难点03排列组、组合数的方程及不等式 【解题必备】 排列数A,组合数C0中的隐含条件：m≤n,且m,n∈N*,求解时应检验其结果是否满足这一条件 例5.已知C=A+1,则n= 7 20242025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版） 【答案】6 【详解】 分析：利用组合数性颜以及组合数公式和排列数公式，将C=A房1十1化简并展开，解方程即可求得答案， 详解：由C=A2十1得C1=A1十1，即”+）=(n-1)(m-2)+1,即m-7m十6=0，解得n 2 =1或n=6.由A好知e3,故n=6 例6.求解下列方程和不等式 (1)A<6A(x21xEN); 117 2CC 4C5 (m20,m∈N). 【答案】(I)x=8 (2)m=3 【详解】1)由A<6A;,得g9”<6x 91 (8-x)！10-x)1 化简得x2-19x+84<0,解得7<x<12,① x21 又{0≤x+1≤9，所以1≤x≤8，② 0≤x-1≤9 由①②及xeN得x=8, (2)由趣意0≤m≤5，m∈N, G亨c文4C即m5m_6m.2x7-ml 117 5！ 6！47！ 化简得m2-17m+42=0,解得m14(舍去)或m=3. 故方程的解为m=3. 【跟踪练习】 练习1.(1)若3A}=2A1+6A,则x (2)不等式C:>C的解集为 【答案】 56,7,8,9 【详解】(1)3A=2A1+6Ax23且x∈N, :3xx-1)(x-2)=2xx+1)+6xx-1),化简得3x2-17x+10=0, 20242025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版） 解得x=5,x= 2 3 (不合题意，舍去)，x=5: n! n! (2):C>C, 4×n-4!6x(n-61,即 n2-9n-10<0 ,解得6≤<10 n26 n26 ,neN,.n=6,7,8,9,.的取值集合为6,7,8,9 故答案为：5；{6,7,8,9 练习2.解下列方程： (1)A1=140A: (2)3A=4Ag 【答案】(1=3 (2x-6 【详解】(1)由排列数公式，原方程可化为(2x+1)×2x×(2x-1)×(2x-2)=140x(x-1(x-2),化简得 (4r2-35x+69(x-x=0,解得r=3或x=2或x=1或x=0. 4 2x+124,2x+1∈N", 因为x满足 x≥3，xeN, 所以x的取值范围为{xx≥3，x∈N*所以原方程的解为x=3. 3×8!4×91 3×8! 4×9×8! (2)由3A=4A,得8-0-对，所以8-10-9-8- 化简得x2-19x+78=0,解得x,=6,x2=13. 因为0<x≤8且0<x-1s9,所以原方程的解为x6. 练习3.若C>3C,求m 【答案】7或8 【详解】依题意，得0≤m-1≤8且0≤m≤8，所以1≤m≤8， 由c>c,可。--产之博， 8 3×8! 二，解 22<m≤8， 又因为m∈N,所以m=7或m=8 练习4.(1)解方程：C。=Ctx∈N): (2)解不等式：A6>6A(xEN) 9 20242025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版） 【答案】(1)x=3或x=4:(2){2,3 【详解】解：因为Cg=C-3 所以x=2x-3或x+2x-3=9, 解得x-3或x=4 (2“45>64, 9 6×9! 解原不等式即9-x之(9-x+ 整理得10-x>6,即x<4 x-121 [xs9 ·所以2sx≤9 所以得到2≤x<4, 而x∈N 故x=2或3 :原不等式的解集为2,3}， 【点睛】本题考查解组合数方程和排列数不等式，属于中档题 重难点04相邻问题和不相邻问题 【解题必备】 相邻问题采用捆绑法：不和邻问题采用插空法 例7.某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的1~6号，其中甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数， 且甲、乙不相邻，则这六人不同的座位安排方法种数为() A.48 B.96 C.128 D.186 【答案】B 【详解】先安排甲、乙，若甲坐1号座位，则乙可以坐4号或6号座位： 若甲坐3号座位，则乙可以坐6号座位： 若甲坐5号座位，则乙可以坐2号座位，共有4种安排方法 在甲和乙的座位确定了的情况下，其余四人的座位安排方法有A种， 故这六人不同的座位安排方法种数为4A:=96, 故选：B 10