精品解析：湖南省长沙市雅礼集团2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题

2025年上学期九年级3月错题练习 九年级数学科目 学生注意：本练习共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四幅作品是某设计公司为学校文化墙设计的体育运动简笔画，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算或运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一年365天有31536000秒．数31536000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 有理数这个概念最早源自《几何原本》，以下各数中，有理数为（ ） A. B. C. D. 2.024002400024… 5. 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 4 4 7 11 10 5 3 这45名同学视力检查数据的中位数是（ ） A. 4.6 B. 4.7 C. 4.8 D. 4.9 6. 如图， 是的外角， ，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 关于一次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 函数值y随自变量x的增大而增大 B. 图象经过第一、三、四象限 C. 图象与y轴交于点 D. 当时， 8. 如图，在中， ，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（　　） A. B. C. D. 10. 如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解x3－9x=__________． 12. 甲、乙两人进行射击测试，每人20次射击成绩的平均数都是 环，方差分别是 ，则射击成绩较稳定的是________(填“甲”或“乙”)． 13. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 14. 某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为_____________．（结果保留） 15. 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数t的取值范围为___________． 16. 已知：如图，四边形是边长为1的正方形，对角线相交于点O．过点O作一直角，直角边分别与 重合，然后逆时针旋转，旋转角为，分别交 于E、F两点，连接交于点G，则在旋转过程中，当的面积最大时， ______________ 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中 ． 19. 长沙电视塔位于岳麓山顶峰，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身．某校数学社团的同学对长沙电视塔的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至B处，测得仰角为．（参考数据： ） （1）求证： ； （2）若学生的身高忽略不计，求该塔的高度？（结果精确到） 20. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 名，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是 ， ； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 21. 如图，在□ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，EF过点O且垂直于AD． （1）求证：OE＝OF； （2）若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长． 22. 某店计划采购甲、乙两种不同型号的台灯共30台，甲、乙两种型号的台灯的进价分别为160元每台和250元每台，售价分别是200元每台和300元每台．设采购甲型台灯x台，全部售出后获利y元． （1）求y与x的函数表达式； （2）若要求采购甲型台灯数量不小于乙型的2倍，如何采购才能使得获利最大？最大利润为多少？ 23. 如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作圆O （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）已知AO交圆O于点E，延长AO交圆O于点D，tan∠D=，求的值； （3）如图2，在（2）条件下，若AB与⊙O的切点为点F，连接CF交AD于点G，设⊙O的半径为3，求CF的长． 24. 我们约定：平面直角坐标系中，点，满足，，则称A，B为一对“等值点”．根据约定，解决下列问题： （1）下列函数存在“等值点”的是 （填写序号） ① ② ③ ④ （2）关于x的函数（k，b为常数）的图象上是否存在“等值点”？如果存在，请指出它有多少对“等值点”，如果不是，请说明理由； （3）已知二次函数（a，b，c是常数， ）的图象与x轴交于 C，D两点，点和，点和是该函数图象上的两对“等值点”，且满足．若以，，这三条线段的长为边长的三角形是直角三角形，试求该直角三角形的面积． 25. 如图1，四边形内接于，对角线，交于点P，为的直径． （1）求证：； （2）如图2，作 于F，交于点E，若，，求的值； （3）如图3，分别过点B、D作的切线，过点P分别作、垂直两条切线于点M、N．已知的直径为4，令，，求y与x的关系 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期九年级3月错题练习 九年级数学科目 学生注意：本练习共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四幅作品是某设计公司为学校文化墙设计的体育运动简笔画，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项、、均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 2. 下列计算或运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式． 根据同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式逐一判断可得． 【详解】解：A、，此选项错误； B、，此选项正确； C、，此选项错误； D、，此选项错误； 故选：B． 3. 一年365天有31536000秒．数31536000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于1的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数，确定，即可． 【详解】解：∵， 故选： B． 4. 有理数这个概念最早源自《几何原本》，以下各数中，有理数为（ ） A. B. C. D. 2.024002400024… 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 无理数是无限不循环小数，根据定义判断即可． 【详解】解：A、是分数，为有理数，故本选项符合题意； B、开方开不尽，是无理数，故本选项不符合题意； C、 是无限不循环小数，是无理数，故本选项不符合题意； D、2.024002400024…是无限不循环小数，是无理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 5. 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 4 4 7 11 10 5 3 这45名同学视力检查数据的中位数是（ ） A. 4.6 B. 4.7 C. 4.8 D. 4.9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数的概念，解题的关键是熟知相关概念．将一列数从小到大排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数． 根据中位数的概念求解即可． 【详解】总计为45名同学，则处在最中间为第23位， 根据：， ∴中位数落在具有11人的4.7的范围内，故中位数为4.7． 故选：B． 6. 如图， 是的外角， ，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得进而即可求； 【详解】∵, ∴ ∵ ∴． 故选：B. 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”定理是解题的关键． 7. 关于一次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 函数值y随自变量x的增大而增大 B. 图象经过第一、三、四象限 C. 图象与y轴交于点 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的性质成为解题的关键． 根据一次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：A、因为 ，所以函数值y随自变量x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； B、因为 ，，所以图象经过第一、三、四象限，故本选项正确，不符合题意； C、当时，，所以图象与y轴交于点，故本选项正确，不符合题意； D、当时，，所以当时，，故本选项错误，不符合题． 故选：D． 8. 如图，在 中， ，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解题关键是熟记“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”．由垂径定理可得结合圆周角定理即可求解． 【详解】解：在 中， ，， ， 故选：B 9. 我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设有x人，物品的价格为y元，根据所花总钱数不变列出方程即可． 【详解】设有x人，物品的价格为y元， 根据题意，可列方程：， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系． 10. 如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，故由折线图可知， 综上有：， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 12. 甲、乙两人进行射击测试，每人20次射击成绩的平均数都是 环，方差分别是 ，则射击成绩较稳定的是________(填“甲”或“乙”)． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了根据方差判断数据的稳定性，解题的关键是掌握方差越小数据越稳定． 【详解】解：∵， ∴乙的射击成绩较稳定， 故答案为：乙． 13. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 由二次根式有意义的条件：被开方数必须大于或等于零即可得解． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得被开方数 ， 解得 ． 故答案为： ． 14. 某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为_____________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，那么扇形的面积为：．根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得，部分扫过的图形面积=， 故答案为： ． 15. 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数t的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得 ，求解即可． 【详解】关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程的根与有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根，熟练掌握知识点是解题的关键． 16. 已知：如图，四边形是边长为1的正方形，对角线相交于点O．过点O作一直角，直角边分别与 重合，然后逆时针旋转，旋转角为，分别交 于E、F两点，连接交于点G，则在旋转过程中，当的面积最大时， ______________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质．证明，得到，，进而得到，当的面积最大时，则最小，即当 时，最小，据此求解即可． 【详解】解：作 ， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， 在和 中， ， ∴， ∴，， ∴， 当的面积最大时，则最小， ∵， ∴由垂线段最短可知，当点与重合时，最小，的面积最大， ∴此时； 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方，负指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，进行计算即可求解． 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，再约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解：， 当 时，． 19. 长沙电视塔位于岳麓山顶峰，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身．某校数学社团的同学对长沙电视塔的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至B处，测得仰角为．（参考数据： ） （1）求证： ； （2）若学生的身高忽略不计，求该塔的高度？（结果精确到） 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得：，即可证得是等腰三角形， （2）然后利用三角函数，求得答案． 【小问1详解】 证明：根据题意得：， ∴， ∴， ∴ ， 【小问2详解】 ∵ ，， ∴， 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．注意证得是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键． 20. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 名，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是 ， ； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 【答案】（1）100， 条形图如图所示， （2），10 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数：求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可； （2）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数即可求出占比，再乘以360度即可求出圆心角； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得本次被调查的学生人数（人）， 喜爱足球的人数为：（人）， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：“羽毛球”人数所占比例为：， 所以，扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数， 故答案为：，10； 【小问3详解】 解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下：     ∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种， ∴P（甲、乙两人被选中）． 21. 如图，在□ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，EF过点O且垂直于AD． （1）求证：OE＝OF； （2）若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点， ∴AO=CO，AD∥BC， ∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE=OF； （2）9 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到AO=CO，AD∥BC，则∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，即可证明△AOE≌△COF得到OE=OF； （2）由（1）得OE=OF=3.5，得到EF=7，再由AD∥BC，EF⊥AD，得到EF的长即为平行四边形ABCD中AD边上的高，即可利用平行四边形面积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得OE=OF=3.5， ∴EF=7， ∵AD∥BC，EF⊥AD， ∴EF的长即为平行四边形ABCD中AD边上的高， ∵四边形ABCD的面积为63， ∴， ∴AD=9． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 22. 某店计划采购甲、乙两种不同型号的台灯共30台，甲、乙两种型号的台灯的进价分别为160元每台和250元每台，售价分别是200元每台和300元每台．设采购甲型台灯x台，全部售出后获利y元． （1）求y与x的函数表达式； （2）若要求采购甲型台灯数量不小于乙型的2倍，如何采购才能使得获利最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）； （2）采购甲型台灯20台，乙型台灯10台时商店获得最大利润，最大利润是1300元． 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的实际应用，不等式组的应用，方案问题的解决方法，正确理解题意，根据题意列出对应的函数关系式或不等式组解答问题是解题的关键． （1）根据利润等于每台台灯的利润乘以台灯数量列得函数关系式即可； （2）根据题意求出x的取值范围，根据函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴y与x之间函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， ， ，且， 随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值， ∴采购甲型台灯20台，乙型台灯10台时商店获得最大利润，最大利润是1300元． 23. 如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作圆O （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）已知AO交圆O于点E，延长AO交圆O于点D，tan∠D=，求的值； （3）如图2，在（2）条件下，若AB与⊙O的切点为点F，连接CF交AD于点G，设⊙O的半径为3，求CF的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由于题目没有说明直线AB与⊙O有交点，所以过点O作OF⊥AB于点F，然后证明OC=OF即可； （2）连接CE，先求证∠ACE=∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，则，而tan∠D＝，即可求解； （3）连接CF交AD于点M，由（2）可知，AC2=AE•AD，先求出AE，AC的长，则AO可求出，证△CMO∽△ACO，可得OC2=OM•OA，求出OM，CM，则CF=2CM可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点O作OF⊥AB于点F ∵AO平分∠CAB， OC⊥AC，OF⊥AB， ∴OC=OF， ∴AB是⊙O的切线； （2）解：如图，连接CE， ∵ED是⊙O的直径， ∴∠ECD=90°， ∴∠ECO+∠OCD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACE+∠ECO=90°， ∴∠ACE=∠OCD， ∵OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC， ∴∠ACE=∠ODC， ∵∠CAE=∠CAE， ∴△ACE∽△ADC， ∴， ∵tan， ∴； （3）由（2）可知：， ∴设AE=x，AC=2x， ∵△ACE∽△ADC， ∴， ∴AC2=AE•AD， ∴（2x）2=x（x+6）， 解得：x=2或x=0（不合题意，舍去）， ∴AE=2，AC=4， ∴AO=AE+OE=2+3=5， 如图，连接CF交AD于点M ， ∵AC，AF是⊙O的切线， ∴AC=AF，∠CAO=∠OAF， ∴CF⊥AO， ∴∠ACO=∠CMO=90°， ∵∠COM=∠AOC， ∴△CMO∽△ACO， ∴， ∴OC2=OM•OA， ∴OM=， ∴CM==， ∴． 【点睛】此题考查了圆的综合问题，涉及勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，解方程，圆的切线判定，切线长定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线才能解决问题． 24. 我们约定：平面直角坐标系中，点，满足，，则称A，B为一对“等值点”．根据约定，解决下列问题： （1）下列函数存在“等值点”的是 （填写序号） ① ② ③ ④ （2）关于x的函数（k，b为常数）的图象上是否存在“等值点”？如果存在，请指出它有多少对“等值点”，如果不是，请说明理由； （3）已知二次函数（a，b，c是常数， ）的图象与x轴交于 C，D两点，点和，点和是该函数图象上的两对“等值点”，且满足．若以，，这三条线段的长为边长的三角形是直角三角形，试求该直角三角形的面积． 【答案】（1）②③ （2）当 时，存在无数对“等值点”；当时，不存在“等值点”，理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质即可判断； （2）分两种情况讨论：当 时，函数的图象是一条平行于轴的直线，存在无数对“等值点”；当 时，由于，则有此时，上不存在“等值点”； （3）由题意求出，，再根据和，和是两对“等值点”，则有，，，，然后表示出，，，然后根据勾股定理计算解题即可． 【小问1详解】 解：① 是一次函数，函数值随的增大而增大，不存在“等值点”； ②和③是二次函数，存在“等值点”； ④是反比例函数，在每个象限函数值随的增大而减少，不存在“等值点”； 故选：②③； 【小问2详解】 解：当 时，函数的图象是一条平行于轴的直线，其上的点的纵坐标都相等，故存在无数对“等值点”； 当时，假设函数图象是一条与轴不平行的直线，其上任意两点的纵坐标都不相等，故不存在“等值点”； 【小问3详解】 解：， ， ，，又和，和是两对“等值点”， ，，，， ，为方程的两根， ， 同理可知：，为方程的两根， ， 设，的横坐标为，，它们为方程的两根， ， 显然，又以，，这三条线段的长为边长的三角形是直角三角形， ，即， ， ，，， 该直角三角形的面积为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，能将所求问题转化为二次函数的性质是解题的关键． 25. 如图1，四边形内接于 ，对角线，交于点P，为 的直径． （1）求证：； （2）如图2，作 于F，交于点E，若，，求的值； （3）如图3，分别过点B、D作 的切线，过点P分别作、垂直两条切线于点M、N．已知 的直径为4，令，，求y与x的关系 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得 ，再根据对顶角相等可得，即可证明； （2）由为 的直径可得 ，设，则，利用勾股定理表示出的长，通过证明得到，表示出的长，再通过证明得到，表示出的长，最后在中利用正弦的定义即可求解； （3）延长交 于点，连接、，由（1）中的结论推出，得到，通过证明得到和，根据题意即可求出y与x的关系． 【小问1详解】 证明：四边形内接于 ， ，即， 又， ． 【小问2详解】 解：为 的直径， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， 解得：， ，， ， ， ， ， 在中，， 的值为． 【小问3详解】 解：如图，延长交 于点，连接、， 的直径为4， ， ， ，， 由（1）得，， ， ， 、是 的切线， ，， 又，， ，，， ，， ， ， ， ， 是 的直径， 的直径为4， ，， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ，即， ， y与x的关系为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的性质与判定、锐角三角函数的定义，熟练掌握相关知识点，结合图形找到合适的相似三角形是解题的关键．本题属于圆综合，需要较强的几何知识储备，适合有能力解决难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $