山东省济宁市嘉祥县第一中学2024-2025学年高一下学期3月质量检测数学试题

嘉祥一中高一质量检测数学试题 （分值150分 时间120分钟） 2025.03.15 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足：，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 6．函数的最小正周期和最大值分别为（    ） A．，1 B．， C．， D．， 7．已知直角梯形中，，，，点M在线段BC上，且，则（   ） A． B．1 C． D．2 8．设的内角的对边分别为，且，为的平分线且与BC交于点D，，则面积的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与的夹角为锐角 10．已知，函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（    ） A．点是函数的一个对称中心 B．函数在区间上单调递增 C．将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 D．函数的图象关于直线对称 11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若的周长为6，内切圆半径为，则为正三角形 C．若，，则有两解 D．在C选项的条件下，的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12．已知向量，满足，，则 ． 13．已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 ． 14．已知函数在区间上只有一个最大值点和一个零点，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 16．（15分）在中，，，，点，在边上且，． （1）若，用表示，并求线段的长； （2）若，，求的值． （3)若，求的值. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 17．（15分）的内角的对边分列为，已知. (1)证明：； (2)若点是边上一点，平分，，且的面积是面积的2倍，求. 18．（17分)已知函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，且，求的值． (3)在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 19．（17分)如图，在扇形中，半径，圆心角是扇形弧上的动点，是半径所在直线上的动点，且.记. (1)当点与点重合时，求的值； (2)记的面积为. （i）当时，求的值； （ii）若方程在的解为且.求的值. 试卷第1页，共3页 4 学科网（北京）股份有限公司 嘉祥一中高一质量检测数学试题参考答案 1．B【详解】由，可得，则，故. 2．D【详解】由题意可知：，因为，即，可得，所以在上的投影向量为. 3．D【详解】，则，则，即，解得，所以. 4．B【详解】由，得，而， 所以. 5．D【详解】，则，则， 整理得到.因此.故B错误，D正确. ，则，.则. 且.解得.同理得，则， 因此得，则.故AC错误. 6．C【详解】 ，故的最小正周期为，最大值为. 7．A【详解】依题意，在坐标系中表示直角梯形，，，，， ，设，因为，所以，即， 所以，所以，， 所以． 8．B【详解】， ，即，，，， 为的平分线且与BC交于点，， ，即， 又，解得，当且仅当时等号成立， 的面积，的面积的最小值为. 9．AD【解析】A选项，，，，A选项正确. B选项，，，B选项错误. C选项，时，，，，C选项错误. D选项，当时，由上可知向量不共线，且， 所以，所以为锐角，D选项正确.故选：AD 10.ABD【详解】由题可知，最小正周期为， ，，令， 点是的一个对称中心，A正确； ， 函数在区间上单调递增，B正确； ，C错误； ， 当，函数的图象关于直线对称，D正确. 11．ABC【详解】由，可得， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以，所以，故A正确； 若的周长为6，内切圆半径为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以，解得， 所以，又，解得，所以为正三角形，故B正确； 当时，满足，有两解， 所以，即，有两解，故C正确； ， 又，即，又， 所以，解得或， 所以，故D错误；故选：ABC. 12．2【详解】由，得，整理得， 又，所以. 13．【解析】设海警船的航行方向是北偏东， 由题知，，， 在中，由正弦定理得到，得到， 又，所以，得到， 14．.【详解】 ，由，且，则， 且在区间上只有一个最大值点和一个零点， ，解得，的取值范围为：. 15．【详解】（1）由题意，，..2分 由三点共线，存在实数k，使得， 即，得，......4分 是平面内两个不共线的非零向量， ，解得．......6分 （2），...8分 由四点按逆时针顺序构成平行四边形，则，.....9分 设，则，，所以，.....10分 解得，......12分 即点A的坐标为．....13分 16.【详解】（1）设，，则...2分 ，，，.....3分 所以，，.......5分 （2）因为，，所以，，.....6分 所以，.....8分 又，.......10分 （3）， ，...........12分 则， 即，..........13分 ， 化简得：，..........15分 17．【详解】（1）因为，由正弦定理得，.....2分 在中，有，所以，........3分 即，............4分 所以，即，...........6分 因为，，所以，或（舍去），所以.....8分 （2）平分， 的面积是面积的2倍， ，即，..........10分 设AB边上的高为h，又，即，............12分 ，，，...........15分 以下有不同解法. 解法一： ，， 即，. 解法二：在中由余弦定理得，，即① 由.则，又， ，即②. 由①②联立得，. 解法三：在中由正弦定理得， 又，， ， ，又A为中较小的角，，，则，. 18．【详解】（1）...（3分） 令，则，， 函数的对称中心为，....（5分） （2）由可知，， 化简得，....（7分） ，，，....（9分） ....（11分） （3）由可得， 即， 又，则，则，所以. 由正弦定理有 所以 ，...（14分） 因为为锐角三角形，所以，解得. 所以，则，...（16分） 所以，则， 所以的周长的取值范围为....（17分） 19． 【详解】（1），当与点重合时，， .............3分 （2）（i）在中，，..........5分 ...........8分 当时，；.............10分 （ii）在中，，. 当时，结合题意知： ...........13分 ...........15分 .........17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$