辽宁省沈阳市东北育才学校2024-2025学年高三下学期开学考试(暨第六次模拟)数学试卷

2024-2025学年度下学期东北育才学校 高三年级数学科目假期质量测试暨第六次模拟考试试题 答题时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的. 1. 已知命题；命题，则（ ） A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 2. 某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人.为了解学生身高情况，采用分层抽样获取样本，计算得男生样本均值为173，方差为17，女生样本均值为163，方差为30.则估计总体的均值和方差分别为（ ） A. 170，47.2 B. 169，46.2 C. 170，46.2 D. 169，47.2 3. 对于数集 ，，它们的Descartes积，则下列选项错误的是（    ） A. B. 若，则 C. D. 集合表示轴所在直线 4. 定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与圆相交于M、N两点，则的最大值为（ ）． A. B. C. 4 D. 6. 若，，，则的最小值为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 7. 已知在平面直角坐标系中，，动点 满足，点 为抛物线上一动点，且点 在直线上的投影为 ，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，面“”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 已知复数，，则（ ） A. 若为实数，则点在直线上 B. 若与互为共轭复数，则 C. 若，对应的点关于直线对称，则 D. 若，则的最小值为 10. 如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角 沿向上翻折，得三棱锥，设，点 ， 分别为棱，的中点，下列说法正确的是（ ） A. 在翻折过程中，存在某个位置使得 B. 若，则与平面所成角的正切值为 C. 当三棱锥体积取得最大值时，二面角的平面角大小为 D. 当时，三棱锥外接球的表面积为 11. 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大；圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，以下结论正确的是（ ） A. 函数在无数个点处的曲率为1 B. 函数，则曲线在点与点处的弯曲程度相同 C. 函数的曲率半径随着x变大而变大 D. 若函数在与处的曲率半径相同，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是________. 13. 已知数列满足，在数列小于50的各项中一次性任取不同的两项，其和为奇数的概率为__________. 14. 在中，,则cosC=_______. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 的内角A，， 所对的边分别为， ， ，，且， ， 成等比数列． （1）求； （2）若点 满足， 的外接圆半径为，求 的内切圆半径． 16. 如图，三棱柱中，平面，，．过侧棱的平面交线段于点 （不与端点重合），交线段于点 ． （1）求证：; （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数， （1）讨论的单调性; （2）若恒成立，求a的值. 18. 已知甲盒子中装有个白球和个黑球，乙盒子中装有个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复 次（）这样的操作.记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有个白球的概率为，恰有个白球的概率为. （1）求，和，； （2）证明：为等比数列； （3）求的数学期望（用 表示）. 19. 已知椭圆 的方程，椭圆 的离心率，点在椭圆 上，过点（，）作斜率为的直线交椭圆 于点，点关于轴的对称点为.记点的坐标为，记点的面积为.求： （1）椭圆 的方程； （2）求，，，； （3）求. 2024-2025学年度下学期东北育才学校 高三年级数学科目假期质量测试暨第六次模拟考试试题 答题时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1）答案见解析； （2） 【18题答案】 【答案】（1），， （2）证明：依题意，经过 次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为， 恰有1个白球的概率为，则甲盒中恰有3个白球的概率为， 研究第次交换球时的概率，根据第 次交换球的结果讨论如下： ①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑， 乙盒中的球仍为1白1黑，概率为； 若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为， ②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为， ③当甲盒中的球为3白，乙盒中的球为2黑时，对应概率为， 此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑， 乙盒中的球变为1白1黑，概率为， 综上， 则， 整理得，又， 所以数列是公比为的等比数列. （3） 【19题答案】 【答案】（1）； （2），，，； （3）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $