辽宁省沈阳市东北育才学校2024-2025学年高三下学期开学考试(暨第六次模拟)数学试卷

2024-2025学年度下学期东北育才学校 高三年级数学科目假期质量测试暨第六次模拟考试试题 答题时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的. 1. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 2. 某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人.为了解学生身高情况，采用分层抽样获取样本，计算得男生样本均值为173，方差为17，女生样本均值为163，方差为30.则估计总体的均值和方差分别为（ ） A. 170，47.2 B. 169，46.2 C. 170，46.2 D. 169，47.2 3. 对于数集，，它们的Descartes积，则下列选项错误的是（    ） A. B. 若，则 C. D. 集合表示轴所在直线 4. 定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与圆相交于M、N两点，则的最大值为（ ）． A. B. C. 4 D. 6. 若，，，则的最小值为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 7. 已知在平面直角坐标系中，，动点满足，点为抛物线上一动点，且点在直线上的投影为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，面“”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 已知复数，，则（ ） A. 若为实数，则点在直线上 B. 若与互为共轭复数，则 C. 若，对应的点关于直线对称，则 D. 若，则的最小值为 10. 如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥，设，点，分别为棱，的中点，下列说法正确的是（ ） A. 在翻折过程中，存在某个位置使得 B. 若，则与平面所成角的正切值为 C. 当三棱锥体积取得最大值时，二面角的平面角大小为 D. 当时，三棱锥外接球的表面积为 11. 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大；圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，以下结论正确的是（ ） A. 函数在无数个点处的曲率为1 B. 函数，则曲线在点与点处的弯曲程度相同 C. 函数的曲率半径随着x变大而变大 D. 若函数在与处的曲率半径相同，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是________. 13. 已知数列满足，在数列小于50的各项中一次性任取不同的两项，其和为奇数的概率为__________. 14. 在中，,则cosC=_______. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，，所对的边分别为，，，，且，，成等比数列． （1）求； （2）若点满足，的外接圆半径为，求的内切圆半径． 16. 如图，三棱柱中，平面，，．过侧棱的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点． （1）求证：; （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数， （1）讨论的单调性; （2）若恒成立，求a的值. 18. 已知甲盒子中装有个白球和个黑球，乙盒子中装有个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复次（）这样的操作.记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有个白球的概率为，恰有个白球的概率为. （1）求，和，； （2）证明：为等比数列； （3）求的数学期望（用表示）. 19. 已知椭圆的方程，椭圆的离心率，点在椭圆上，过点（，）作斜率为的直线交椭圆于点，点关于轴的对称点为.记点的坐标为，记点的面积为.求： （1）椭圆的方程； （2）求，，，； （3）求. 2024-2025学年度下学期东北育才学校 高三年级数学科目假期质量测试暨第六次模拟考试试题 答题时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）在三棱柱中，平面平面， 所以平面． 又平面平面平面，所以． 而平面平面，平面平面，平面平面， 所以． 所以四边形为平行四边形．所以． （2） 【17题答案】 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减， （2） 【18题答案】 【答案】（1），， （2）证明：依题意，经过次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为， 恰有1个白球的概率为，则甲盒中恰有3个白球的概率为， 研究第次交换球时的概率，根据第次交换球的结果讨论如下： ①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑， 乙盒中的球仍为1白1黑，概率为； 若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为， ②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为， ③当甲盒中的球为3白，乙盒中的球为2黑时，对应概率为， 此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑， 乙盒中的球变为1白1黑，概率为， 综上， 则， 整理得，又， 所以数列是公比为的等比数列. （3） 【19题答案】 【答案】（1）； （2），，，； （3）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $