5.3.1 第2课时 等比数列的性质(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第2课时等比数列的性质 自主预习明新知 知识点一、等比中项 如果x,G,y是等比数列，那么称G为x与y的等比中题。 根据等比中项与等比数列的定义可知S=士因此 X G G2=xy。由此可知G=±Xy: 知识点二、等比数列的性质 (1)对称性：a1an=a2an1=a3an2=..=am'anm+1(n>m且n,m∈N,i (2)若正整数s,t,p,q满足s+t=p+q,则asa=apaq: (3)若5，P,q成等差数列，则as,ap,aa成等比数列： (4)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和（或积）构成公比为q(或g)的等比数列： 1 (5)如果{an},{bn}均为项数相同的等比数列，且公比分别为q1,q2,那么数列 a ,fanbn}. ,(lanl}仍是等比 1 数列，且公比分别为gq9 2,q 知识点三、等比数列的单调性 公比q单调性首 项a1 q>1 0<q<1 q=1 q<0 0>0 递增数列递减数列 摆动 数列 数列 01<0 递减数列递增数列 ⊙微提醒 只有同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数这一点与等差数列不同。 ·独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 合作探究攻重难 类型一等比中项的应用 【例1】 (1)在等比数列{a}中，a-8q=2,则a与a的等比中项为 (C) A好 B.4 C.±4 1 1 解析a4=aq-g×22=1,a9=a1q=8×2=16,a4与a的等比中项为±16，即±4。 81 (2)已知b是a,c的等比中项，求证：ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项。 证明b是a,c的等比中项，则b2=ac,又(a2+b2)(b2+c2)=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2, (ab+bc)2=a2b2+2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,所以(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2),即ab+bc是a2+b2与b2+c2 的等比中项。 反思感悟 由等比中项的定义可知：G XG →6'=yG=tXy。这 表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中 项有两个，它们互为相反数。反之若Gy,则S兰即 x,G,y成等比数列。所以x,G,y成等比数列=G=y(xy0). 【变式训练】 在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1,a3,ag成等比数列， a+a+ag等于多少？ a2+a4+a10 解 由题意知a是ai和a,的等比中项所以a=a1a所以a,+2d=a,a+8dl,得a1=d所以0ta,t0_ a2+a4+a10 13d13 16d16° 类型二等比数列性质的应用 【例2】己知数列{an}为等比数列。 (1)若an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=36,求a3+a5的值； (2)若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求数列{an}的通项公式 解(1)因为a2a4+2a3a5+a4a6=36,所以a3+2a3as+a=36,所以(a3+asP=36,又因为an>0,所以a3+as=6。 (2)因为a=a1a3代入已知，得a2=8,所以a2=2。设前三项为二，2,2q,则有二+2+2q=7。整理，得2g2-5q+2=0, q 所以q=2或9=之所以0， 01=4, 或 1q=2 2 1 所以an=2n1或an=23n。 反思感悟 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指 数运算。若按常规解法，往往是建立01,9的方程组，这样解 起来很麻烦。通过本例可以看出：结合等比数列的性质进 行整体变换，会起到化繁为简的效果。 【变式训练】设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8=3a,则log3(a1a2.ag)等于 (C) A.38 B.39C.9D.7 解析因为a4'aa=asa=3a,且a7≠0，所以a5=3,所以log(a1a2.ag)=log3a5=log39=9。 类型三等比数列未知量的设法 、111 【例3】(1)已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为：2则此4个数分别为8.22-8或8 22& aq°=1， 解析设4个数依次为a,aq,aq2,aq3,则 g(1+q)=-3解得 、1 a=8, 8'或1所以这4个数分别为8，-2， 2， 1q= =-4, 4’ 或.11 11 28 0822,8 (2)已知3个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这3个数 a=3. Q a.aaq=27, 解由题意可以设这3个数分别为二，a,aq得 0 a +a+a2q=91,q +1+q2=91,所以9q-82g2+9=0, 9或q=。所以q=±3或g=±故这3个数为1,39或13，-9或9,31或 反思感悟 巧设等差数列、等比数列的方法 (1)若3个数成等差数列，常设成a-d,0,0+d。若3个数成等 比数列，常设成。，9或0,09,0. 9 2若4个数成等比数列，可设为。0,0q,0g。若4个正数成 aa 等比数列，可设为 2,0q,0q3。 " 【变式训练】3个数成等比数列，其积为512，如果第1个数与第3个数各减去2，则这3个数成等差数列，求这3 个数。 解设3个数依次为号0，a9,因为日aa0=512,所以a=8。因为 +(aq-2)=2a,所以2q2-5q+2=0,所以 q q=2或q=2所以这3个数为4,8,16或16,8,4. 类型四等差数列与等比数列的综合运用 【例4】(1)已知等比数列{an}中，aa11=4a,数列{bn}是等差数列，且b7=a,则b3+b11=(D) A.3 B.6 ·独家授权侵权必究· 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.7 D.8 解析因为{an}为等比数列，且a3a11=4a,所以a=4a,≠0，解得a=4,数列{bn}是等差数列，则 b3+b11=2b,=2a7=8。故选D。 (2)在公比大于1的等比数列{an}中，a3=27,且a2,a3+18,a4成等差数列。求数列{an}的通项公式。 解设等比数列{an}的公比为q,则q>1,因为a2,a3+18,a4成等差数列，所以2(a3+18)=a2+a4。即 2127+18)=2+279,整理得302-10q+3=0,解得q=号（舍去）或q=3.故a,=0q3=27×3”9=3 9 反思感悟 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意 它们的区别，避免用错公式. (2)方程思想的应用往往是解题的关键。 【变式训练】已知数列{an}是等差数列，且公差d>0,首项a1=1,且a+1是a2+1与a4+2的等比中项。求数 列{an}的通项公式。 解由题意可知，a2=1+d,a3=1+2d,a4=1+3d,因为a3+1是a2+1与a4+2的等比中项，所以(a3+1)2=(a2+1) (a4+2),即(2+2d)2=(2+d)(3+3d),化简得d2-d-2=0,解得d=-1或d=2,又公差d>0,所以d=2。故an=1+2(n- 1)=2n-1。 当堂检测提素养 1.己知等差数列{an}的公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a,=(D) A.-4B.-2C.2D.4 解析因为等差数列{an}的公差为2，且a1,a3.a4成等比数列，所以a3=a1a4,则a3=(a34)(a3+2),解得a3=-4。所以 a7=a3+(7-3)d=-4+4×2=4。 2多选)6+2与6,2两数的等比中顶可以是 (AB) A \C D. B.2 4 解折设等比中项为a,则a=6+2x6-21 4 4 所以a 3.在等比数列{an}中，已知a7a12=5,则a8aga1oa11等于(B) A.10B.25 C.50D.75 解析，运用等比数列的性质，可得aga11=aga1o=aa12=5,所以agasa1o'a11=25。 4.若等比数列{an}的各项均为正数，且a1oa11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+..+lna2o=50。 解析因为{an}为等比数列，且a1oa11+aga12=2e5,所以a1oa11+aga12=2a1oa11=2e,所以a1oa11=e,所以lna1+ln a2+..+lna2o=ln(a1a2.a2o)=ln(a1oa1)10=ln(e5)10=lne50-50。 11 aaza3+a+as=64 11.1 12.已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=2 as+ag+as ,求数列{an}的通项 公式 解设数列{am}的公比为q(g>0)。因为a1+a2=2· 1+ ,所以a1+a1q=2. 即a=2 ①。又因为 aq q 1.1.1 64 a3+a4+a5=64++。 .所以a(1+q+q)=64.9+9+1 ,即a3= ②。联立①②，解得q=2,a1=1。故 a q aq an=2n-1(nN+). 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 13.已知{an}是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为{an}的前n项和。 (1)求数列{an}的通项公式及Sn: (2)设{bn-am}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式。 解 (1)因为(a}是首项为19，公差为-2的等差数列，所以a=19-2n-1)=-2n+21,5=19n+nn-1×-21=. 2 n2+20n,即an=-2n+21,5n=-n2+20n。 (2)因为{bn-an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以bnan=3m1,即bn=31+an=3n-1-2n+21。 素养提升 14.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点，且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适 当排序后成等比数列，则p+q的值等于(D) A.6 B.7 C.8D.9 a+b=p>0,则a>0,不妨设a<b,则-2，a,b成等差数列.a,2,b成等比数列即 解析由题意得ab=g>0,则b>0: -2+b=2a,解得 ab=4, 84mg24所以p+q. 9=4。 15.在等比数列{an}中，an>0(n∈N),公比q∈(0,1)，且a1as+2a3as+a2ag=25,a3与a5的等比中项为2。 (1)求数列{an}的通项公式： (2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和S: (3)当++…+S的值最大时，求n的值。 12 解(1)因为a1a5+2a3a5+a2a8=25,所以a+2a3a5+a=25。又因为an>0,所以a3+a5=5①。又因为a3与a5的 等比中项为2，所以a3a5=4②。而q∈(0,1)，所以a3>a5。所以由①与②，解得a3=4,a5=1。所以g2= -烈 9=所以a=16。所以a=16× 1-2 =25(n∈N+). (2)因为bn=log2an=5-n,则bn+1bn=-1,b1=4,所以数列{bn}是以b1=4为首项，-1为公差的等差数列。所以5n= n9-nl(n∈N,. 2 E)由-9P得当n≤8时≥0当n=9时0当n>9时<0，所以当n=8或n=9时7 + n n 0 n 的值最大。 ·独家授权侵权必究·