精品解析：上海市敬业中学2024-2025学年高二下学期3月练习数学试卷

敬业中学2026届高二年级3月练习 数学试卷 2025年3月 （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意： 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2.答卷前，考生务必将姓名､准考证号等湘关信息在答题卷上填写清楚； 3.本试卷共21道试题. 一､填空题（本大题共有14题，1-6题4分，7-12题5分，满分54分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果. 1. 若倾斜角为的直线过点和，则实数__________. 2. 已知直线与垂直，则实数__________. 3. 设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为__________. 4. 若直线与直线的夹角为，则__________. 5. 已知直线3x+4y﹣3=0与6x+my+14=0相互平行，则它们之间的距离是_____． 6. 若方程表示一个圆，则实数的取值范围是______． 7. 函数的值域为______. 8. 过点作圆的切线，则直线的方程为__________. 9. 已知点，点在轴上，则的最小值为__________. 10. 已知实数满足关系：，则的最小值__________. 11. 已知函数，若，则实数的取值范围是_________． 12. 已知直线与圆相交于两点，则的最大值为__________. 二､选择题（本大题共有4题，13-14题4分，15-16题5分，满分18分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. “直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 15. 点，到直线的距离都是4，满足条件的直线有（ ） A. 一条 B. 两条 C. 三条 D. 四条 16. 已知点为半圆上一动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若过定点的直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程. 18. 直线过点，且与轴，轴正半轴分别交于两点. （1）若，求直线的方程； （2）求的面积的最小值. 19. 设常数，函数. （1）当时，用定义证明在上是严格减函数； （2）讨论函数的奇偶性. 20. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点． （1）已知函数，求函数的不动点； （2）若对于任意的，二次函数（）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围； （3）若函数在区间上有唯一的不动点，求实数m的取值范围． 21. 已知圆：与直线交于M、N两点，点P为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. （1）求的值及的面积； （2）若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线、分别交：于R、S两点.当点Q变化时，以为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 敬业中学2026届高二年级3月练习 数学试卷 2025年3月 （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意： 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2.答卷前，考生务必将姓名､准考证号等湘关信息在答题卷上填写清楚； 3.本试卷共21道试题. 一､填空题（本大题共有14题，1-6题4分，7-12题5分，满分54分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果. 1. 若倾斜角为的直线过点和，则实数__________. 【答案】.##. 【解析】 【分析】根据直线斜率公式以及倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线斜率，则，解得. 故答案为：. 2. 已知直线与垂直，则实数__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据直线垂直的系数要求求解即可. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得或， 故答案为：或. 3. 设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出线段的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程. 【详解】因为，所以线段的中点， 且， 所以与垂直的直线的斜率为， 所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即. 故答案为：. 4. 若直线与直线的夹角为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，作出图象，找到所求角与直线的倾斜角的关系，利用诱导公式和同角的正余弦与正切之间的关系计算即得. 【详解】因轴，直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，由图知，， 则. 故答案为：. 5. 已知直线3x+4y﹣3=0与6x+my+14=0相互平行，则它们之间的距离是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由两直线平行，可先求出参数的值，再由两平行线间距离公式即可求出结果. 【详解】因为直线，平行，所以，解得， 所以即是， 由两条平行线间的距离公式可得. 故答案为2 【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离，熟记公式即可求解，属于基础题型. 6. 若方程表示一个圆，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，再解不等式即可得答案. 【详解】解：因为方程表示一个圆 所以，，即，解得或. 所以，实数的取值范围是 故答案为： 7. 函数的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，可求出结果. 【详解】令，则， 所以. 故答案为：. 8. 过点作圆的切线，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，切线斜率是否存在，再利用解方程. 【详解】当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，得， 切线方程为； 当直线斜率不存在时，直线方程为，则圆心到切线的距离，故直线不是切线. 故直线的方程为. 故答案为：. 9. 已知点，点在轴上，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则，计算即得的最小值. 【详解】如图作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 连接，则，此时即为最小值. 理由：在轴上任取点，连接，易得， 则， 故上述点即是使取得最小值的点. 故答案为：. 10. 已知实数满足关系：，则的最小值__________. 【答案】 【解析】 【分析】转化为圆上的点到原点的距离的最值，将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，进而求解即可. 【详解】把圆的方程化为标准方程得： ， 则圆心坐标为，圆的半径， 设圆上一点的坐标为，为圆上的点到原点的距离， 而圆心到原点的距离为， 则圆上的点到原点的距离的最小值为. 故答案为：. 11. 已知函数，若，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数单调性分段处理即可得解. 【详解】由题函数在单调递增，在为常数函数， 且 若 则或或 则或或 解得：或或， 综上所述： 故答案为： 12. 已知直线与圆相交于两点，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点，取中点B，易得，进而可得出答案. 【详解】由，得， 令，解得， 所以直线过定点， 由得圆心，半径， 如图，取中点B，则， 当且仅当两点重合时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 二､选择题（本大题共有4题，13-14题4分，15-16题5分，满分18分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. “直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线平行与斜率之间的关系，逐个选项进行判断即可. 【详解】充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立； 必要性：直线与的斜率相等，则直线与平行或重合，故必要性不成立； 综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的既非充分又非必要条件. 故选：D 14. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数，反比例函数和二次函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，函数在上为减函数，故A不符合； 对于B，函数在区间上为减函数，故B不符合； 对于C，当时，函数在区间上为增函数，故C符合； 对于D，函数在上单调递减， 在上单调递增，故D不符合. 故选：C. 15. 点，到直线的距离都是4，满足条件的直线有（ ） A. 一条 B. 两条 C. 三条 D. 四条 【答案】C 【解析】 【分析】先求得两点间距离,根据距离判断中垂线的情况;再由两条平行线可满足条件即可得解. 【详解】因为点, 所以由两点间距离公式可得 则点,到线段中垂线的距离都等于4 位于直线两侧且与直线平行的直线,有两条满足点,到直线的距离都是4 综上可知,共有3条直线满足点,到直线的距离都是4 故选:C 【点睛】本题考查了两点间距离公式,两平行线距离,属于基础题. 16. 已知点为半圆上一动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简，转化为半圆上的动点与点连线的斜率，画出示意图，结合直线与圆相切计算即可. 【详解】因，其中可看成半圆上的动点与点连线的斜率． 过点作QB与半圆相切，B为切点，此时连线斜率最大， 因,则在中，，， 则， 故的最大值为. 故选：D. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若过定点的直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先求出线段的垂直平分线方程，然后与直线联立方程组可求出圆心的坐标，从而可求出圆的半径，进而可求出圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，然后判断出直线的斜率存在，设直线为，再利用点到直线的距离公式列方程求出，从而可求出直线的方程. 【小问1详解】 由题意得线段的中点坐标为，直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 由，得，即， 所以圆的半径为， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 因为直线被圆所截得的弦长为6， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线为，则圆心到直线的距离为3，不合题意， 所以直线的斜率存在，设直线为，即， 则，化简整理得，解得或， 所以直线为或. 18. 直线过点，且与轴，轴正半轴分别交于两点. （1）若，求直线的方程； （2）求的面积的最小值. 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）设直线截距式为，可得，，进而结合列方程组求解即可； （2）设直线截距式为，代入点得到，利用基本不等式即可求出面积最小值. 【小问1详解】 设直线的方程为，则，， 所以， 由，得，解得， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 设直线的方程为， 将点代入得，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以，. 所以的面积最小值为12. 19. 设常数，函数. （1）当时，用定义证明在上是严格减函数； （2）讨论函数的奇偶性. 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由单调性的定义，作差即可求证； （2）由奇偶性的定义分类讨论即可； 【小问1详解】 证明：由已知得， 任取①，则， 是增函数，， 即，又， ， ，即在上是严格单调减函数． 【小问2详解】 当时，定义域为； ， 此时函数为偶函数； 当时，定义域为； ， 此时函数为奇函数； 当且，，， 显然，既不相等，也不相反，此时非奇非偶函数； 20. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点． （1）已知函数，求函数的不动点； （2）若对于任意的，二次函数（）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围； （3）若函数在区间上有唯一的不动点，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求函数的不动点，即求方程的根，即求方程的解； （2）二次函数（）恒有两个相异的不动点，等价于方程有两个不等实根，对于任意的恒成立，只需要不等式恒成立，求实数a的取值范围即可； （3）在区间上，函数有唯一零点，应用零点存在性定理即可，同时还要关注区间边界函数值为零和判别式为零的情形. 【小问1详解】 设为不动点，因此，即， 解得或，所以为函数的不动点． 【小问2详解】 方程，即， 有， 因为，于是得一元二次方程有两个不等实根， 即判别式， 依题意，对于任意的，不等式恒成立， 只需关于未知数的方程无实数根， 则判别式， 整理得，解得， 所以实数a的取值范围是． 【小问3详解】 由，得， 由于函数在上有且只有一个不动点， 即在上有且只有一个解 令 ①，则，解得； ②，即时， 方程可化为，另一个根为，不符合题意，舍去； ③，即时， 方程可化为，另一个根为1，满足； ④，即，解得， （i）当时，方程的根为，满足； （ii）当时，方程的根为，不符合题意，舍去； 综上，m的取值范围是或． 21. 已知圆：与直线交于M、N两点，点P为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. （1）求的值及的面积； （2）若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线、分别交：于R、S两点.当点Q变化时，以为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）， （2）过定点， 【解析】 【分析】（1） 先确定直线的方程，联立直线方程求得点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得；根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可； （2）设直线方程，含参表示直线方程，求出坐标，从而求出以为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可. 【小问1详解】 由题意可知直线的方程为， 则联立与可求出点坐标为， 又因点P为线段的中点，所以可得， 即，所以可得， 由可知圆心，所以到直线的距离， 又因圆半径为，根据勾股定理可求得， 所以线段， 又因原点到直线距离为，所以线段上的高为， 所以. 【小问2详解】 由圆与轴交于两点，得， 不妨设直线的方程为，其中， 在直线的方程中，令，可得， 因为，则直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 则线段的中点为，圆的半径平方为， 所以以线段为直径的圆的方程为， 即，由，解得， 因此当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点. 【点睛】解题的关键是设直线的方程为，则直线的方程为，由表示的中点为，圆的半径平方为，得以线段为直径的圆的方程，可得以线段为直径的圆过圆内的一定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $