第十九章几何证明小练习2024-2025学年沪教版（上海）八年级数学第一学期

几何证明打卡小练习 1．已知：如图所示，AB=CD，． 求证：． 2．如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE， 求证：（1）BE=DC （2）BE⊥DC． 3．已知：如图所示，AD平分，M是BC的中点，MF//AD，分别交CA延长线，AB于F、E． 求证：BE=CF． 4．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD=BD，∠1=∠2，求证：CM⊥AD． 5．已知：AD是的中线，AE=EF．求证：AC=BF． 6．已知：△ABC，△BDE为等边三角形，C、B、D三点共线． 求证：（1）AD=EC； （2）BP=BQ； （3）△BPQ为等边三角形． 7．如图所示，已知中，，BD、CE分别平分和，BD、CE交于点O． 求证：BE+CD=BC． 8．如图所示，在中，AB=AC，，BE平分，交AC于D，于E点， 求证：． 9．如图，在中，，，D是上一点，交延长线于点E，且，求证：是的角平分线． 10．如图，中，，点D在边上，，垂足为E，点G在上，且，．求证：． 11．如图，中，，，．求的面积． 12．如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E，F，，垂足为G． (1)求证：． (2)若厘米，厘米，求的长． 13．如图，在中，，，点、在边上，满足，那么线段、、是否有可能使等式成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 14．如图，在中，垂直平分边，交于点，平分的外角，，垂足为点，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，求证：． 15．如图，直角三角形中，为上一点，作，垂足为，同时恰好垂直平分． (1)求证：平分； (2)如果是中点，，求长度． 16．如图，已知，是的中点，平分．求证： (1)平分； (2)． 17．如图，在，，平分，于点，点在边上，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 18．如图，平分，垂足分别为点． (1)求证：； (2)如果，，求的长度． 19．如图，在四边形中，平分．过点作，垂足为点． (1)求证：； (2)探究：线段和的数量关系并证明你的结论． 20．已知，如图，，，是上的高，是边上的中线，于点． (1)若，求线段的长； (2)求证：． 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 《几何证明打卡小练习》参考答案 1．见解析. 【分析】过点E作EF⊥OB于F，EG⊥OD于点G，由可得EF=EG，然后根据HL证明Rt△OEF≌Rt△OEG，即可得到∠EOF=∠EOG，问题得证. 【详解】证明：过点E作EF⊥OB于F，EG⊥OD于点G， ∵AB=CD，， ∴， ∴EF=EG， 在Rt△OEF和Rt△OEG中，， ∴Rt△OEF≌Rt△OEG， ∴∠EOF=∠EOG，即. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据面积相等求得EF=EG是解题关键. 2．（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）由AB⊥AC，AD⊥AE，且AB=AC，AD=AE，利用SAS可判定△DAC≌△EAB，继而可证得BE＝DC； （2）由△DAC≌△EAB，可得∠ADC＝∠AEB，然后根据∠ADC＋∠APD＝90°，通过等量代换可证得∠EQP＝90°，问题得解． 【详解】证明：（1）∵AB⊥AC，AD⊥AE， ∴∠BAC＝∠EAD＝90°， ∴∠DAC＝∠EAB， 在△DAC和△EAB中，， ∴△DAC≌△EAB（SAS）， ∴BE＝DC； （2）∵△DAC≌△EAB， ∴∠ADC＝∠AEB， ∵∠ADC＋∠APD＝90°，∠APD=∠EPQ， ∴∠AEB＋∠EPQ＝90°， ∴∠EQP＝90°， 即BE⊥DC． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 3．见解析. 【分析】过B作BN∥AC交EM延长线于N点，易证△BMN≌△CMF，可得CF＝BN，然后由MF//AD，AD平分∠BAC可得∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM，∠BEM＝∠N，所以BE＝BN＝CF. 【详解】证明：过B作BN∥AC交EM延长线于N点， ∵BN∥AC，BM＝CM， ∴∠BMN＝∠CMF，∠N＝∠F， ∴△BMN≌△CMF， ∴CF＝BN， 又∵MF//AD，AD平分∠BAC， ∴∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM， ∴∠BEM＝∠N， ∴BE＝BN＝CF. 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点． 4．见解析. 【分析】过点C作CE⊥AB交AB于点E，交AD于点F，AD与CM交于点G，根据∠B=∠BCE=45°，CD=BD，∠1=∠2证明△CDF≌△BDM，得到CF=BM，然后再由AC=BC及通过SAS证明△ACF≌△CBM，得到∠CAF=∠BCM，再根据角之间的等量代换可证明∠CFG+∠ECM=90°，问题得证. 【详解】证明：过点C作CE⊥AB交AB于点E，交AD于点F，AD与CM交于点G， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠B=∠BCE=45°， 在△CDF和△BDM中，， ∴△CDF≌△BDM（ASA）， ∴CF=BM， 在△ACF和△CBM中，， ∴△ACF≌△CBM（SAS）， ∴∠CAF=∠BCM， ∵∠BCM +∠ECM =∠CAF+∠EAF=45°， ∴∠ECM =∠EAF， ∵∠AFE=∠CFG，且∠AFE+∠EAF=90°， ∴∠CFG+∠ECM=90°，即∠CGF=90°， ∴CM⊥AD. 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，寻找合适的全等三角形是解题关键，有一定难度． 5．见解析. 【分析】延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，再根据等腰三角形的性质证明即可． 【详解】证明：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM， ∵AD是△ABC中线， ∴CD＝BD， ∵在△ADC和△MDB中，， ∴△ADC≌△MDB（SAS）， ∴BM＝AC，∠CAD＝∠M， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠CAD＝∠M， ∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF． 【点睛】本题考查了三角形的中线，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 6．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，从而证得△ABD≌△CBE，即可得到AD=EC； （2）根据△ABD≌△CBE，∠ABE=60°，可通过ASA证明△PBE≌△QBD，所以BP=BQ； （3）由BP=BQ，∠ABE=60°，可得△BPQ为等边三角形. 【详解】证明：（1）∵△ABC与△BDE为等边三角形， ∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°， ∴∠ABD＝∠CBE， 在△ABD和△CBE中，， ∴△ABD≌△CBE(SAS)， ∴AD=EC； （2）∵△ABD≌△CBE，∠ABC＝∠DBE＝60°，C、B、D三点共线， ∴∠ADB=∠CEB，∠ABE=60°， 在△PBE和△QBD中，， ∴△PBE≌△QBD（ASA）， ∴BP=BQ； （3）连接PQ， ∵BP=BQ，∠ABE=60°， ∴△BPQ为等边三角形. 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 7．见解析. 【分析】在BC上取点G使得CG＝CD，可证△COD≌△COG，得∠BOG＝∠BOE，然后证△BOE≌△BOG，得BE＝BG，可以求得BE＋CD＝BC． 【详解】解：在BC上取点G使得CG＝CD， ∵∠BOC＝180°−（∠ABC＋∠ACB）＝180°−（180°−60°）＝120°， ∴∠BOE＝∠COD＝60°， ∵在△COD和△COG中，， ∴△COD≌△COG（SAS）， ∴∠COG＝∠COD＝60°， ∴∠BOG＝120°−60°＝60°＝∠BOE， ∵在△BOE和△BOG中，， ∴△BOE≌△BOG（ASA）， ∴BE＝BG， ∴BE＋CD＝BG＋CG＝BC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证CD＝CG和BE＝BG是解题的关键． 8．见解析. 【分析】延长CE与BA交于点F，首先证明△BAD≌△CAF，根据全等三角形的性质可得BD＝CF，再证明△BEF≌△BEC可得CE＝EF，进而可得. 【详解】证明：延长CE与BA交于点F， ∵∠BAC＝90°，CE⊥BE， ∴∠BAC＝∠DEC， ∵∠ADB＝∠CDE， ∴∠ABD＝∠DCE， 在△BAD和△CAF中，， ∴△BAD≌△CAF（ASA）， ∴BD＝CF， ∵BE平分∠ABC，CE⊥BE， ∴∠FBE＝∠CBE， 在△BEF和△BEC中，， ∴△BEF≌△BEC（ASA）， ∴CE＝EF， ∴BD＝CF=2CE，即. 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法以及全等三角形的对应边相等． 9．见解析 【分析】延长、交于点F，利用即可证出，从而得出，结合可得垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，利用三线合一即可证出结论． 此题主要考查了全等三角形，线段垂直平分线，等腰三角形，熟练掌握全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，三线合一，是解题关键． 【详解】如图，延长、交于点F． ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 又， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 10．详见解析 【分析】过点D作于点M，根据三角形内角和定理及等腰三角形的判定推出，求出，则，证明，根据全等三角形的性质求出，再根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】证明：如图，过点D作于点M， ∵， ∴ ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴、是直角三角形， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 11． 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，设，则，在和中，由勾股定理得出方程，解得，则，再由勾股定理求出的长，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， ， 即的面积为． 12．(1)见解析 (2)8厘米 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，从而得出，，由角平分线的定义可得，即可得证； （2）结合对顶角相等可得，由等角对等边可得厘米，由角平分线的性质定理可得厘米，再由勾股定理可得厘米，即可得解． 【详解】（1）证明：由题意得：，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴厘米， ∵平分，，， ∴厘米， ∵， ∴， ∴， ∴厘米， ∴厘米． 13．等式成立，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，勾股定理和三角形内角和定理，过点A作使得，连接，先求出，再证明，得到，进一步证明，得到，在中，由勾股定理得，则． 【详解】解：等式成立，证明如下： 如图所示，过点A作使得，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 14．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）通过证明，即可求证； （2）证明为等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，得到即可得证． 【详解】（1）证明：∵垂直平分边， ∴， ∵平分的外角，，， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分边， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 15．(1)见解析 (2)1 【分析】此题考查了勾股定理、全等三角形判定和性质、直角三角形的性质等知识． （1）证明，则，即可得到结论； （2）由全等得到，利用勾股定理求出解得，则，设，则，则，得到，解方程即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵恰好垂直平分． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）∵ ∴， ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， 解得， ∴ 设， 则， ∵， ∴， ∴， 解得 即长度为1． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的判定和性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质找边和角之间的关系． （1）过点作，根据角平分线的性质可证，根据中点的定义可知，所以可证，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证结论成立； （2）根据可知，根据两直线平行同旁内角互补可得，根据角平分线的定义可知，根据三角形的内角和定理可证，从而可证结论成立． 【详解】（1）证明：如下图所示，过点作， 平分，， ， ， 是的中点， ， ， 平分； （2）证明：由可知平分， ， 又平分， ， ， ， ∴， ， ， 在中，， ． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，熟练掌握直角三角形的全等判定和性质是解题的关键． （1）证明即可求解； （2）需要先证明，得到，求得，再证明，然后在中，根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由（1）得， ∴， 设，， ∴在中，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴； 18．(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键． （1）证明，，进而证明 ，即可得证； （2）根据平行线的性质和含的直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：平分，， ， ，； 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）可知， 平分，， ，， ∵， ，， ， ， ∵在中，， ， ． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两部分知识、构造全等三角形是解题的关键； （1）过点A作交延长线于点F，由角平分线的性质定理得，再证明即可得； （2）证明，得，则． 【详解】（1）证明：如图，过点A作交延长线于点F， ∵平分，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：； 理由如下： 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．(1)4； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形，直角三角形斜边中线 等于斜边的一半等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由含30度角的直角三角形可知，再由等角对等边可得出． （2）连接，由直角三角形的性质可知，从而证得，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ； （2）证明：连接， ，， ， ，， ， ， ． 答案第10页，共19页 答案第11页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $$