8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 目录 知识点一：平面 2 题型1：平面的概念及其表示 2 题型2： 平面分空间的区域数量 4 知识点二：平面的基本性质 6 题型3： 平面基本性质及辨析 7 题型4： 点（线）共面问题 9 题型5： 点共线问题 14 题型6： 线共点问题 17 题型7： 截面问题 20 知识点三：直线与直线的位置关系 24 题型8：直线与直线的位置关系 25 知识点四：直线与平面的位置关系 27 题型9：直线与平面的位置关系 27 知识点五：两个平面的位置关系 31 题型10：平面与平面的位置关系 31 知识点一：平面 1. 平面的概念 立体几何里的平面就是从生活中常见的平面抽象出来的，生活中的平是面是比较平且有限的，而立体几何里的平面是理想的、绝对的平且无限延展的． 2. 平面的画法 (1) 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. (2) 两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画. 3. 平面的表示方法 我们常用希腊字母表示，如平面，平面，平面等,并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写字母作为这个平面的名称，如上图的平面，也可以表示为平面或平面或平面. 4. 点与直线（平面）、直线与平面的位置关系 (1) 点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作； (2) 点A在平面上，记作；点A在平面外，记作； (3) 直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作． 题型1：平面的概念及其表示 【例1.1.】 （多选）下列说法正确的是（    ） A．平面是处处平的面 B．平面是无限延展的 C．平面的形状是平行四边形 D．一个平面的厚度可以是0.001cm 【答案】AB 【详解】平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，AB两种说法是正确的；CD两种说法是错误的． 故选：AB 【例1.2.】 如图所示的平行四边形表示的平面不能记为（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】A 【详解】表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP． 由题可知A错误，BCD正确. 故选：A. 【例1.3.】 下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，图中没有画出平面与平面的交线，故A不正确； 对B，C，图中的虚实线没有按照画法原则去画，故 B，C不正确； 对D，符合画法原则，故D正确， 故选：D 【例1.4.】 若点在直线上，在平面上，则点，直线，平面之间的关系可以记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点与直线的位置关于用表示 直线在平面内或不在平面内用表示 由题意可知 故选:B. 【例1.5.】 如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点和面、点和线的关系用“”或“”表示，故A错误； 线面关系用“”或“”表示，故BD错误； 根据图形有，C正确. 故选：C 题型2： 平面分空间的区域数量 【例2.1.】 三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】对于A，三个平面将空间分成4个部分，不合题意； 对于B，三个平面将空间分成6个部分，不合题意； 对于C，三个平面将空间分成7个部分，符合题意； 对于D，三个平面将空间分成8个部分，不合题意. 故选：C 【例2.2.】 正方体的6个面无限延展后把空间分成 个部分 【答案】 【详解】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分. 故答案为： 【例2.3.】 三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分.    （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分；    综上，可以为、、、部分，不能为部分， 故选：B. 知识点二：平面的基本性质 1. 三个基本事实 (1) 基本事实1 自然语言：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 符号语言：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，. 图形语言： (2) 基本事实2 自然语言：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 符号语言：，，，. 图形语言表述： (3) 基本事实3 自然语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号语言：且. 图形语言： 2. 基本事实1和基本事实2的三个推论 (1) 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. (2) 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. (3) 推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面. 题型3： 平面基本性质及辨析 【例3.1.】 在空间中，下列命题不正确的是（    ） A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点．且在一条直线上 B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C．梯形可确定一个平面 D．任意三点能确定一个平面 【答案】D 【详解】对于选项A，若两个平面有一个公共点，则它们有经过该公共点的一条直线，即两平面有无数个公共点，故选项A正确； 对于选项B，若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线，否则，若存在三点共线，则问题转化为一条直线与直线外一点，则四点共面，故选项B正确； 对于选项C，因为两条平行直线确定一个平面，所以梯形可确定一个平面，故选项C正确； 对于选项D，共线的三点不能确定一个平面，故选项D错误； 故选：D. 【例3.2.】 下列说法正确的是（    ） A．一个点和一条直线确定一个平面 B．两个平面可以只有一个公共点 C．三条平行直线一定共面 D．三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面 【答案】D 【解析】对于A，如果这个点在这条直线上，这时有无数个平面， 如果这个点不在这条直线上，由推论1知，有且只有一个平面，，故A错误； 对于B，若两个平面有一个公共点，那么就有一条经过该点的公共直线，即交线，该交线上有无数个公共点，故B错误； 对于C，三条平行直线可能共面，也可能有一条在另外两条确定的平面外，故C错误； 对于D，当三条直线两两相交，三个交点不重合时，三条直线共面， 当三条直线两两相交于一个点时，这三条直线可能在同一个平面内，也可能不共面， 此时其中任意两条直线都可确定一个平面，即可确定3个平面，故D正确， 故选：D 【例3.3.】 下列推断中，错误的是（    ） A．若，，，则 B．，，， C．， D．，，且不共线重合 【答案】C 【详解】对于A，因为，，，由基本事实3可知， A对； 对于B，，，，，故直线，，即，B对； 对于C，若，则有，，但，C错； 对于D，有三个不共线的点在平面中，故重合，D对. 故选：C. 【例3.4.】 空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 【答案】D 【详解】当四个点为平面四边形的四个端点时，只能确定唯一平面； 当四个点为三棱锥的四个端点时，可以确定四个不同的平面； 当四个点共线时，可以有无数个平面过这四个点. 故选：D. 题型4： 点（线）共面问题 方法提炼 所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题． (1) 证明点（线）共面的主要依据 ①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（基本事实2）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（基本事实1及其推论）． (2) 证明点（线）共面的常用方法 1　 纳入法：先确定一个平面，再证明其他有关点（线）在这个平面内． 2　 重合法：先证明有关的点（线）确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合． 3　 反证法. (3) 具体操作方法 1　 证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内； 2　 证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内． 【例4.1.】 如图，已知直线直线l与都相交，求证：过有且只有一个平面. 【答案】证明见解析 【详解】证法1：纳入法 共面. 证法2：重合法 ，确定一个平面α. ，∴直线确定一个平面β. 又. ∴平面α与β重合，故直线共面. 【例4.2.】 如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明点在平面内． 【详解】 证明：在上取点使得,连, 因为,所以 所以四边形为平行四边形， 因为所以四点共面，所以四边形为平行四边形， ，所以四点共面， 因此在平面内 【例4.3.】 已知是空间五个点，且线段和两两相交，求证这五个点在同一平面上. 【详解】如图，设，， ∵， ∴确定一个平面， ∵， ∴， 同理， ∴直线即直线， ∴，， ∴这五个点在同一平面上. 【例4.4.】 (多选)如图，正方体中，若分别为棱的中点，分别是四边形，的中心，则（ ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．四点共面 【答案】ACD 【详解】对于A，由是四边形的中心，知是的中点，所以在平面内，所以四点共面，故A正确； 对于B，由分别为棱的中点，知在平面内，D不在平面内，所以四点不共面，故B错误； 对于C，由已知可知，所以四点共面，故C正确； 对于D，连接并延长，交于H，则H为的中点，连接，则，所以四点共面，故D正确； 故选：ACD 【例4.5.】 已知：如图，直线两两相交，且不共点．求证：直线在同一平面内. 【详解】图①中，没有三条直线交于一点， 因为，所以确定平面， 又因，所以， 所以， 同理可得， 所以直线在同一平面内； 图②中，三条直线交于一点， 因为又因，所以， 所以， 同理， 所以直线在同一平面内， 综上所述，所以直线在同一平面内. 题型5： 点共线问题 方法提炼 所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上． (1) 证明三点共线的依据是基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上． 对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上． (2) 证明三点共线的常用方法 方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据基本事实3知，这些点都在交线上． 方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上． 【例5.1.】 如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【详解】证明：，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 【例5.2.】 （多选）如图，平面∩平面，直线，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】CD 【详解】因为， 所以点A在与的交线上，点B在与的交线上，点C在与的交线上，点D在与的交线上， 故选：CD 【例5.3.】 如图，在正方体中，为棱的中点．设与平面的交点为，则（       ） A．三点 共线，且 B．三点不共线，且 C．三点共线，且 D．三点不共线，且 【答案】A 【详解】在正方体中，连接 ，如图， ，故共面， 连接 ，平面平面， 因为M为棱 的中点，则平面， 而平面，即平面，又，则平面， 因AM与平面 的交点为O，则平面， 于是得，即三点共线， 由，为棱的中点，可得且，故 于是得，即 ， 所以三点共线，且. 故选：A 【例5.4.】 如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点．求证： (1)，O，M三点共线； (2)E，C，，F四点共面． 【详解】（1）由题意得平面， 又，平面， 所以平面， 由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上， 所以三点共线 （2）连接EF、、， 因为E、F分别为AB、的中点， 所以， 又正方体， 所以， 所以， 因为两平行直线可确定一个平面， 所以E，C，，F四点共面. 题型6： 线共点问题 方法提炼 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点． (1) 证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题． (2) 证明三线共点的依据是基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些所有公共点的集合是一条经过这个公共点的直线.也就是说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上. 【例6.1.】 如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点． 【详解】如图，梯形中，因为， 所以与必交于一点， 设交于点，则， 又因为， 所以， 又因为，所以， 所以共点． 【例6.2.】 如图，在正四棱柱中，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，共点；    【详解】四点共面，不平行于，设， 又平面，平面，均不平行于， 为平面与的公共点， 又平面平面， 根据基本事实3可得， 直线BG，EF，共点； 【例6.3.】 如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点. (1)求证：E，F，C1，四点共面； (2)求证：A1E，F，B交于一点. 【详解】（1）证明：如图， 连接EF， ∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴.. 又在三棱柱中，， ∴. 则E，F，，四点共面. （2）由（1）得且E，F，，四点共面， 则与必相交. 设. ∵平面，∴P∈平面. ∵⊂平面，∴P∈平面.. 又平面∩平面 ∴. 则，，交于一点. 题型7： 截面问题 【例7.1.】 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（    ）    A． B．9 C． D． 【答案】A 【详解】    如图，取AB的中点G，连接GE，，． 因为E为BC的中点，所以，， 又，， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 所以，， 所以用过点，E，的平面截正方体，所得截面为梯形， 其周长为． 故选：A． 【例7.2.】 已知，，是正方体的棱，，的中点，则平面截正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【详解】如图所示，分别取，，的中点，，，连接 ，，，，，，则，. ，. 同理可得，. 由基本事实及其三个推论得，，，，，六点共面， 所以平面截正方体所得的截面是六边形. 故选：D. 【例7.3.】 如图所示，在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，上的动点（包含端点），当，分别为棱，的中点时，则过，，三点作正方体的截面，所得截面为 边形．    【答案】五 【详解】    如图，取中点，连接，有，且， 则四边形是平行四边形，有，过作的平行线交于点， 此时，则，即为过，，三点的平面与平面的交线， 连接，在上取点，使得，连接，同证的方法得， 在棱上取点，使，连接并延长交直线于，则， 即，而，于是四边形是平行四边形， 有，则为过，，三点的平面与平面的交线， 连接，则可得五边形即为正方体中过，，三点的截面． 故答案为：五 【例7.4.】 如图，正方体棱上一动点F，点E为棱BC的中点，则平面AEF截得正方体的几何图形可以是（    ）    A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．六边形 【答案】AC 【详解】如图，当点为棱的中点时，截面为等腰梯形； 当点在点处时，截面为菱形； 当时，截面为五边形； 当时，截面为四边形； 综上所述，AC正确，BD错误.    故选：AC. 【例7.5.】 在正四棱柱中，为线段的中点，一质点从点出发，沿长方体表面运动到达点处，若沿质点的最短运动路线截该正四棱柱，则所得截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，把正四棱柱的侧面展开图可得最短距离， （1）  ，（2）  ，（3）   （1），（2），（3）， 所以质点从到的最短距离为， 此时质点从点出发，经过上靠近的三等分点，再到达点， 面截正四棱柱所得截面为五边形，如图， 由，， 所以沿质点的最短运动路线截正四棱柱，    则所得截面的面积为： ． 故选：B 知识点三：直线与直线的位置关系 1. 异面直线 (1) 定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2) 画法： 2. 空间中两条直线的位置关系 题型8：直线与直线的位置关系 【例8.1.】 在空间中，若两条直线与没有公共点，则a与b（    ） A．相交 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【详解】由题意知在空间中，两条直线与没有公共点，即与不相交， 则a与b可能平行，也可能是异面直线， 故选：D 【例8.2.】 若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、相交或异面 【答案】D 【详解】如图，在长方体中，所在直线为a，AB所在直线为b， 已知a和b是异面直线，b和c是异面直线， 则c可以是长方体中的，，. 故a和c可以平行、相交或异面． 故选：D 【例8.3.】 （多选）已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线是异面直线的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由题意可知M为的中点，故，， 故，与均为相交直线，A，B错误； 平面，平面直线， 故与直线为异面直线，同理可说明与直线为异面直线，C，D正确， 故选：CD 【例8.4.】 在图中，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有 （填上所有正确答案的序号）．    【答案】②④ 【详解】对①，连接，为中点，，又，，故直线，共面，故①错误；    对②，、、三点共面，但面，因此直线与异面，故②正确； 对③，如图，连接，为中点，，又，，故直线，共面，故③错误；   对④，、、共面，但面，与异面．故④正确. 故答案为：②④. 知识点四：直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 有无数个公共点 直线a与平面α相交 有且只有一个公共点 直线a与平面α平行 无公共点 题型9：直线与平面的位置关系 【例9.1.】 如图，在长方体中，则下列结论正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线与直线是相交直线 D．直线与直线是异面直线 【答案】D 【解析】在长方体中， 直线平面，点，且不重合，即点平面，A不正确； 点平面，点平面，即直线平面，B不正确； 直线平面，则与平面无公共点，直线平面， 所以直线与直线没有公共点，C不正确； 直线平面，即直线与平面无公共点，直线平面， 则直线与直线没有公共点，又，直线，即直线与直线不平行， 因此直线与直线是异面直线，D正确. 故选：D 【例9.2.】 已知空间中点A，B，直线l，平面α，若，，，，则下列结论正确的是（    ）． A． B．l与相交 C． D．以上都有可能 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 又因为，， 所以l与ɑ相交， 故选：B 【例9.3.】 空间中有平面和直线，，若，，则下列说法中一定错误的是（    ） A．直线平行于平面 B．直线在平面内 C．直线与平面交于一点 D．直线和共面 【答案】C 【详解】因为，所以与平面平行或直线在平面内，AB正确，C错误； 因为，所以直线和共面，D正确. 故选：C 【例9.4.】 如图， 在正方体中， 点分别为的中点， 设过点的平面为， 则下列说法正确的是（    ） A．在正方体中， 存在某条棱与平面平行 B．在正方体 中， 存在某条面对角线与平面平行 C．在正方体 中， 存在某条体对角线与平面平行 D．平面截正方体所得的截面为五边形 【答案】D 【解析】对于选项A，交平面于点，平面， 都不与平面平行， 交平面于点，平面， 都不与平面平行，   交平面于点，平面， 都不与平面平行， 故A错误； 观察几何体可知六个面的12条面对角线与平面都相交， 故B错误； 四条体对角线全部与面都相交， 故C错误. 如下图，取中点为，易得， 取中点为，连接，易得， 再取中点为，连接，则， ， 是平面与正方体底面的交线， 延长，与的延长线交于，连接，交于， 则可得五边形即为平面交正方体的截面， 故D正确；            故选：D. 知识点五：两个平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 无公共点 两平面相交 有一条公共直线 题型10：平面与平面的位置关系 【例10.1.】 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面 A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不可能 【答案】C 【详解】由题意，如图所示，直线直线，平面，平面， 易知两平面可能平行或相交，故选C. 【例10.2.】 如图，在正方体中，分别为B′C′，A′D′的中点，则平面与平面 ． 【答案】相交 【详解】在正方体中，E为的中点，所以与不平行， 则延长与BB′必相交于一点，设交点为H， 所以，， 又平面，平面， 所以平面，H∈平面， 故平面与平面相交． 故答案为：相交 【例10.3.】 如图，在正方体中，是棱上一点，且． (1)试画出过三点的平面截正方体所得截面； (2)证明：平面与平面相交，并指出它们的交线． 【详解】（1）在上取一点，使得，延长交于点，连结， 则平面就是过三点的平面截正方体所得截面． （2）平面，平面， 平面平面，即平面与平面相交． 延长，设它们交于点， 直线，直线平面，平面． 直线，直线平面，平面． 为面与面的交线． 【例10.4.】 如图，在长方体中，P为棱的中点． (1)画出平面PAC与平面ABCD的交线； (2)画出平面与平面ABCD的交线． 【详解】（1）平面PAC与平面ABCD的交线为AC，如图（1）. （2）延长交于点E，连接CE， 则CE为平面与平面ABCD的交线，如图（2）. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 目录 知识点一：平面 2 题型1：平面的概念及其表示 2 题型2： 平面分空间的区域数量 4 知识点二：平面的基本性质 4 题型3： 平面基本性质及辨析 5 题型4： 点（线）共面问题 6 题型5： 点共线问题 8 题型6： 线共点问题 10 题型7： 截面问题 11 知识点三：直线与直线的位置关系 12 题型8：直线与直线的位置关系 13 知识点四：直线与平面的位置关系 14 题型9：直线与平面的位置关系 14 知识点五：两个平面的位置关系 15 题型10：平面与平面的位置关系 15 知识点一：平面 1. 平面的概念 立体几何里的平面就是从生活中常见的平面抽象出来的，生活中的平是面是比较平且有限的，而立体几何里的平面是理想的、绝对的平且无限延展的． 2. 平面的画法 (1) 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. (2) 两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画. 3. 平面的表示方法 我们常用希腊字母表示，如平面，平面，平面等,并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写字母作为这个平面的名称，如上图的平面，也可以表示为平面或平面或平面. 4. 点与直线（平面）、直线与平面的位置关系 (1) 点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作； (2) 点A在平面上，记作；点A在平面外，记作； (3) 直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作． 题型1：平面的概念及其表示 【例1.1.】 （多选）下列说法正确的是（    ） A．平面是处处平的面 B．平面是无限延展的 C．平面的形状是平行四边形 D．一个平面的厚度可以是0.001cm 【例1.2.】 如图所示的平行四边形表示的平面不能记为（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【例1.3.】 下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【例1.4.】 若点在直线上，在平面上，则点，直线，平面之间的关系可以记作（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 题型2： 平面分空间的区域数量 【例2.1.】 三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．   B．   C．   D．   【例2.2.】 正方体的6个面无限延展后把空间分成 个部分 【例2.3.】 三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 知识点二：平面的基本性质 1. 三个基本事实 (1) 基本事实1 自然语言：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 符号语言：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，. 图形语言： (2) 基本事实2 自然语言：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 符号语言：，，，. 图形语言表述： (3) 基本事实3 自然语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号语言：且. 图形语言： 2. 基本事实1和基本事实2的三个推论 (1) 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. (2) 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. (3) 推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面. 题型3： 平面基本性质及辨析 【例3.1.】 在空间中，下列命题不正确的是（    ） A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点．且在一条直线上 B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C．梯形可确定一个平面 D．任意三点能确定一个平面 【例3.2.】 下列说法正确的是（    ） A．一个点和一条直线确定一个平面 B．两个平面可以只有一个公共点 C．三条平行直线一定共面 D．三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面 【例3.3.】 下列推断中，错误的是（    ） A．若，，，则 B．，，， C．， D．，，且不共线重合 【例3.4.】 空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 题型4： 点（线）共面问题 方法提炼 所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题． (1) 证明点（线）共面的主要依据 ①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（基本事实2）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（基本事实1及其推论）． (2) 证明点（线）共面的常用方法 1　 纳入法：先确定一个平面，再证明其他有关点（线）在这个平面内． 2　 重合法：先证明有关的点（线）确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合． 3　 反证法. (3) 具体操作方法 1　 证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内； 2　 证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内． 【例4.1.】 如图，已知直线直线l与都相交，求证：过有且只有一个平面. 【例4.2.】 如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明点在平面内． 【例4.3.】 已知是空间五个点，且线段和两两相交，求证这五个点在同一平面上. 【例4.4.】 (多选)如图，正方体中，若分别为棱的中点，分别是四边形，的中心，则（ ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．四点共面 【例4.5.】 已知：如图，直线两两相交，且不共点．求证：直线在同一平面内. 题型5： 点共线问题 方法提炼 所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上． (1) 证明三点共线的依据是基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上． 对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上． (2) 证明三点共线的常用方法 方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据基本事实3知，这些点都在交线上． 方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上． 【例5.1.】 如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【例5.2.】 （多选）如图，平面∩平面，直线，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【例5.3.】 如图，在正方体中，为棱的中点．设与平面的交点为，则（       ） A．三点 共线，且 B．三点不共线，且 C．三点共线，且 D．三点不共线，且 【例5.4.】 如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点．求证： (1)，O，M三点共线； (2)E，C，，F四点共面． 题型6： 线共点问题 方法提炼 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点． (1) 证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题． (2) 证明三线共点的依据是基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些所有公共点的集合是一条经过这个公共点的直线.也就是说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上. 【例6.1.】 如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点． 【例6.2.】 如图，在正四棱柱中，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，共点；    【例6.3.】 如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点. (1)求证：E，F，C1，四点共面； (2)求证：A1E，F，B交于一点. 题型7： 截面问题 【例7.1.】 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（    ）    A． B．9 C． D． 【例7.2.】 已知，，是正方体的棱，，的中点，则平面截正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【例7.3.】 如图所示，在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，上的动点（包含端点），当，分别为棱，的中点时，则过，，三点作正方体的截面，所得截面为 边形．    【例7.4.】 如图，正方体棱上一动点F，点E为棱BC的中点，则平面AEF截得正方体的几何图形可以是（    ）    A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．六边形 【例7.5.】 在正四棱柱中，为线段的中点，一质点从点出发，沿长方体表面运动到达点处，若沿质点的最短运动路线截该正四棱柱，则所得截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 知识点三：直线与直线的位置关系 1. 异面直线 (1) 定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2) 画法： 2. 空间中两条直线的位置关系 题型8：直线与直线的位置关系 【例8.1.】 在空间中，若两条直线与没有公共点，则a与b（    ） A．相交 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 【例8.2.】 若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、相交或异面 【例8.3.】 （多选）已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线是异面直线的有（    ） A． B． C． D． 【例8.4.】 在图中，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有 （填上所有正确答案的序号）．    知识点四：直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 有无数个公共点 直线a与平面α相交 有且只有一个公共点 直线a与平面α平行 无公共点 题型9：直线与平面的位置关系 【例9.1.】 如图，在长方体中，则下列结论正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线与直线是相交直线 D．直线与直线是异面直线 【例9.2.】 已知空间中点A，B，直线l，平面α，若，，，，则下列结论正确的是（    ）． A． B．l与相交 C． D．以上都有可能 【例9.3.】 空间中有平面和直线，，若，，则下列说法中一定错误的是（    ） A．直线平行于平面 B．直线在平面内 C．直线与平面交于一点 D．直线和共面 【例9.4.】 如图， 在正方体中， 点分别为的中点， 设过点的平面为， 则下列说法正确的是（    ） A．在正方体中， 存在某条棱与平面平行 B．在正方体 中， 存在某条面对角线与平面平行 C．在正方体 中， 存在某条体对角线与平面平行 D．平面截正方体所得的截面为五边形 知识点五：两个平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 无公共点 两平面相交 有一条公共直线 题型10：平面与平面的位置关系 【例10.1.】 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面 A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不可能 【例10.2.】 如图，在正方体中，分别为B′C′，A′D′的中点，则平面与平面 ． 【例10.3.】 如图，在正方体中，是棱上一点，且． (1)试画出过三点的平面截正方体所得截面； (2)证明：平面与平面相交，并指出它们的交线． 【例10.4.】 如图，在长方体中，P为棱的中点． (1)画出平面PAC与平面ABCD的交线； (2)画出平面与平面ABCD的交线． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$