精品解析：江苏省盐城市第一次七校联考2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

绝密★启用前 盐城市2025年春学期高二年级七校联盟第一次联考 数学试题 试卷分值：150分 考试时间：120分钟. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 乘积的展开式中项数为（ ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 【答案】C 【解析】 【分析】采用分步乘法计数原理进行计算即可. 【详解】从第一个括号中选一个字母有2种方法，从第二个括号中选一个字母有4种方法，从第三个括号中选一个字母有5种方法，根据分步乘法计数原理可知共有项. 故选：C. 2. 设是空间的一组基底，则一定可以与向量，构成空间的另一组基底的向量是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据基底向量不共面分析即可. 【详解】因为是空间的一组基底，所以向量不共面， 而向量，，则，， 故，与或共面，则不与共面. 故选：C. 3. 已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的减法及线性关系计算即可. 【详解】因为分别是的中点， 所以， 则. 故选：B. 4. 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于坐标平面Ozx对称的点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中点的坐标特征求解. 【详解】由题意得对称点的横坐标和竖坐标与点P的相同，纵坐标与点P的互为相反数， 所以点关于坐标平面Ozx对称的点的坐标为， 故选：C 5. 已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：D 6. 设是空间不共面的四点，且满足，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理证明的内角都为锐角即可. 【详解】设， 因为， 所以， 因此 从而， 即的三个内角都为锐角，因此是锐角三角形， 故选：. 7. 如图；在的矩形长条中，涂上红、黄、蓝3种颜色，每种颜色限涂2格，并且相邻两格不同色，则不同的涂色方法共有种数为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】先分类：第1类，前3个矩形用3种颜色，后3个矩形也用3种颜色；第2类，前3个矩形用2种颜色，后3个矩形也用2种颜色，分别计算后再由加法原理相加即得． 【详解】分2类（先涂前3个矩形，再涂后3个矩形．）： 第1类，前3个矩形用3种颜色，后3个矩形也用3种颜色，有种涂法； 第2类，前3个矩形用2种颜色，后3个矩形也用2种颜色，有种涂法． 综上，不同的涂法和数为． 故选：C． 8. 如图所示，在正方体的侧面内有一动点，点到直线的距离与到直线的距离相等，则动点所在曲线的大致形状为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定点到直线的距离为,再根据抛物线定义确定轨迹形状，即可得结果. 【详解】因为在正方体中，侧面， 所以,即点到直线的距离为, 因为点到直线的距离与到直线的距离相等， 所以在侧面内，点到直线的距离等于, 由抛物线定义知，点轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线在侧面内部分曲线， 因为中点到直线的距离与到点的距离相等，所以抛物线过中点， 因为点到直线的距离与到点的距离相等，所以抛物线过点， 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是空间任意四点，则有 B. 单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直 C. 将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点轨迹是一个圆 D. 若空间向量满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的加法计算判断A，再根据基底定义判断B，根据单位向量判断C，应用向量相等判断D. 【详解】对于A：若是空间任意四点，则有，A选项正确； 对于B：单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直，B选项正确； 对于C，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故C选项错误； 对于D，根据向量相等的定义，空间向量满足，则明显成立，故D选项正确. 故选：ABD. 10. 象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（ ） A. 共有种排列方式． B. 若两个“将”相邻，则有种排列方式． C. 若两个“将”不相邻，则有种排列方式． D. 若同色棋子不相邻，则有种排列方式． 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由全排列知识进行求解，B选项，相邻问题进行捆绑，再由排列知识求出答案；C选项，不相邻问题插空法进行求解；D选项，先将2个黑色的棋子进行全排列，再插空即可. 【详解】A选项，由排列知识可得共有种排列方式，A正确； B选项，两个“将”捆绑，有种情况，再和剩余的4个棋子进行全排列， 故共有种情况，B错误； C选项，两个“将”不相邻，先将剩余3个棋子进行全排列，共有4个空， 再将两个“将”插空，故共有种情况，C正确； D选项，将2个黑色的棋子进行全排列，共有3个空， 再将3个红色的棋子进行插空，则有种排列方式，D正确. 故选：ACD 11. 如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱，的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 若，则直线与平面所成角的正弦值的最小值是 C. 若，则在平面上的投影向量可以是 D. 若是棱的一点，则异面直线与所成角余弦值的范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】由面面平行的判定定理可得平面平面，从而可得点Р的轨迹是线段，即可判断A，建立空间直角坐标系结合空间向量的坐标运算即可判断B，求出向量在向量方向上投影向量即可判断C,结合选项B的建系，计算出异面直线与所成角余弦值即可判断D. 【详解】分别取棱，的中点M，N，连接， 易证，， 平面，平面，所以平面， 且平面，平面，所以平面， 又平面，则平面平面， 因为平面，且P是正方形内的动点， 所以点Р的轨迹是线段. 因为，所以，因为，所以， 故A正确. 以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如下图所示的空间直角坐标系. 由题中数据可知，则 ，，. 设平面CEF的法向量为，则，得. 设直线AР与平面CEF所成的角为，则. 因为，所以，所以， 所以，则，故B正确. 由选项B知，，. 所以向量在向量方向上投影向量为：, 又因为，当，即时，取等号，所以在平面上的投影向量可以是，故C正确； 由选项B建系可知，若是棱的一点，则令，则， 所以， 所以，故D错误； 故选：ABC 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个方向向量，且直线过和两点，则______. 【答案】0 【解析】 【分析】直线的一个方向向量且过和，有 、共线即有，列方程求参数y、z进而求得 【详解】∵由和，有 又，直线的一个方向向量为 ∴可设 有，解得 ∴ 故答案为：0 【点睛】本题考查了应用向量共线求空间向量坐标参数；结合直线方向向量与其上两点所表示向量共线，求坐标参数 13. 《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】利用捆绑法结合倍缩法可得出不同的下锅顺序种数. 【详解】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干三种原料进行捆绑，且这三种原料无顺序， 茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅， 所以，不同的下锅顺序种数为种. 故答案为：. 14. 如图，有一长方形的纸片的长度为的长度为，现沿它的一条对角线把它折叠成的二面角，则折叠后__________，线段的长是__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】第一空，先转化向量，再利用向量数量积求解；第二空，先作，再根据二面角为得最后根据，利用向量平方求结果. 【详解】第一空，因为矩形， 所以 第二空，分别过作，分别交于， 因为二面角为，所以平面平面， 又平面平面,平面所以平面， 因为平面,所以， 因为矩形，所以， 同理可得， 因为 所以 故答案为：，. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）解不等式：. 【答案】（1）64；（2）3或4 【解析】 【分析】（1）利用排列数公式计算即可； （2）根据排列数公式运算求解即可. 【详解】（1）. （2）因为，可知，且， 整理可得，解得， 且，所以或. 16. 已知空间中三点、、，设，. （1）若向量与互相垂直，求的值； （2）若，且与共线，求向量. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出向量、的坐标，进而求出向量的坐标，由题意可得出，结合空间向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可； （2）设，其中，求出的值，利用向量模的性质求出的值，即可得出向量的坐标. 【小问1详解】 由题意可得，， 所以，， 因为向量与互相垂直，则，解得. 【小问2详解】 由题意可得，则， 因为与共线，设，其中，则，解得， 当时，；当时，. 综上所述，或. 17. 如图，已知正方体的棱长为2，点为棱上一点，直线与所成角为. （1）求与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，由此能求出与平面所成角的正弦值． （2）先求出平面的法向量，再应用二面角余弦公式计算最后结合角的范围即可解题. 【小问1详解】 以D为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系， ∵正方体的棱长为2，设， 则， 则， 因为直线与所成角为，所以， 化简得，计算得， 所以， 设平面的法向量， 则，取，得， 设与平面所成角为θ， ． ∴与平面所成角的正弦值为． 【小问2详解】 设平面的法向量， 则设二面角为， 得， 因为为锐角，所以. 18. 把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们由大到小的顺序排成一个数列. （1）求43251是这个数列的第几项； （2）求这个数列的第26项； （3）求这个数列的所有项的和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先确定首位为时数列个数，再确定首位为，千位为时数列个数，依次往下分析，直至43251，即可得结果；（2）由于首位为时数列个数已经有项，只需往下数两项即可；（3）先分析数字出现在各位数的个数，再相加即得结果. 【小问1详解】 首位为时,共有项， 首位为，千位为时，共有项， 首位为，千位为，百位为时，共有项，再往下就是 所以是数列第项， 【小问2详解】 首位为时,共有项，再往下就是 因此这个数列的第26项是， 【小问3详解】 首位为时,各出现次，其和为， 千位为时,各出现次，其和为， 百位为时,各出现次，其和为， 十位为时,各出现次，其和为， 个位为时,各出现次，其和为， 因此所有项的和为 19. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面底面，为上的点，且平面. （1）求证：平面平面； （2）求二面角大小的正切值； （3）试探求点到平面的距离与四面体外接球半径的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）证明过程见解析； （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而⊥，又平面，所以，得到⊥平面，得到面面垂直； （2）作出辅助线，证明出线线垂直，得到或其补角为二面角的平面角，求出各边长，得到正切值； （3）作出辅助线，由等体积法求出点到平面的距离，并找到四面体的外接球球心，求出半径，比较出大小. 【小问1详解】 因为底面是边长为2的正方形， 所以⊥， 因为平面底面，交线为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以平面⊥平面； 【小问2详解】 连接，交于点，连接， 因为底面是边长为2的正方形， 所以⊥，由勾股定理得，故， 因为平面，平面， 所以，， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 所以或其补角为二面角的平面角， 由（1）知，⊥平面， 平面，所以⊥， 又，，由勾股定理得， 由（1）知，⊥平面，平面，故⊥， 由勾股定理得， 所以， 因为，故， 所以， 所以二面角大小的正切值为； 【小问3详解】 ，理由如下： 取的中点，连接，，， 因为，所以⊥，故为三棱锥的高， 又⊥，所以， ， 由得， 由勾股定理逆定理得⊥， 所以， 所以点到平面的距离， 因为为中点，所以，， 故⊥平面，因为平面，所以⊥， 由勾股定理得， 又，故点为四面体外接球球心， 故外接球半径， 显然，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 盐城市2025年春学期高二年级七校联盟第一次联考 数学试题 试卷分值：150分 考试时间：120分钟. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 乘积的展开式中项数为（ ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 2. 设是空间的一组基底，则一定可以与向量，构成空间的另一组基底的向量是（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于坐标平面Ozx对称的点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 6. 设是空间不共面的四点，且满足，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 如图；在的矩形长条中，涂上红、黄、蓝3种颜色，每种颜色限涂2格，并且相邻两格不同色，则不同的涂色方法共有种数为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 8. 如图所示，在正方体的侧面内有一动点，点到直线的距离与到直线的距离相等，则动点所在曲线的大致形状为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是空间任意四点，则有 B. 单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直 C. 将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点轨迹是一个圆 D. 若空间向量满足，则 10. 象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（ ） A. 共有种排列方式． B. 若两个“将”相邻，则有种排列方式． C. 若两个“将”不相邻，则有种排列方式． D. 若同色棋子不相邻，则有种排列方式． 11. 如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱，的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 若，则直线与平面所成角的正弦值的最小值是 C. 若，则在平面上的投影向量可以是 D. 若是棱的一点，则异面直线与所成角余弦值的范围是 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个方向向量，且直线过和两点，则______. 13. 《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有__________种. 14. 如图，有一长方形的纸片的长度为的长度为，现沿它的一条对角线把它折叠成的二面角，则折叠后__________，线段的长是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）解不等式：. 16. 已知空间中三点、、，设，. （1）若向量与互相垂直，求的值； （2）若，且与共线，求向量. 17. 如图，已知正方体的棱长为2，点为棱上一点，直线与所成角为. （1）求与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值. 18. 把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们由大到小的顺序排成一个数列. （1）求43251是这个数列的第几项； （2）求这个数列的第26项； （3）求这个数列的所有项的和. 19. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面底面，为上的点，且平面. （1）求证：平面平面； （2）求二面角大小的正切值； （3）试探求点到平面的距离与四面体外接球半径的大小关系，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $