培优专题 三角形的证明（知识盘点+9题型+2易错+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

培优专题 第一章 三角形的证明 等腰三角形的性质与判定 ·对称性：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴 ·性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） ·几何语言： 如图，在△ ABC 中，∵AB=AC，∴∠ B= ∠ C. 如图，在中，，，点D，，分别在，，边上，且，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】此题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，根据条件证明，得到，再利用三角形的外角性质即可求出答案，正确掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ 故选：C． 【特别注意】 1.“等角对等边”不能叙述为“ 如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”， 因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”、“顶角”、 “ 腰”、“ 底边”这些名词. 2.性质应用：①证线段的倍分关系；②计算角度。 性质定理2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边 补充：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”） 如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：①；②；③平分；④垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的判定、根据三线合一证明 【分析】本题考查三线合一．根据三线合一进行判断即可． 【详解】解：∵直线经过线段的中点，点在直线上，且， ∴，平分，垂直平分线段， 故①③④正确， 条件不足，无法求出的度数，故②错误； 故选C． 注意事项： 1.“三线合一”性质应用：在等腰三角形中，运用“三线合一”的性质时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”. 2.几何表述：如图，在△ ABC 中， (1)∵ AB=AC， AD ⊥ BC ，∴ AD平分∠BAC(或BD=CD)； (2)∵ AB=AC， BD=DC，∴ AD ⊥ BC(或AD平分∠BAC)； (3)∵ AB=AC， AD平分∠BAC，∴ BD=DC(或AD ⊥ BC)． ·定义法：证明一个三角形的两边相等 ·判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边” ) . 几何表述： 如图，在△ ABC 中，∵∠ B= ∠ C，∴ AB=AC. （23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，平分，交于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由平分得，证，得即可； （2）在等腰三角形中，，利用等腰三角形性质及内角和定理求出，同理求出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：平分 在与中 是等腰三角形； （2）解：由（1）可知， ，， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理；熟练运用全等三角形和等腰三角形的性质是解题的关键． 【特别注意】 等腰三角形的性质与判定的异同 ·相同点： 使用的前提都是“在同一个三角形中” . ·不同点：条件和结论相反 ·等腰三角形的性质： 条件：两边相等→结论：这两边所对的角相等 . ·等腰三角形的判定： 条件：两角相等→结论：这两角所对的边相等. 等边三角形的性质与判定 ·对称性：等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线 . 定理1推论（等边三角形的性质）：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°． 定理2推论：各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等 （23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在一块大三角形模板中镶嵌一个小三角形模板，已知，大三角形模板中有两条边相等，镶嵌后，小三角形模板的顶点D恰好是的中点，且于点E，于点F，求的度数． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，先根据等边对等角得到，再由三角形内角和定理求出，则由平角的定义得到，再证明，得到，据此可证明是等边三角形，则． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵于点E，于点F， ∴， ∴， ∴ ∵D是的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ·证明一个三角形为等边三角形的方法 1.定义法：证明一个三角形的三边相等. 已知的三边长a，b，c满足等式，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．不等边三角形 D．等边三角形 【答案】D 【知识点】加减消元法、等边三角形的性质、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】此题考查了等边三角形的定义，解二元一次方程组，非负数的性质，绝对值和二次根式的性质，得出的值是解题关键； 先根据非负数的性质，求出、、的值，再判断即可； 【详解】解：， ， 解得：， ∴是等边三角形， 故选：D． ·推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形． 几何表述： 如图，在△ ABC 中，∵∠ A= ∠ B= ∠ C，∴△ ABC 是等边三角形. 如图，在中，，点在上，，．求证：为等边三角形． 【答案】见详解 【知识点】等边三角形的判定、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定，以及等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，，即可解答． 【详解】证明：，， ， ，， ， ，， ， 为等边三角形． ·推论２：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 几何表述： 如图，在△ ABC 中，∵AB=AC，∠A=60 °(或∠ B=60 °或∠C=60°)， ∴△ ABC 是等边三角形. （23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，与都是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，先利用证明即可判断①；根据全等三角形的性质得出，结合三角形内角和定理、对顶角的性质可得出，即可判定③，证明，得出，，进而可证明是等边三角形，即可判定④，可求，，则可判断，则可判定②． 【详解】解∶∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴，故①正确； ∴， 又， ∴，故③正确； ∵， ∴， 又，， ∴， ∴，， 又， ∴是等边三角形， ∴，故④正确， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故②错误， 故选∶C． 总结：证明等边三角形的一般思路 含30°的直角三角形的性质 ·定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （含 30° 角的直角三角形的性质揭示直角边与斜边的数量关系） 几何表述：在Rt△ ABC中 ，∵∠ C=90°，∠A=30°，∴ BC= AB. ·定理的逆向运用：在Rt△ ABC中 ，∵∠ C=90°，BC= AB，∴∠A=30°. 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30° 如图，中，，是边的高，是的中点，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查勾股定理，含的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据题意，计算出的长度，进而求得的长度，利用勾股定理，即可求解； 【详解】解：，是的中点， ， ， ， ∵， ∴，， 则，， ； 故选：A 直角三角形的性质 ·直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：在直角三角形中，两个锐角互余． 几何表述：∵△ABC为直角三角形，∠C=90°，∴∠A+∠B=90° 性质2：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 几何表述：∵△ABC为直角三角形，∴a²+b²=c² 如图，中，，于D，平分交于F，交于E，请判断与相等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据等角对等边证明等腰三角形、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查等腰三角形的判定，直角三角形的性质，角平分线的定义，余角的性质，确定角之间的关系是解题的关键． 根据直角三角形的性质和余角的性质可证，根据角平分线的定义和外角性质可证，根据等角对等边可证． 【详解】解：．理由如下： ∵（已知）， ∴（已知）， ∴（直角三角形的两个锐角互余）， （直角三角形的两个锐角互余）， ∴（同角的余角相等）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵，，（三角形的外角性质） ∴（等量代换）， ∴（等角对等边）． 如图，在中，是内一点，连接，且．已知．    (1)求的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)30 (2)24 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． （1）根据勾股定理得出，再求出结果即可； （2）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，再根据求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， 的周长为． （2）解：由（1）知， ， ， 是直角三角形，， ． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 几何表述：∵△ABC为直角三角形，D为AB中点，∴AB=2CD（CD= AB） ※性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积（等积变形）． ∵S△ABC= AB·CD，S△ABC=AC·BC ∴AB·CD=AC·BC 补充说明：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． ①勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． ②三角形的三边关系：锐角三角形：由于a2+b2＞c2，钝角三角形：a2+b2<c2(c为三角形中的最长边） 直角三角形的判定 ·勾股定理的逆定理判断三边关系：∵△ABC中，a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°． 在单位长度为1的正方形网格中，三角形的顶点都在格点上，下面的三角形是直角三角形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的乘法、勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，先根据勾股定理求出各边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可 【详解】解：A、选项中的三角形三边长分别为，，3；而， ∴选项中的三角形不是直角三角形，故选项A不符合题意； B、选项中的三角形三边长分别为，，；而， ∴选项中的三角形不是直角三角形，故选项B不符合题意； C、选项中的三角形三边长分别为，，；而， ∴选项中的三角形是直角三角形，故选项C符合题意； D、选项中的三角形三边长分别为，，；而， ∴选项中的三角形不是直角三角形，故选项D不符合题意； 故选：C 补充说明： ①要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． ·判断角度关系：在一个三角形中，证明两个角的和为90°． 几何表述：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，△ABC为直角三角形． 如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 在中，若，，的对边分别是a，b，c，则下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、原等式变形得：，根据勾股定理的逆定理知，是直角三角形，故此选项不符合题意； B、 ，是直角三角形，故此选项不符合题意； C、，， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意； D、因，设， ， ∴，则是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．解题的关键是用较短两边的平方和与较长一边的平方相比较,如果相等就是直角三角形,否则不是直角三角形. 直角三角形全等的判定 ·斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∵ ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） （23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，于点， 为延长线上一点，过点作交于点． 交于点，若．请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的特征，解决本题的关键是得到．利用证明，得到，由直角三角形的特征得，再根据，推出，即可解决问题． 【详解】解：，理由如下； 证明：，， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ，， ， ， ． 补充说明： ①直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它． ②使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 尺规作图 ·尺规作线段的垂直平分线： 作图步骤： 步骤1.分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧交于点M、N． 步骤2.过点M、N作直线． 则直线MN就是线段AB的垂直平分线 如图，在中，，．请用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，作垂线．熟练掌握垂直平分线的性质，作垂线是解题的关键． 由题意知，在线段垂直平分线与线段的交点，然后作线段垂直平分线，与线段的交点即为． 【详解】解：由题意知，在线段垂直平分线与线段的交点，作图如下，点D即为所作； ·已知底边及底边上的高作等腰三角形 以a为等腰三角形的底边，h为底边上的高，作等腰三角形. 作图步骤： 步骤1.作线段AB = a； 步骤2.作线段AB的垂直平分线 MN，交 AB 于点 D； 步骤3.在 MN 上取一点 C，使DC = h； 步骤4. 连接 AC，BC，则△ABC 即为所求作的等腰三角形. 如图，已知和线段，利用尺规作图法作等腰，使底边 ，（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角、作垂线(尺规作图)、作线段(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查作图—复杂作图，作，作，与的垂直平分线交于点，连接即可．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂直平分线的性质和等腰三角形的判定和性质． 【详解】解：如图，作，作，与的垂直平分线交于点，连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， 则即为所作． ·尺规作角平分线： 作图步骤： 步骤1.以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N. 步骤2.分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点P. 步骤3.画射线OP. 射线OP即为所求. （23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在正方形中，点是上一点，且，请用尺规作图法，在上求作一点，使点到的距离等于的长．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】根据角平分线的画法及角平分线的性质即可解答． 【详解】解：如图所示，点即为所求， 【点睛】本题考查了角平分线的画法，角平分线的性质，掌握角平分线的画法是解题的关键． ·利用作平角角平分线的方式作垂线： ①经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 已知：直线AB和AB上一点．求作：AB的垂线，使它经过点C． 作法：如图， 作平角∠ACB的平分线CF．直线CF就是所求作的垂线． ②经过已知直线外的一点作这条直线的垂线 已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C． 作法：如图， 步骤1.任意取一点K，使K和C在AB的两旁； 步骤2.以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E； 步骤3.分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F； 步骤4.作直线CF．直线CF就是所求作的垂线 （2024·陕西西安·一模）如图，在 中，． 请用尺规作图法，在边上求作点 ，使 ．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】本题考查了作垂线，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识，掌握含的直角三角形的性质是解题的关键．过点A作交于点D，先利用等腰三角形的性质求出，然后利用含的直角三角形的性质即可判断． 【详解】解：如图，点D即为所求， 理由：由作图，知， ∵，， ∴， ∴． 垂直平分线的性质与判定 ·性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 如图，证明思路：利用SAS证明△PAO≌△PBO 几何表述：∵MN⊥AB于点O，AO=BO，P在直线MN上，∴PA=PB ·判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 如图，证明思路：①SSS证明△PAO≌△PBO；②利用SAS证明△PAO≌△PBO 几何表述：∵PA=PB，P在直线MO上，∴MO⊥AB，AO=BO （24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分； 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定． （1）用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得出，，说明点A、在线段的垂直平分线上，即可证明结论； 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵分别是和的高， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∴点A、在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； ·三角形的垂直平分线性质：三角形三边垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等 几何表述：如图，在△ABC中， ∵l⊥AB且平分AB，m⊥BC且平分BC，n⊥AC且平分AC， ∴l 、m、 n交于点P，且PA= PB= PC ·利用线段的垂直平分线，求线段差的最值问题（最短路径问题）： 问题 作法 原理 如图，在中，，的面积为12，于点D，直线垂直平分，交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．7 D．12 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查中垂线的性质，两点之间线段最短，根据中垂线的性质，得到，进而得到，进而得到的最小值为的长，根据三角形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵直线垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 角平分线的性质与判定 ·角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.（角平分线是角的对称轴） ·几何表述：∵CD平分∠ADB，P在CD上， PE⊥AD，PF⊥BD，∴PE＝PF. ·角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. ·几何表述：∵PE⊥AD，PF⊥BD，PE＝PF，∴PD平分∠ADB （23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知，OC平分，于点F，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的判定，含30度直角三角形性质及勾股定理，过C作于E，由角平分线性质定理得；再由等腰直角三角形的判定、含30度直角三角形性质及勾股定理求得，则由即可求解； 【详解】解：过C作于E， ∵平分，，， ∴，； ∵， ， ∴， ∴； ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴. ·三角形的角平分线：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等. ·几何表述： ∵CF平分∠ACB，BE平分∠ABC，CF、BE交于点P， PQ⊥AB， PM⊥BC，PN⊥AC ， ∴PQ＝PM＝PN. ·角平分线的性质与等面积法：AP、BP、CP是三角形的三条角平分线，令PQ=PE=PM=r 如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则= ．    【答案】 【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，    由角平分线的性质定理得：， 的三边，，长分别是20，30，40， ． 故选：C． 辅助线技巧： 在三角形性质综合问题中利用角平分线和垂直平分线 添加辅助线构造全等： ①遇角平分线作垂直 ②遇角平分线作延长 ③遇角平分线作对称 ④遇角平分线作平行 根据轴对称的性质求线段的长或周长 例1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，边上一点P，、分别是P点关于的对称点，交于M点，交于N点，若，则的周长是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理是解题的关键． 由题意知，如图，连接，由轴对称的性质可知，，，，，则，，由勾股定理得，，根据的周长是，求解作答即可． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，， ∴， 如图，连接， 由轴对称的性质可知，，，，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴的周长是， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，边的垂直平分线交，于点，，边的垂直平分线交，于点，，的周长是12． (1)求的长． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)的长为12； (2)的面积为6． 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据角之间的数量关系，得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：是边的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， ； （2）解：， ， ，， ，， ， 设，则． ， ， ， ，，， 的面积． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等边对等角、勾股定理、三角形的内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 尺规作图——利用隐含条件作角平分线或垂直平分线 例2．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）尺规作图：如图，中，为上一点，连接 ，请在内部找一点 ． 使点到边的距离相等，且满足（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的判定、作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线、垂直平分线等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．由P到的两边的距离相等，根据角平分线的性质得到P点在的角平分线上；由，得到，根据垂直平分线的性质得到点P在的垂直平分线上．据此作的角平分线与的垂直平分线交与点P即可． 【详解】解：点到边的距离相等， P点在的角平分线上； ， ， 点P在的垂直平分线上； 点P为的角平分线与的垂直平分线的交点， 如图所示，点P为所求． 解题关键:联系角平分线和垂直平分线的判定定理进行尺规作图 ①转化为到两点的距离相等：作垂直平分线；②转化为到两边的距离相等：作角平分线. 【变式2-1】（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，有一块五边形空地，现要在空地内部做一个标记点P，使点P到边的距离相等，且点P到点A、点E的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】由题意知，为的角平分线与垂直平分线的交点，进而作图即可． 【详解】解：∵点P到边的距离相等， ∴在的角平分线上， ∵点P到点A、点E的距离相等， ∴在的垂直平分线上， ∴为的角平分线与垂直平分线的交点， 如图，点即为所作；    【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，作角平分线，作垂线等知识．熟练掌握角平分线的性质，垂直平分线的性质以及常见的尺规作图是解题的关键． 【变式2-2】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点E为四边形的边的延长线上一点，，请用尺规作图法在内部求作一点P，并连接、，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】画图见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】本题考查的是作已知角的角平分线，线段的垂直平分线，熟练的作图是解本题的关键；如图，作的角平分线，再作的垂直平分线交于即可． 【详解】解：如图，作的角平分线，再作的垂直平分线交于， ∵是的角平分线， ∴， ∵由作图可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 例3.（2025·陕西西安·二模）如图，已知，点C在射线上．若，请用尺规作图法，在射线上求作两点P，Q，使为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、三角形的外角的定义及性质、等边三角形的判定 【分析】本题考查基本尺规作图-作线段垂直平分线、作线段，涉及等边三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识，得到作的垂直平分线是解答的关键．作的垂直平分线交于P，连接，则，利用等边对等角得到，根据三角形的外角性质得到，在射线上截取，连接，根据等边三角形的判定可得即为所求． 【详解】解：如图，即为所求作： 【变式3-1】（23-24八年级下·陕西安康·期中）如图，直线且与相交，请用尺规作图法在直线上求作一点，使点到的距离等于与之间的距离．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析． 【知识点】作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了尺规作图，作出角平分线即可，正确掌握尺规作图是解题的关键． 【详解】解：如图， 以为圆心，任意长度为半径画弧，交，于点； 分别以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点； 连接，交于点， 过作于点，作于点， ∴， ∴点即为所求．（作法不唯一，合理即可） 【变式3-2】（2024·陕西西安·三模）如图，在中，，请用尺规在边上找一点D，使得(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】见详解 【知识点】作线段(尺规作图)、全等三角形综合问题、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】该题主要考查了基本作图-角平分线，相等线段，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是正确理解题意， 作，作的角平分线交于点，连接，点即为所求； 【详解】解：作，作的角平分线交于点，连接，点即为所求； 理由：， ， 根据作图可得， ， ，， ， ， ， ． 【解题技巧反思】复杂问题中的尺规作图 ①根据条件，转化问题：利用图形的性质找等角或等边的条件； ②确定基本作图的类型。 在折叠问题中解三角形 例4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上．已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，过作于点，作于点，由折叠性质可知，，，，由角平分线的性质得出，再由勾股定理得，设，点到得距离为，则，再通过等面积法得出，，然后由列出解方程即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，过作于点，作于点， ∴，， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， 设，点到得距离为，则， ∴，， ∴，，即，， ∴， 解得：， ∴， 故选：． 【变式4-1】如图，在中，D是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点E，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】连接，交于点M，由翻折知，，垂直平分，证为等边三角形，利用含30度的直角三角形性质及勾股定理求出，，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，交于点M， ∵，D是边上的中点， ∴， 由翻折知，，垂直平分， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中， ，， ∴， ， ∴， 在中， ， 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【变式4-2】如图，中，，，，将边沿翻折，使点A落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题主要考查了翻折变换、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理的应用等知识点，掌握等腰三角形的判定和性质成为解题的关键． 根据折叠可得，，，，，然后推导出是等腰直角三角形，进而求得，， ，从而求得、，在中，由勾股定理即可求得的长即可． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【解题方法总结】 翻折问题中的解题思路与方法 ①翻折前后图形全等，对应边相等； ②构造直角三角形，设未知边，利用勾股定理+方程思想进行解题 等积变换 例5．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，为等边三角形，点为外的一点，，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】如图，以为边作等边，连接，过点作于，证明，可得，证明，得到，再求出的面积即可． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接，过点作于， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在等边中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，等积变换等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式5-1】如图所示，I是三内角平分线的交点，于E，延长线交于D，的延长线交于F，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】由I是三内角平分线的交点，，可得，，由，可得，进而可得，可判断①的正误；如图，作于，作于，则，由，可判断②的正误；证明，则，同理，，由，即，可判断③的正误；由于无法判断全等，则不一定相等，，可判断④的正误． 【详解】解：∵I是三内角平分线的交点，， ∴，， ∵， ∴， ∴，①正确，故符合要求； 如图，作于，作于， ∵I是三内角平分线的交点， ∴， ∴，②正确，故符合要求； ∵，， ∴， ∴， 同理，， ∴，即，③正确，故符合要求； ∵，，但无法判断全等， ∴不一定相等， ∴，④错误，故不符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式5-2】（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交BC于点F，交于点E，过点O作于点D，下列说法中正确的是（    ） A．若，则点E，F分别是的中点 B． C．若，，则 D． 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质、角平分线的定义，根据相关性质逐项判断即可，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：和的平分线相交于点， ，， ，故B正确，符合题意； ， ， ， ， ， 同理， 但不一定等于，故D选项不一定正确，不符题意； 当时，， ，不是，的中点，故A错误，不符题意 作于，如图， 和的平分线相交于点， 点在的平分线上， ， ，故C错误，不符题意， 故选：B． 【变式5-3】（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，，于点D，平分，交与点E，于点F，且交于点G，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等边对等角证明、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，面积转化法等；连接，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得，由三角形面积得，求出，勾股定理得，即可求解；掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理，面积转化法进行求解是解题的关键． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， 解得：， ； 故答案为：． 三角形综合与线段最值问题（压轴题高频考点） 例6．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，边长为的等边面积是，点D，E，F分别是边上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、等边三角形的性质、利用平行线间距离解决问题 【分析】本题考查轴对称最短问题、平行线间的距离最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题． 作关于的对称点，连接，过作于，则， 的值最小，就是的长， 【详解】解：如图示，作关于的对称点，连接，过作于，则，    ∴，， ∵在等边中，， ∴， ∴ ∵边长为的等边面积是，， ，解得， ， 故当点D，E，F三点一线，并垂直于时， 的最小值是； 故答案为：． 审题关键:问题中求线段的最小值. 破题思路:①根据垂线段最短，作垂线求最小值；②转化线段，再根据三角形三边关系（三点共线）求最值 转化为垂线段最短 求动点线段的最小值 转化为有公共端点的两条线段的和或差， 此时根据两点之间线段最短求最小值 【变式6】如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为 ．    【答案】 【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、轴对称中的光线反射问题 【分析】作点关于的对称点，连接，则当，，三点共线，且时，此时的值最小，由题意可得，则，再由，，可得，解得，然后根据即可求出的长． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，   ， ， 当，，三点共线，且时，此时的值最小，即的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），根据成轴对称图形的特征进行求解，垂线段最短，等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形的性质，线段的和与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）是解题的关键． 例7.（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，以为斜边在上方作等腰直角，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，以为直角边构造等腰直角三角形，，连接，证明，得到，根据，求出的最大值，进而得到的最大值即可． 【详解】解：以为直角边构造等腰直角三角形，，，连接， ∵以为斜边在上方作等腰直角， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为8， ∵， ∴的最大值为； 故答案为：． 【变式7】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）（1）如图1，已知和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．连接． ①请你探究与之间的关系_______； ②求证：． （2）如图2，在中，，点A在x轴上，以为一边，在外作等边三角形，点F为外一点．连接，若，则当线段的长度最小时．求的值和此时的最小值． 【答案】（1）①，．②见详解（2），． 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①由“”可证，可得，，进而得出，即可求解； ②由勾股定理可求解； （2）以为边在内部作等边三角形，连接，可证得，得出，当最小时，线段的长度最小时，最小，即可求得答案． 【详解】解：证明：（1）①，． 和都是等腰直角三角形，，， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； ②证明：是直角三角形，， ， ∵ ， ∵ ； （2）如图，以为边在内部作等边三角形，连接， 则，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， 即当最小时，线段的长度最小， ， 的最小值为4，此时点落在线段上，， 的最小值为4； 【点睛】本题是考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系等知识，正确添加辅助线证明全等三角形是解题关键． 例8.（23-24八年级下·陕西榆林·期中）如图，在中，，，，点是直线上一动点，连接，在的右侧作等边，连接，当线段的长度最小时，线段的长度为（    ） A．3 B．1 C．2 D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度的直角三角形的性质，灵活运用以上知识解题是解题的关键．在的左侧作等边三角形，连接、、、，再证明 可得 再利用时，最短，从而可得答案． 【详解】解： 在的左侧作等边三角形，连接、、、， 则 ∴， ∴点、关于对称， ∴，， 均为等边三角形， ，， ， ， ， ∴当时，最小，即此时最小， ∵ ∴， ∴的长度为， 故选：A． 【变式8】如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定，含直角三角形的三边关系，垂线段最短等相关知识，延长到点，使，连接，证是等边三角形，可推出，过点作于点，则，从而，故当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值，求出的值即可，构造含的直角三角形，将目标转化为求的最小值是解题关键． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ，即， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 过点作于点， ， ， 求的最小值即求的最小值，当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值， 此时，设，则， ， 即当取最小值时，的值为． 故答案为：． 综合实践——作垂线构造全等三角形 例9．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）【问题提出】 已知直线的图象与轴、轴分别交于，两点． （1）如图①，当时，在第二象限构造等腰直角，，则点的坐标为__________； （2）如图②，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变化，请说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，长方形是某植物园一块郁金香种植区的平面示意图，经测量，米，米．现要在植物园修建一座凉亭点（凉亭大小忽略不计），并从种植区边沿出发修建两条通往凉亭的小路以便游客观赏．为方便确定点的位置，将长方形以原点为坐标原点，以所在边为轴，所在边为轴，建立平面直角坐标系．考虑植物园的整体布局，确定将凉亭点建在直线上比较美观．计划将点作为一条小路路口，在线段上找的一点作为另一条小路路口，要求凉亭点到两路口距离相等，且，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2）的面积不变，其面积为；（3） 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识，并正确作出辅助线． （1）过点作轴于点，当时，直线的解析式为，可求得：，，得到，，证明，得到，，进而得到，即可求解； （2）过点作轴于点，根据函数解析式可知，得到，证明，得到，根据，即可求解； （3）过点作轴于点，并延长交于点，则，由题意可得，设，则，，得到，，证明，得到，即，求出，即可求解． 【详解】（1）如图①，过点作轴于点， 当时，直线的解析式为， 令，则，令，则， 解得：， ，， ，， 在等腰直角中，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 故答案为：； （2）的面积不变， 如图②，过点作轴于点， 在中，令，则， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即的面积不变，其面积为； （3）如图③，过点作轴于点，并延长交于点， 则， 米，米， ， 设，则，， ，， ， ， ， ， ， 由题意可得：， 在和中， ， ， ，即， 解得：， ， ． 【变式9】（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且，连结． 猜想：如图①，当点、分别在边和上时，线段与的大小关系为_____；（直接填写结果，无需证明） 探究：如图②，当点、分别在边、的延长线上时，判断线段与的大小关系，并加以证明； 应用：如图②，若，利用探究得到的结论，求的面积． 【答案】猜想：；探究：，理由见解析；应用：的面积为50． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及三角形的面积等． 猜想：连接，可证明，可得出结论； 探究：连接，同猜想可证明，可证得； 应用：由可证得，容易求得的面积． 【详解】猜想：， 证明：如图①，连接，   ，，， ，， 为边的中点， ，， ， 在和中， ， ， ； 探究：结论：，理由如下： 证明：如图②，连接，   ，，， ，， 为中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 应用：解：， ， , ， ， ， ． 动点的存在性问题 例10．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）综合与实践 如图，在中，，，，点P在线段（不含端点）上运动，点D在线段（不含端点）上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)求长． (2)求证：． (3)在点P的运动过程中，是否存在？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，的长为 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质 【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）由等腰三角形的性质和三角形外角得到．由垂直平分线的性质、等腰三角形以及三角形外角的性质的．由，即可得到结论； （3）连接，设的长为x．则，，．证明．在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，则，即可求出的长． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得．， （2）证明：， ． ． ∵是的垂直平分线， ， ， ． ， ， ． （3）存在． 如图，连接，设的长为x． ，，，，． ，，． 由（1）知，， ． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ，即， 解得：， 的长为 【变式10】（23-24八年级下·陕西渭南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线：交于点． (1)求的值与直线的函数解析式； (2)如图，一动直线平行于轴交轴于点，该直线分别与、交于，两点，若，求的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，： (2)E的坐标为， (3)存在，M点坐标为或或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，勾股定理，等腰三角形的性质． （1）将点代入，可得，再用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设的坐标为，则点，，则，即可求解； （3）分两种情况：当为等腰三角形的顶点时，当为等腰三角形的顶点时，据此解答． 【详解】（1）解：将点代入， ， ， ， 设的函数解析式为， 将，代入中， 得， 解得， ： （2）设的坐标为，则点，， 则， 解得：或 的坐标为， （3）在轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形；理由如下： 令，则， ， ， ， ， 当为等腰三角形的顶点时， ， 或； 当为等腰三角形的顶点时， 点是点关于轴的对称点， ； 综上所述：点坐标为或或． 综合实践——利用角平分线的性质构造全等 例12．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）【问题背景】 如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． 【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上； 【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作的垂线段，分别交于点，证明即可解答； （2）过点作的垂线段，交的延长线于点，可得，证明，可得，即可解答； （3）过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点，同（2）中原理可得平分，可得即可解答。 【详解】（1）证明：如图，过点作的垂线段，分别交于点， ，是的角平分线， ， 点在的角平分线上（到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上）； （2），理由如下： 如图，过点作的垂线段，交的延长线于点， 是的角平分线，， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点， 根据（2）中原理可得， 是的平分线， ， ， 平分，，， ． 【变式12】（22-23八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）综合与实践．问题情境：数学课上，老师出示了一个问题，如图①，在中，平分交于点于点于点，求证：．    独立思考：（1）请解答老师提出的问题： （2）如图②．在（1）的情况下，如果的两边分别与相交于两点，其它条件不变，那么又有相等关系：__________，请加以证明． 问题解决：（3）如图③，在中，，，平分交于点，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）20 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理、全等三角形综合问题 【分析】（1）由角平分线的性质可直接得出，从而可证，即得出； （2）由题意可证，从而可证，即得出，最后即可证； （3）过点D作于点E，易证，结合（2）可得出，．再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵是的平分线，，， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2），证明如下， ∵， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）如图，过点D作于点E，    ∵，，， ∴， ∴由（2）可知，． ∵平分， ∴， ∴． ∵，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查角平分线的定义和性质定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识．熟练掌握以上知识点是解题关键，在解（3）时正确作出辅助线也是关键． 综合实践——等积变形 例13．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）【问题提出】 （1）如图1，点D是边BC的中点，则 （填“、、”，下同）； 如图2，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点，则 ； 【问题探究】 （2）如图3，点D是边上一定点，使用三角板在上作出点E，使得线段将分成面积相等的两部分，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图4，四边形是铁一曲江悦耕园的一块不规则空地，为了丰富悦耕园的农作物，“一米菜园”选修课的同学们决定在这块地里种植两种农作物，打算过点C修一条笔直的通道，以便同学们打理农作物，要求通道两侧种植农作物的面积相等．经测量米，米，，，．若将通道记为，请你画出通道，并求出通道的长． 【答案】（1）； ；（2）见解析；（3）10.5米 【知识点】利用平行线间距离解决问题、根据三角形中线求面积、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用三角形面积公式、线段中点定义、平行线间的距离求解即可； （2）取的中点F，连接，，过A作交于E，连接即可；利用（1）的结论可得，，则可求； （3）连接，过B作的平行线，与的延长线相交于E，连接，由（1）可知，取中点F，连接，由（1）知平分的面积，则，延长，相交于G，过点C作于H，先求出，，利用含的直角三角形性质求出，利用勾股定理求出，含的直角三角形性质得出，利用勾股定理可得，求出，，利用含的直角三角形性质求出，利用勾股定理求出，根据，求出，利用中点定义求出，然后在中利用勾股定理即可求出． 【详解】解：（1）设中边上的高为h， ∴，， ∵点D是边BC的中点， ∴， ∴， 故答案为：； ∵， ∴直线m上任意一点到直线n的距离为定值， ∴则与的高相等， 又两三角形的低均为， ∴， 故答案为：； （2）如图，取的中点F，连接，，过A作交于E，连接， 则即为所求， 理由：∵F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段将分成面积相等的两部分； （3）连接，过B作的平行线，与的延长线相交于E，连接， 由（1）知， ∴， 取中点F，连接， 由（1）知：平分的面积， ∴， ∴为所求通道， 延长，相交于G，过点C作于H， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即通道的长为10.5米 【点睛】本题考查了平行线间的距离，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造含的直角三角形是解题的关键． 应用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明 已知：如图，，M，N分别是，的中点．求证：．    【易错分析】①不能连接BM、DM；②不能联系到通过证明等腰三角形，再根据“三线合一”性质证明垂直 【正确解答】 证明：连接BM、DM，如图    ∵，且M为的中点， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵N为BD中点， ∴． 【防错警示】 等腰三角形的相关证明，需要注意一个重要信息：“三线合一”，题干中的条件也可以设置为，问题为证明BN=DN，都是先证明等腰三角形，再利用“三线合一”性质进行证明；此外，当一个三角形的角平分线、高、中线有两条线重合时，虽然不能直接得到等腰三角形，但是可以用三角形全等来证明该三角形是等腰三角形 利用角平分线构造全等解决问题 如图，等边的边长为20，D是中点，点E、F分别位于边上，若，则 ． 【易错分析】①辅助线：连接AD，作，；②利用角平分线构造全等 【正确解答】 如图，连接，作，，垂足分别为、． 是等边三角形，，， ∵D是中点，，，， ，，， ，， 在和中， ， ，； 在和中， ， ，，， ，，，， ； 故答案为：． 1．如图，在中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．连接，取的中点G，连结，，先证明为等腰直角三角形，得到，进而可知当时最小，利用直角三角形的性质求出的最小值即可得到答案． 【详解】解：连接，取的中点G，连结，， ，， ， ， ， ， ， 当时，取最小值，此时，的值也最小， ， ， ， ， 的最小值为， 此时，的最小值为． 故选C． 2.（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点 是边长为 的等边 内一点，连接 ，且 ，，则 的长是（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．将绕点顺时针旋转，得到，证明是等边三角形，是直角三角形，运用勾股定理进行计算即可． 【详解】，， ， 等边 ， ， 将绕点顺时针旋转，得到， ， ， 是等边三角形， ， 是直角三角形， 在中，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选A． 3．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）综合与实践： 数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，连接，，如图1． 独立思考： （1）如图1，求证：； 实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答： 解决问题： （2）如图2，在绕着点C旋转到某一位置时恰好有，． ①求的度数； ②线段与线段交于点F，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）①；②． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，平行线的性质定理．解题关键是找到全等的三角形，得出相等的线段，构造直角三角形解决问题． （1）本题利用证明，再利用三角形全等的性质既可以得到； （2）①由，得出内错角相等，再加上有两个直角和，最后由周角减出即可； ②连接，首先由（1）的全等得出，再证明，从而得出是等边三角形，确定 为30度的直角三角形，利用所对的直角边等于斜边的一半得出即可； 【详解】（1）证明：在等腰直角三角形和等腰直角三角形中， ，，， ， ． 在和中，， ， ； （2）解：①， ． ， ． ， ； ②如图，连接， 由（1）知， ，． ， ． 由①知， 在和中，， ， ． ， ， 是等边三角形， ． ， ， 在中，， ． 4．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）已知，和都是以为斜边的直角三角形，连接． (1)如图1，和在两侧时，若，过点D作交CA的延长线于点E．． ①猜想：______；（请填入“＞”、“＝”或“＜”） ②证明：； (2)如图2，和在同侧时，若，猜想线段AC、BC、CD三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①②见解析 (2)，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）①根据四边形内角和为和邻补解互补分别证明，可得到；②先证明，可证，可得，利用，，即可证出； （2）过点D作交于点E，设交于点M，通过证明，得到，利用即可证明． 【详解】（1）解：①，理由： 和是以为斜边的直角三角形 ， ， ， ， ， ； 故答案为：； ②证明：， ， ， 又 ， ， ， ， 即， ； （2）解：过点D作交于点E，设交于点M， ， ， ， ， ， ， ， 且， ， ， ， 即， ． 5.（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，，．过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点． (1)的度数为______ (2)连接，交于点，试说明垂直平分； (3)点是直线上的动点，当的值最小时，证明点与点重合． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（1）根据题意可证明，得到，由，可得，然后根据直角三角形的性质即可解答； （2）先说明，由平行的性质可得，然后再证明可得，再根据等腰三角形的性质可证明结论； （3）先说明，则，此时的值最小，进而证明结论． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ，，，， ， ， 在和中， ， ， ， 是的中点，， 垂直平分； （3）证明：如图，延长、交于点， 由（1）（2）知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，此时的值最小， 点是直线上的动点， 当的值最小时，点与点重合． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质、轴对称﹣最短路径问题、平行线的性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定及性质等知识点，利用轴对称求最短距离是解题的关键． 6.（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，与相交于点E，．    (1)求证：AC垂直平分BD； (2)如图2，过点B作交的延长线于点F，若； ①求证：是等边三角形； ②如果G、H分别是线段、线段上的动点，当的值最小时，写出此时与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）根据，可得，再由证明，则，利用中垂线的判定定理即可证明； （2）①设，根据可得，由于，可得，根据是的外角，则，由于，所以，从而，进而，结论得证； ②延长至，使，可得与关于成轴对称，过作于交于，即可，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系． 【详解】（1）证明：，， ，， 在的垂直平分上，， ， 在的垂直平分上， 垂直平分； （2）①证明：设， ，   ， 是的外角， ， 由（1），， ， ， ， ， ， ，即， 则， ， ， 是等边三角形； ②为最小值时，与的数量关系是， 理由： 延长至，使，   ， 与关于成轴对称，过作于交于，连接， ， ，此时为最小， 由①知：，即， 即， 在中，， ， 为最小值时，与的数量关系是． 【点睛】本题考查中垂线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、含角得的直角三角形的性质、轴对称的性质，综合题，理解题意是解决问题的关键． 7.综合与实践 如图，已知，平分，于点F，，． (1)求的长． (2)若P为射线上的动点，连接，，当是等腰三角形时，求此时的长． 【答案】(1) (2)或 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】（1）过C作于E，由角平分线性质定理得；再由等腰直角三角形的判定、含30度直角三角形性质及勾股定理求得，则由即可求解； （2）分三种情况：时，此时点P的位置有两个；当时；当时；当及的情况不存在． 【详解】（1）解：过C作于E， ∵平分，，， ∴，； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴； （2）解：当点P在线段上，且时，如图， 由（1）知，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 当点P与关于对称时，则， ∴，此时也是等腰三角形， ∴； 当及的情况不存在； 综上，当是等腰三角形时，或． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的判定，含30度直角三角形性质及勾股定理，注意分类讨论． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 第一章 三角形的证明 等腰三角形的性质与判定 ·对称性：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴 ·性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） ·几何语言： 如图，在△ ABC 中，∵AB=AC，∴∠ B= ∠ C. 如图，在中，，，点D，，分别在，，边上，且，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【特别注意】 1.“等角对等边”不能叙述为“ 如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”， 因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”、“顶角”、 “ 腰”、“ 底边”这些名词. 2.性质应用：①证线段的倍分关系；②计算角度。 性质定理2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边 补充：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”） 如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：①；②；③平分；④垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 注意事项： 1.“三线合一”性质应用：在等腰三角形中，运用“三线合一”的性质时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”. 2.几何表述：如图，在△ ABC 中， (1)∵ AB=AC， AD ⊥ BC ，∴ AD平分∠BAC(或BD=CD)； (2)∵ AB=AC， BD=DC，∴ AD ⊥ BC(或AD平分∠BAC)； (3)∵ AB=AC， AD平分∠BAC，∴ BD=DC(或AD ⊥ BC)． ·定义法：证明一个三角形的两边相等 ·判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边” ) . 几何表述： 如图，在△ ABC 中，∵∠ B= ∠ C，∴ AB=AC. （23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，平分，交于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【特别注意】 等腰三角形的性质与判定的异同 ·相同点： 使用的前提都是“在同一个三角形中” . ·不同点：条件和结论相反 ·等腰三角形的性质： 条件：两边相等→结论：这两边所对的角相等 . ·等腰三角形的判定： 条件：两角相等→结论：这两角所对的边相等. 等边三角形的性质与判定 ·对称性：等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线 . 定理1推论（等边三角形的性质）：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°． 定理2推论：各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等 （23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在一块大三角形模板中镶嵌一个小三角形模板，已知，大三角形模板中有两条边相等，镶嵌后，小三角形模板的顶点D恰好是的中点，且于点E，于点F，求的度数． ·证明一个三角形为等边三角形的方法 1.定义法：证明一个三角形的三边相等. 已知的三边长a，b，c满足等式，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．不等边三角形 D．等边三角形 ·推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形． 几何表述： 如图，在△ ABC 中，∵∠ A= ∠ B= ∠ C，∴△ ABC 是等边三角形. 如图，在中，，点在上，，．求证：为等边三角形． ·推论２：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 几何表述： 如图，在△ ABC 中，∵AB=AC，∠A=60 °(或∠ B=60 °或∠C=60°)， ∴△ ABC 是等边三角形. （23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，与都是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 总结：证明等边三角形的一般思路 含30°的直角三角形的性质 ·定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （含 30° 角的直角三角形的性质揭示直角边与斜边的数量关系） 几何表述：在Rt△ ABC中 ，∵∠ C=90°，∠A=30°，∴ BC= AB. ·定理的逆向运用：在Rt△ ABC中 ，∵∠ C=90°，BC= AB，∴∠A=30°. 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30° 如图，中，，是边的高，是的中点，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 直角三角形的性质 ·直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：在直角三角形中，两个锐角互余． 几何表述：∵△ABC为直角三角形，∠C=90°，∴∠A+∠B=90° 性质2：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 几何表述：∵△ABC为直角三角形，∴a²+b²=c² 如图，中，，于D，平分交于F，交于E，请判断与相等吗？为什么？ 如图，在中，是内一点，连接，且．已知．    (1)求的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 几何表述：∵△ABC为直角三角形，D为AB中点，∴AB=2CD（CD= AB） ※性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积（等积变形）． ∵S△ABC= AB·CD，S△ABC=AC·BC ∴AB·CD=AC·BC 补充说明：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． ①勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． ②三角形的三边关系：锐角三角形：由于a2+b2＞c2，钝角三角形：a2+b2<c2(c为三角形中的最长边） 直角三角形的判定 ·勾股定理的逆定理判断三边关系：∵△ABC中，a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°． 在单位长度为1的正方形网格中，三角形的顶点都在格点上，下面的三角形是直角三角形的是（    ） A．B． C． D． 补充说明： ①要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． ·判断角度关系：在一个三角形中，证明两个角的和为90°． 几何表述：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，△ABC为直角三角形． 如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 在中，若，，的对边分别是a，b，c，则下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 直角三角形全等的判定 ·斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∵ ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） （23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，于点， 为延长线上一点，过点作交于点． 交于点，若．请判断与的位置关系，并说明理由． 补充说明：①直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它． ②使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 尺规作图 ·尺规作线段的垂直平分线： 作图步骤： 步骤1.分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧交于点M、N． 步骤2.过点M、N作直线． 则直线MN就是线段AB的垂直平分线 如图，在中，，．请用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） ·已知底边及底边上的高作等腰三角形 以a为等腰三角形的底边，h为底边上的高，作等腰三角形. 作图步骤： 步骤1.作线段AB = a； 步骤2.作线段AB的垂直平分线 MN，交 AB 于点 D； 步骤3.在 MN 上取一点 C，使DC = h； 步骤4. 连接 AC，BC，则△ABC 即为所求作的等腰三角形. 如图，已知和线段，利用尺规作图法作等腰，使底边 ，（不写作法，保留作图痕迹） ·尺规作角平分线： 作图步骤： 步骤1.以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N. 步骤2.分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点P. 步骤3.画射线OP. 射线OP即为所求. （23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在正方形中，点是上一点，且，请用尺规作图法，在上求作一点，使点到的距离等于的长．（保留作图痕迹，不写作法） ·利用作平角角平分线的方式作垂线： ①经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 已知：直线AB和AB上一点．求作：AB的垂线，使它经过点C． 作法：如图， 作平角∠ACB的平分线CF．直线CF就是所求作的垂线． ②经过已知直线外的一点作这条直线的垂线 已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C． 作法：如图， 步骤1.任意取一点K，使K和C在AB的两旁； 步骤2.以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E； 步骤3.分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F； 步骤4.作直线CF．直线CF就是所求作的垂线 （2024·陕西西安·一模）如图，在 中，． 请用尺规作图法，在边上求作点 ，使 ．（保留作图痕迹，不写作法） 垂直平分线的性质与判定 ·性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 如图，证明思路：利用SAS证明△PAO≌△PBO 几何表述：∵MN⊥AB于点O，AO=BO，P在直线MN上，∴PA=PB·判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 如图，证明思路：①SSS证明△PAO≌△PBO；②利用SAS证明△PAO≌△PBO 几何表述：∵PA=PB，P在直线MO上，∴MO⊥AB，AO=BO （24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分； ·三角形的垂直平分线性质：三角形三边垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等 几何表述：如图，在△ABC中， ∵l⊥AB且平分AB，m⊥BC且平分BC，n⊥AC且平分AC， ∴l 、m、 n交于点P，且PA= PB= PC ·利用线段的垂直平分线，求线段差的最值问题（最短路径问题）： 问题 作法 原理 如图，在中，，的面积为12，于点D，直线垂直平分，交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．7 D．12 角平分线的性质与判定 ·角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.（角平分线是角的对称轴） ·几何表述：∵CD平分∠ADB，P在CD上， PE⊥AD，PF⊥BD，∴PE＝PF. ·角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. ·几何表述：∵PE⊥AD，PF⊥BD，PE＝PF，∴PD平分∠ADB （23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知，OC平分，于点F，，，求的长． ·三角形的角平分线：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等. ·几何表述： ∵CF平分∠ACB，BE平分∠ABC，CF、BE交于点P， PQ⊥AB， PM⊥BC，PN⊥AC ， ∴PQ＝PM＝PN. ·角平分线的性质与等面积法：AP、BP、CP是三角形的三条角平分线，令PQ=PE=PM=r 如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则= ．    辅助线技巧： 在三角形性质综合问题中利用角平分线和垂直平分线 添加辅助线构造全等： ①遇角平分线作垂直 ②遇角平分线作延长 ③遇角平分线作对称 ④遇角平分线作平行 根据轴对称的性质求线段的长或周长 例1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，边上一点P，、分别是P点关于的对称点，交于M点，交于N点，若，则的周长是 ． 【变式1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，边的垂直平分线交，于点，，边的垂直平分线交，于点，，的周长是12． (1)求的长． (2)若，，求的面积． 尺规作图——利用隐含条件作角平分线或垂直平分线 例2．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）尺规作图：如图，中，为上一点，连接 ，请在内部找一点 ． 使点到边的距离相等，且满足（保留作图痕迹，不写作法） 解题关键:联系角平分线和垂直平分线的判定定理进行尺规作图 ①转化为到两点的距离相等：作垂直平分线；②转化为到两边的距离相等：作角平分线. 【变式2-1】（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，有一块五边形空地，现要在空地内部做一个标记点P，使点P到边的距离相等，且点P到点A、点E的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【变式2-2】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点E为四边形的边的延长线上一点，，请用尺规作图法在内部求作一点P，并连接、，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 例3.（2025·陕西西安·二模）如图，已知，点C在射线上．若，请用尺规作图法，在射线上求作两点P，Q，使为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式3-1】（23-24八年级下·陕西安康·期中）如图，直线且与相交，请用尺规作图法在直线上求作一点，使点到的距离等于与之间的距离．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式3-2】（2024·陕西西安·三模）如图，在中，，请用尺规在边上找一点D，使得(保留作图痕迹，不写作法) 【解题技巧反思】复杂问题中的尺规作图 ①根据条件，转化问题：利用图形的性质找等角或等边的条件； ②确定基本作图的类型。 在折叠问题中解三角形 例4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上．已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在中，D是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点E，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．3 【变式4-2】如图，中，，，，将边沿翻折，使点A落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 翻折问题中的解题思路与方法 ①翻折前后图形全等，对应边相等； ②构造直角三角形，设未知边，利用勾股定理+方程思想进行解题 等积变换 例5．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，为等边三角形，点为外的一点，，，则的面积为 ． 【变式5-1】如图所示，I是三内角平分线的交点，于E，延长线交于D，的延长线交于F，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式5-2】（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交BC于点F，交于点E，过点O作于点D，下列说法中正确的是（    ） A．若，则点E，F分别是的中点 B． C．若，，则 D． 【变式5-3】（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，，于点D，平分，交与点E，于点F，且交于点G，若，则的长为 ． 三角形综合与线段最值问题（压轴题高频考点） 例6．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，边长为的等边面积是，点D，E，F分别是边上的一个动点，则的最小值是 ． 审题关键:问题中求线段的最小值. 破题思路:①根据垂线段最短，作垂线求最小值；②转化线段，再根据三角形三边关系（三点共线）求最值 转化为垂线段最短 求动点线段的最小值 转化为有公共端点的两条线段的和或差， 此时根据两点之间线段最短求最小值 【变式6】如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为 ．    例7.（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，以为斜边在上方作等腰直角，连接，则的最大值为 ． 【变式7】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）（1）如图1，已知和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．连接． ①请你探究与之间的关系_______； ②求证：． （2）如图2，在中，，点A在x轴上，以为一边，在外作等边三角形，点F为外一点．连接，若，则当线段的长度最小时．求的值和此时的最小值． 例8.（23-24八年级下·陕西榆林·期中）如图，在中，，，，点是直线上一动点，连接，在的右侧作等边，连接，当线段的长度最小时，线段的长度为（    ） A．3 B．1 C．2 D． 【变式8】如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为 ． 综合实践——作垂线构造全等三角形 例9．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）【问题提出】 已知直线的图象与轴、轴分别交于，两点． （1）如图①，当时，在第二象限构造等腰直角，，则点的坐标为__________； （2）如图②，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变化，请说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，长方形是某植物园一块郁金香种植区的平面示意图，经测量，米，米．现要在植物园修建一座凉亭点（凉亭大小忽略不计），并从种植区边沿出发修建两条通往凉亭的小路以便游客观赏．为方便确定点的位置，将长方形以原点为坐标原点，以所在边为轴，所在边为轴，建立平面直角坐标系．考虑植物园的整体布局，确定将凉亭点建在直线上比较美观．计划将点作为一条小路路口，在线段上找的一点作为另一条小路路口，要求凉亭点到两路口距离相等，且，求所有满足条件的点的坐标． 【变式9】（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且，连结． 猜想：如图①，当点、分别在边和上时，线段与的大小关系为_____；（直接填写结果，无需证明） 探究：如图②，当点、分别在边、的延长线上时，判断线段与的大小关系，并加以证明； 应用：如图②，若，利用探究得到的结论，求的面积． 动点的存在性问题 例10．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）综合与实践 如图，在中，，，，点P在线段（不含端点）上运动，点D在线段（不含端点）上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)求长． (2)求证：． (3)在点P的运动过程中，是否存在？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由． 【变式10】（23-24八年级下·陕西渭南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线：交于点． (1)求的值与直线的函数解析式； (2)如图，一动直线平行于轴交轴于点，该直线分别与、交于，两点，若，求的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 综合实践——利用角平分线的性质构造全等 例12．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）【问题背景】 如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． 【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上； 【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？ 【变式12】（22-23八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）综合与实践．问题情境：数学课上，老师出示了一个问题，如图①，在中，平分交于点于点于点，求证：．    独立思考：（1）请解答老师提出的问题： （2）如图②．在（1）的情况下，如果的两边分别与相交于两点，其它条件不变，那么又有相等关系：__________，请加以证明． 问题解决：（3）如图③，在中，，，平分交于点，，求四边形的周长． 综合实践——等积变形 例13．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）【问题提出】 （1）如图1，点D是边BC的中点，则 （填“、、”，下同）； 如图2，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点，则 ； 【问题探究】 （2）如图3，点D是边上一定点，使用三角板在上作出点E，使得线段将分成面积相等的两部分，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图4，四边形是铁一曲江悦耕园的一块不规则空地，为了丰富悦耕园的农作物，“一米菜园”选修课的同学们决定在这块地里种植两种农作物，打算过点C修一条笔直的通道，以便同学们打理农作物，要求通道两侧种植农作物的面积相等．经测量米，米，，，．若将通道记为，请你画出通道，并求出通道的长． 应用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明 已知：如图，，M，N分别是，的中点．求证：．    【易错分析】①不能连接BM、DM；②不能联系到通过证明等腰三角形，再根据“三线合一”性质证明垂直 【正确解答】 证明：连接BM、DM，如图    ∵，且M为的中点， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵N为BD中点， ∴． 【防错警示】 等腰三角形的相关证明，需要注意一个重要信息：“三线合一”，题干中的条件也可以设置为，问题为证明BN=DN，都是先证明等腰三角形，再利用“三线合一”性质进行证明；此外，当一个三角形的角平分线、高、中线有两条线重合时，虽然不能直接得到等腰三角形，但是可以用三角形全等来证明该三角形是等腰三角形 利用角平分线构造全等解决问题 如图，等边的边长为20，D是中点，点E、F分别位于边上，若，则 ． 【易错分析】①辅助线：连接AD，作，；②利用角平分线构造全等 【正确解答】 如图，连接，作，，垂足分别为、． 是等边三角形，，， ∵D是中点，，，， ，，， ，， 在和中， ， ，； 在和中， ， ，，， ，，，， ； 故答案为：． 1．如图，在中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点 是边长为 的等边 内一点，连接 ，且 ，，则 的长是（    ）． A．2 B．1 C． D． 3．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）综合与实践： 数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，连接，，如图1． 独立思考：（1）如图1，求证：； 实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答： 解决问题：（2）如图2，在绕着点C旋转到某一位置时恰好有，． ①求的度数； ②线段与线段交于点F，求的值． 4．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）已知，和都是以为斜边的直角三角形，连接． (1)如图1，和在两侧时，若，过点D作交CA的延长线于点E．． ①猜想：______；（请填入“＞”、“＝”或“＜”） ②证明：； (2)如图2，和在同侧时，若，猜想线段AC、BC、CD三者之间的数量关系，并说明理由． 5.（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，，．过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点． (1)的度数为______ (2)连接，交于点，试说明垂直平分； (3)点是直线上的动点，当的值最小时，证明点与点重合． 6.（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，与相交于点E，．    (1)求证：AC垂直平分BD； (2)如图2，过点B作交的延长线于点F，若； ①求证：是等边三角形； ②如果G、H分别是线段、线段上的动点，当的值最小时，写出此时与的数量关系，并说明理由． 7.综合与实践 如图，已知，平分，于点F，，． (1)求的长． (2)若P为射线上的动点，连接，，当是等腰三角形时，求此时的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$