重难点01 反比例函数k的几何意义-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（山东专用）

第三章 函数 重难点01 反比例函数k的几何意义 题型01 已知k值求面积 【例1】（2020·山东滨州·中考真题）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB//x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式1-1】（2024·山东济南·三模）如图，的直角边在x轴上，，反比例函数经过的中点D，则的面积为（　　）    A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1-2】（2022·山东德州·二模）如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，且轴，连接与反比例函数的图象交于点C，连接，则的面积为（　　）    A． B． C． D．3   【变式1-3】（2022·山东淄博·一模）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-4】（2022·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点、在反比例函数的图象上，则的面积等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1-5】（2022·山东枣庄·三模）如图，过点作两条直线，分别交函数（），（）的图像于点，点，连接．若轴，则的面积是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型02 已知面积求k值 【例2】（2021·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴的正半轴重合，，轴，对角线交于点．已知的面积为4.若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．12 【变式2-1】（2024·山东聊城·二模）如图，点A，B在双曲线第一象限的分支上，若A，B的纵坐标分别是4和2，连接OA，OB，的面积是6，则k的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2-2】（2024·山东济宁·模拟预测）如图，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上，若点A的坐标为，则k的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式2-3】（2022·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B在反比例函数的图象上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为1，，轴，若的面积为，则k的值为（    ） A． B．27 C．3 D．6 【变式2-4】（2024·山东枣庄·三模）如图，在中，，边经过原点，轴，双曲线经过、两点．若，则的值为（    ）    A． B．1 C．4 D．2 【变式2-5】（2022·山东德州·一模）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型03 k的几何意义相关的规律性问题 【例3】（2024·山东济宁·二模）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则的值为（    ） A．1 B．2024 C． D． 【变式3-1】（2022·山东临沂·一模）如图所示，在x轴的正半轴上依次截取，过，分别作x轴的垂线与反比例函数的图像交于点,并设面积分别为，按此作法进行下去，（n为正整数）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2022·山东济南·一模）如图，点加在x轴上，且，分别过点作y轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点，分别过点作x轴的平行线，分别于y轴交于点，连接，那么图中从左到右第2022个阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2022·山东东营·一模）如图，在反比例函数 的图象上，有点，，，，它们的横坐标依次为，，，．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，则（   ） A． B． C． D．无法确定 17．（2024·山东烟台·一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数（）的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为 ． 【变式3-5】（2024·山东聊城·一模）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2024，2025，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 题型04 k的几何意义相关的综合性问题 【例4】（2024·山东枣庄·二模）如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】．（2022·山东聊城·二模）如图，直线分别交x、y轴于点C、D，P为反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交直线于点A、B，且．下列结论：①与相似；②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-2】（2022·山东济南·一模）如图，点P是函数y＝（k1＞0，x＞0）的图象上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数y＝（k2＞0，x＞0）的图象于点C、D，连接OC、OD、CD、AB，其中k1＞k2．下列结论：①CD∥AB；②S△OCD＝；③S△DCP＝，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【变式4-3】（2022·山东淄博·一模）函数和在第一象限内的图象如图所示，点是的图象上一动点，作轴于点，交的图象于点，作轴于点，交的图象于点，给出如下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积大小不会发生变化；④，其中正确的结论序号是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【变式4-4】．（2022·山东德州·一模）双曲线和在第一象限内的图象如图所示，在的图象上，轴于，交的图象于，轴于，交的图象于，当点在的图象上运动时，下列结论：①与的面积相等；②四边形的面积保持不变；③；④若是的中点，则是的中点．其中一定正确的序号是 ．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数 重难点01 反比例函数k的几何意义 题型01 已知k值求面积 【例1】（2020·山东滨州·中考真题）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB//x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【详解】过点A作AE⊥y轴于点E， ∵点A在双曲线上， ∴四边形AEOD的面积为4， ∵点B在双曲线上，且AB//x轴， ∴四边形BEOC的面积为12， ∴矩形ABCD的面积为12-4=8， 故选：C． 【变式1-1】（2024·山东济南·三模）如图，的直角边在x轴上，，反比例函数经过的中点D，则的面积为（　　）    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】解：∵轴，， ， ∵反比例函数经过的中点D，轴， ， 故选：B． 【变式1-2】（2022·山东德州·二模）如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，且轴，连接与反比例函数的图象交于点C，连接，则的面积为（　　）    A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】解：设，则， ∴直线为， 由，解得， ∴， ∴ 故选：A．    【变式1-3】（2022·山东淄博·一模）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：延长交轴于点，    ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于； 故选B． 【变式1-4】（2022·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点、在反比例函数的图象上，则的面积等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】解：设点 ∵是的中线， ∴点是的中点， ∴ ∵点、在反比例函数的图象上， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选B． 【变式1-5】（2022·山东枣庄·三模）如图，过点作两条直线，分别交函数（），（）的图像于点，点，连接．若轴，则的面积是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】 解：如图，连接AO、BO，AB与y轴交于点D， ＝×4 ＝2， ＝×|－2| ＝1， ＝2＋1 ＝3， ∵与同底等高， ∴． 故选：A． 题型02 已知面积求k值 【例2】（2021·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴的正半轴重合，，轴，对角线交于点．已知的面积为4.若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【详解】解：过点M作ME⊥x轴于点E，如图所示： ∵轴， ∴ME∥BD， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∵， ∴， 由题可知△OMB、△OBD的高是相同的，则有， ∴， ∵ME∥BD， ∴， ∴， ∴， 由反比例函数k的几何意义可得：， ∵， ∴； 故选B． 【变式2-1】（2024·山东聊城·二模）如图，点A，B在双曲线第一象限的分支上，若A，B的纵坐标分别是4和2，连接OA，OB，的面积是6，则k的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，设与的交点为F， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵A，B的纵坐标分别是4和2， ∴，， ∵的面积是6，则k的值是 ∴， 解得， 故选B． 【变式2-2】（2024·山东济宁·模拟预测）如图，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上，若点A的坐标为，则k的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：如图，设分别于x轴交于点E，G，与y轴交于点F，H， ∵四边形是矩形，矩形的边分别平行于坐标轴， ∴，， ∴四边形是矩形， 同理四边形均是矩形， ∴， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上，点A的坐标为， ∴， 解得：． 故选：B 【变式2-3】（2022·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B在反比例函数的图象上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为1，，轴，若的面积为，则k的值为（    ） A． B．27 C．3 D．6 【答案】D 【详解】解：作轴于，交于． 与轴平行， ， ， ， 点的纵坐标为4，点的纵坐标为1， ，， ， 的面积为， ， ， ， 设点的坐标为，则点坐标为， 顶点、在反比例函数的图象上， ， ， 点坐标为， ， 故选：D． 【变式2-4】（2024·山东枣庄·三模）如图，在中，，边经过原点，轴，双曲线经过、两点．若，则的值为（    ）    A． B．1 C．4 D．2 【答案】D 【详解】解：如图，作于，    ∵， ∴， 由的几何意义可得 ，， ∵， ∴， 解得，， 故选：D． 【变式2-5】（2022·山东德州·一模）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作轴于， ∵矩形的面积是6， ∴的面积为， ∵，， ∴， ∵对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 题型03 k的几何意义相关的规律性问题 【例3】（2024·山东济宁·二模）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则的值为（    ） A．1 B．2024 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵的横坐标依次为1，2，3，…，2024，， ∴阴影矩形的一边长都为1， 如图：记轴于点D，轴于点C，轴于点A，且交于点B， 将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：，． 故选D． 【变式3-1】（2022·山东临沂·一模）如图所示，在x轴的正半轴上依次截取，过，分别作x轴的垂线与反比例函数的图像交于点,并设面积分别为，按此作法进行下去，（n为正整数）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，． 又因为， 所以，，，，， ， 依此类推：的值为． 故选：D． 【变式3-2】（2022·山东济南·一模）如图，点加在x轴上，且，分别过点作y轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点，分别过点作x轴的平行线，分别于y轴交于点，连接，那么图中从左到右第2022个阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可知， ∵轴， 设图中阴影部分的面积从左向右依次为…… 则， ∵， ∴，， ∴•••， ∴第n个阴影部分的面积是：， ∴图中从左到右第2022个阴影部分的面积为：，故B正确． 故选：B． 【变式3-4】（2022·山东东营·一模）如图，在反比例函数 的图象上，有点，，，，它们的横坐标依次为，，，．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：由题意可知点、、、坐标分别为、、、 由反比例函数的几何意义可知 故选：B 17．（2024·山东烟台·一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数（）的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示， ，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于x轴， ，根据反比例函数的几何性质可得， ， ， ，，，依此规律，可得． 故答案为：． 【变式3-5】（2024·山东聊城·一模）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2024，2025，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 【答案】/ 【详解】解：∵，，，，的横坐标依次为1，2，3，2025， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：， ∴， 故答案为：． 题型04 k的几何意义相关的综合性问题 【例4】（2024·山东枣庄·二模）如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作轴于，轴于，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴，故正确； ∵，， ∴，故正确； 当， 四边形是矩形， ∴不能确定与相等， 而， ∴不能判断， ∴不能判断， ∴不能确定，故错误； 若四边形是菱形，则，而， ∴， ∴， ∴， 又由图象可得，，， ∴， ∴，故正确； ∴结论正确的是， 故选：． 【变式4-1】．（2022·山东聊城·二模）如图，直线分别交x、y轴于点C、D，P为反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交直线于点A、B，且．下列结论：①与相似；②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 一次函数中， 令，得， 令，得， ， ， ∴， 与都是等腰直角三角形， ， 同理可得， ； 故①正确； 与都是等腰直角三角形， 故②正确； 故③正确； 设， 则，， 由结论③可得：， ∴， ∴， 故④正确； 故正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 【变式4-2】（2022·山东济南·一模）如图，点P是函数y＝（k1＞0，x＞0）的图象上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数y＝（k2＞0，x＞0）的图象于点C、D，连接OC、OD、CD、AB，其中k1＞k2．下列结论：①CD∥AB；②S△OCD＝；③S△DCP＝，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】D 【详解】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在上，点C，D在上， 设P（m，）， 则C（m，），A（m，0），B（0，），令， 则，即D（，）， ∴PC==，PD==， ∵，，即， 又∠DPC=∠BPA， ∴△PDC∽△PBA， ∴∠PDC=∠PBC， ∴CD∥AB，故①正确； △PDC的面积===，故③正确； = = = = =，故②错误； 故选D． 【变式4-3】（2022·山东淄博·一模）函数和在第一象限内的图象如图所示，点是的图象上一动点，作轴于点，交的图象于点，作轴于点，交的图象于点，给出如下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积大小不会发生变化；④，其中正确的结论序号是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【详解】解：设点P的坐标为（m，）（m＞0），则A（m，），C（m，0），B（ ，），D（0，）． ①S△ODB=×1=，S△OCA=×1=， ∴△ODB与△OCA的面积相等，①成立； ②PA=-=，PB=m-=， 令PA=PB，即=， 解得：m=2． ∴当m=2时，PA=PB，②不正确； ③S四边形PAOB=S矩形OCPD-S△ODB-S△OCA=4--=3． ∴四边形PAOB的面积大小不会发生变化，③正确； ④∵PA=-=，AC=-0=， ∵=3×， ∴PA=3AC，④正确． 综上可知：正确的结论有①③④． 故选C． 【变式4-4】．（2022·山东德州·一模）双曲线和在第一象限内的图象如图所示，在的图象上，轴于，交的图象于，轴于，交的图象于，当点在的图象上运动时，下列结论：①与的面积相等；②四边形的面积保持不变；③；④若是的中点，则是的中点．其中一定正确的序号是 ．    【答案】①②④ 【详解】解：①点、均在反比例函数的图象上，且轴，轴， ，， ，结论①正确； ②点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ， ，结论②正确； ③设点的坐标为，则点的坐标，，点， ，， 与的关系无法确定，结论③错误； ④设点的坐标为，则点的坐标，，点， 点是的中点， ， ，，， 点是的中点，结论④正确． 故填：①②④．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$