精品解析：山东省济南市钢城区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度上学期期末测试 初三数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0．5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题40分） 一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列博物馆（院）图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：分别为的中点，， ， 点距离地面的高度为． 故选：B． 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此即可判断求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、分子分母中含有公因数，不是最简分式，该选项不合题意； 、，分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意； 、是最简分式，该选项符合题意； 、分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意； 故选：． 4. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，若，则的大小为（ ） A. 24度 B. 25度 C. 40度 D. 65度 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键； 先根据菱形的性质得，再根据菱形的对角线平分一组对角求出的度数，然后根据直角三角形两锐角互余，同角的余角相等即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 5. 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 4 4 7 11 10 5 3 这45名同学视力检查数据的中位数是（ ） A. 4.6 B. 4.7 C. 4.8 D. 4.9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数的概念，解题的关键是熟知相关概念．将一列数从小到大排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数． 根据中位数的概念求解即可． 【详解】总计为45名同学，则处在最中间为第23位， 根据：， ∴中位数落在具有11人的4.7的范围内，故中位数为4.7． 故选：B． 6. 如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键．连接、，分别作和的垂直平分线，则交点即为旋转中心． 【详解】解：将绕某个点旋转，得到，则与为对应点，则与为对应点， 连接、，分别作和的垂直平分线，如图所示交于点C，故点C为旋转中心． 故选：C． 7. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周6000件提高到8400件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　） A. ＝ B. +80＝ C. ＝﹣80 D. ＝ 【答案】A 【解析】 【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则更换交通工具后平均每人每周投递快件（x+80）件，根据快递公司的快递人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换交通工具后平均每人每周投递快件（x+80）件， 依题意得：＝， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 8. 在中，，，在边，上分别找到点M，N，使四边形是菱形，下面有两种方案，关于方案的可行性，下列判断正确的是（ ） 方案Ⅰ：作的垂直平分线，分别交，于点M，N． 方案Ⅱ：作，的平分线，分别交，于点M，N． A. 只有方案Ⅰ可行 B. 只有方案Ⅱ可行 C. 方案Ⅰ、Ⅱ都可行 D. 方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质．方案Ⅰ：由线段垂直平分线的性质得到，，再证明，推出，可判定四边形是菱形；方案Ⅱ：证明，得到，只能得到四边形是平行四边形，不能判断四边形是菱形，据此求解即可． 【详解】解：方案Ⅰ：设与相交于点， ∵是线段的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 方案Ⅱ：∵， ∴，，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，不能判断四边形是菱形， 故选：A． 9. 已知关于的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的增根，将分式方程的增根代入整式方程计算是解题的关键．先求解方程的增根，再将分式方程化为整式方程，将方程的增根代入整式方程计算可求解． 【详解】解：关于的分式方程有增根， ， 解得：， 故选：D． 10. 如图，已知四边形为正方形．为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分．其中结论正确的序号有（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】连接，作于点H，于点L，由正方形的性质得，垂直平分，则，因为平分，所以，再推导出，进而证明，得，所以，可判断①正确；由四边形是矩形，，证明四边形是正方形，可判断②正确；再证明，得，可判断③正确；可证明，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点H，于点L，则， ∵四边形是正方形， ∴，，垂直平分， ∵E为上一点， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形，故②正确； ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故③正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分， 故④正确． 故选：D． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识． 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 11. 使分式有意义的的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式有意义，则分母，由此易求的取值范围． 【详解】解：当分母，即时，分式有意义． 故答案为：． 12. 为了进一步增强文化自信，肩负起传承发展中华优秀传统文化的历史责任，某校举行了“诵读国学经典传承中华文明”的演讲比赛．演讲得分按照“演讲内容”占，“语言表达”占，“形象风度”占，“整体效果”占进行计算，小颖这四项的得分依次为88，85，92，95，那么她的最后得分是______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据演讲得分按照“演讲内容”占，“语言表达”占，“形象风度”占，“整体效果”占进行计算，小颖这四项的得分依次为88，85，92，95，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，（分）， 故答案为：． 13. 如果关于的分式方程的解是，那么的值是____________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，把代入分式方程中，即可求得a的值． 【详解】解：∵关于的分式方程的解是， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，菱形的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A的坐标为，顶点B的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点D，过点B作于点E，利用矩形的性质，菱形的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点D，过点B作于点E， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴, ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点． 故答案：． 15. 如图，将矩形沿着对角线折叠得到，若，，则与矩形重叠部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题通过折叠变换考查了三角形的有关知识，，所以需求的长．根据得，设，则，根据勾股定理求即的长． 【详解】解：∵为矩形， ∴， ∴， ∵将矩形沿着对角线折叠得到， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴． 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先让括号内的分母相同，然后运用同分母分式加减法运算，再化除为乘，最后约分即可解答． 详解】解： ． 17. 化简，再从，，三个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】 当时，原式无意义 当时，原式无意义 当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式混合运算顺序，结合式子的特点，先算括号内的减法，再算除法，将除法转化为乘法后约分即可得出化简结果，然后分别将，，三个数字代入化简结果求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式无意义， 当时，原式无意义， 当时，原式． 18. 解分式方程：． 【答案】原方程无解． 【解析】 【分析】方程两边同时乘最简公分母，化为整式方程，解方程可求出x的值，最后检验是否有增根即可． 【详解】方程两边同时乘最简公分母得：， 解得， 检验：把代入最简公分母得：， ∴是原方程的增根，原方程无解． 【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化成整式方程，注意：分式方程最后一定要把整式方程的解代入最简公分母检验是否有增根，避免漏解． 19. 已知在中，于点，于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，平行线的性质，平行四边形的性质，由四边形是平行四边形，得，，又，，则，证明即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， , ∴， ∴． 20. 如图，已知的三个顶点坐标为、、． （1）请画出关于坐标原点O的中心对称图形，并写出点A的对应点的坐标______； （2）请直接写出：以A、B、C、D为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标______． 【答案】（1）图见详解，； （2）或或． 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可得到答案； （2）根据平行四边形的性质对角线互相平分是中心对称图形，分类讨论即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：由题意可得，根据中心对称的性质对称中心即为对称点连线的中点，找到中的点、、，连接、、，由图像得； 【小问2详解】 解：由题意可得， 当是的对角线时，中点坐标是 ，即， 则，即； 当是的对角线时，中点坐标是 ，即， 则，即； 当是的对角线时，中点坐标是 ，即， 则，即； 故D点坐标是：或或． 【点睛】本题考查作中心对称图形及平行四边形的性质，解题的关键是知道对称中心即为对称点连线的中点，知道中点公式 ，． 21. 为迎接明年4月份的体育考试，九年级开展了本学期周末锻炼次数调查，便于开展后期针对性训练．现从本年级男生、女生中各抽取20名学生锻炼次数（记为次）进行分析，将锻炼次数分为以下4组，组：；组：；组：；组：；现将数据收集、整理、分析如下． 收集数据： 男生：5，6，8，9，7，1，10，3，4，8，5，0，7，2，7，6，8，4，8，11． 女生20名学生中的次数分别是：9，7，9，9，9，8，9，8． 整理数据： 容量等级 男生 6 2 女生 4 5 8 3 分析数据： 平均数 众数 中位数 男生 5.95 6.5 女生 5.95 9 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表中的______，______，______，______； （2）通过以上数据分析，你认为男生还是女生锻炼的情况更好，请说明理由．（一条理由即可） （3）若锻炼在7次及以上为优秀，九年级男生400名，女生360名，请估计九年级锻炼优秀的学生总人数是多少？ 【答案】（1）4，8，8， （2）女生锻炼的情况更好，见解析 （3）398人 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、众数，中位数，样本估计总体，理解题意是正确解答的前提． （1）根据频数统计表可得a、b的值，根据众数、中位数的意义求出c、d的值； （2）根据中位数、众数进行判断即可； （3）分别求出男生、女生锻炼优秀的学生所占得百分比即可； 【小问1详解】 解：根据题意可知，男生“A组”的频数为4，即 “C组”的频数为8，即 男生20名学生的次数出现次数最多的是8，共出现4次，因此众数是8，即， 女生20名学生的次数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为， 故答案为：4，8，8，； 【小问2详解】 女生锻炼的情况更好，理由为：女生的中位数、众数均比男生的高； 【小问3详解】 （人）， 答：估计九年级锻炼优秀的学生总人数是398人． 22. 如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）线段 ； ； （用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】（1）；；或 （2）当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】此题考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． （1），，点E是的中点，得，，则或，而，，则；若点Q与点E重合，则，求得；若点P与点D重合，则，所以当时，则，当时，则，于是得到问题的答案； （2）由，可知点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，再分两种情况讨论，一是当Q运动到E和B之间，则得：；二是当Q运动到E和C之间，则得：，解方程求出相应的t值即可． 【小问1详解】 解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上， ∴，， ∴或， ∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动， ∴， ∴； ∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动， ∴， 若点Q与点E重合，则， 解得； 若点P与点D重合，则， 当时，则， 当时，则， 故答案为：；；或； 【小问2详解】 解：， ∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，， 是的中点， ， 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得：， 解得：， ②当Q运动到E和C之间，则得：， 解得：， 综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 23. 为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且用150元购买甲种花卉的数量比乙种花卉多1株． （1）求甲、乙两种花卉每株的价格； （2）已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，其中甲花卉不多于90株．求购买花卉所需最少费用． 【答案】（1）甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元 （2）购买花卉所需费用的最小值为3150元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用等知识点，找准等量关系，正确列出分式方程、一次函数关系式成为解题的关键． （1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株，该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，根据题意列出一次函数，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以． 答：甲种花卉每株价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． 【小问2详解】 解：设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株，该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元， 由题意得：， ， 随m的增大而减小， ， 当时，y有最小值 y有最小值． 答：购买花卉所需费用的最小值为3150元． 24. 阅读材料： 通过小学的学习，我们知道，， 在分式中，类似地，． 探索： （1）如果，则 ；如果，则 ； 总结： （2）如果（其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c的代数式表示） 应用： （3）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】（1）1；；（2）；（3）或或2或 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： （1）类似于题干例子变形，再利用分式相等的条件确定出m的值即可； （2）类似于题干例子变形，再利用分式相等的条件确定出m的值即可； （3）类似于题干例子变形，根据得到的结论确定出整数x的值即可． 【详解】解：（1）∵ 又， ∴； ∵ ， 又， ∴， 故答案为：1；； （2）∵ ， 又， ∴； （3） ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴或， ∴或或2或． 25. 综合实践 【初步探究】如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点顺时针旋转得到．易证：． （1）根据以上信息填空： ①________； ②线段，，之间满足数量关系为________． 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点在的延长线上，点在的延长线，，猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，，分别在，上，，连接分别交，于点，，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 【答案】（1）①45°；②；（2），见解析；（3）2.5 【解析】 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质得出，从而可求得； ②证明，由全等三角形的性质得出； （2）将绕点A顺时针旋转到，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出； （3）将绕点A顺时针旋转，得到，证明，得，再证，然后由勾股定理得出，即可解决问题． 【详解】（1）解：①如图（1），延长到点G，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）． 证明如下：如图（2），在上截取，连接． 在和中， ， ， ，， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接． 四边形是正方形， ，，， ， ， 由旋转可得， ，，，， ， ，， ． ． ， ． 设，则． 在中， 解得：， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质综合，旋转的性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期期末测试 初三数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0．5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题40分） 一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列博物馆（院）图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，若，则的大小为（ ） A 24度 B. 25度 C. 40度 D. 65度 5. 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表： 视力 4.3 44 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 4 4 7 11 10 5 3 这45名同学视力检查数据的中位数是（ ） A. 4.6 B. 4.7 C. 4.8 D. 4.9 6. 如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 7. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周6000件提高到8400件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　） A. ＝ B. +80＝ C. ＝﹣80 D. ＝ 8. 在中，，，在边，上分别找到点M，N，使四边形是菱形，下面有两种方案，关于方案的可行性，下列判断正确的是（ ） 方案Ⅰ：作的垂直平分线，分别交，于点M，N． 方案Ⅱ：作，的平分线，分别交，于点M，N． A. 只有方案Ⅰ可行 B. 只有方案Ⅱ可行 C. 方案Ⅰ、Ⅱ都可行 D. 方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 9. 已知关于的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知四边形为正方形．为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分．其中结论正确的序号有（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 11. 使分式有意义的的取值范围是________． 12. 为了进一步增强文化自信，肩负起传承发展中华优秀传统文化的历史责任，某校举行了“诵读国学经典传承中华文明”的演讲比赛．演讲得分按照“演讲内容”占，“语言表达”占，“形象风度”占，“整体效果”占进行计算，小颖这四项的得分依次为88，85，92，95，那么她的最后得分是______分． 13. 如果关于的分式方程的解是，那么的值是____________． 14. 如图，菱形的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A的坐标为，顶点B的坐标为________． 15. 如图，将矩形沿着对角线折叠得到，若，，则与矩形重叠部分的面积为______． 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16. 计算：． 17. 化简，再从，，三个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 18. 解分式方程：． 19. 已知在中，于点，于点．求证：． 20. 如图，已知的三个顶点坐标为、、． （1）请画出关于坐标原点O的中心对称图形，并写出点A的对应点的坐标______； （2）请直接写出：以A、B、C、D为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标______． 21. 为迎接明年4月份的体育考试，九年级开展了本学期周末锻炼次数调查，便于开展后期针对性训练．现从本年级男生、女生中各抽取20名学生锻炼次数（记为次）进行分析，将锻炼次数分为以下4组，组：；组：；组：；组：；现将数据收集、整理、分析如下． 收集数据： 男生：5，6，8，9，7，1，10，3，4，8，5，0，7，2，7，6，8，4，8，11． 女生20名学生中的次数分别是：9，7，9，9，9，8，9，8． 整理数据： 容量等级 男生 6 2 女生 4 5 8 3 分析数据： 平均数 众数 中位数 男生 5.95 6.5 女生 5.95 9 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表中的______，______，______，______； （2）通过以上数据分析，你认为男生还是女生锻炼的情况更好，请说明理由．（一条理由即可） （3）若锻炼在7次及以上为优秀，九年级男生400名，女生360名，请估计九年级锻炼优秀的学生总人数是多少？ 22. 如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）线段 ； ； （用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 23. 为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且用150元购买甲种花卉的数量比乙种花卉多1株． （1）求甲、乙两种花卉每株价格； （2）已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，其中甲花卉不多于90株．求购买花卉所需最少费用． 24. 阅读材料： 通过小学的学习，我们知道，， 在分式中，类似地，． 探索： （1）如果，则 ；如果，则 ； 总结： （2）如果（其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c的代数式表示） 应用： （3）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 25. 综合实践 【初步探究】如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点顺时针旋转得到．易证：． （1）根据以上信息填空： ①________； ②线段，，之间满足的数量关系为________． 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点在的延长线上，点在的延长线，，猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形边长为，，分别在，上，，连接分别交，于点，，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $