精品解析：江西省吉安市永丰县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024年下半年期末质量监测八年级数学试卷 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列实数为无理数的是（ ） A B. 0 C. D. 2. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 561 560 561 560 方差s2（cm2） 3．5 3．5 15．5 16．5 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 6. 如图，直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，P在线段上（不包括端点），过点P作轴于D，轴于E，四边形的周长为8，则直线l的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 7. 的相反数为________． 8. 若是方程的一个解，则______． 9. 已知和关于轴对称，则________． 10. 如图，一次函数的图像与轴的交点坐标为，则关于的方程的解为______． 11. 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形的边长为14，正方形的边长为2，且，则正方形的边长为__________． 12. 已知在平面直角坐标系中 ，点P在x轴上运动，当点P与点A，B，C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为__________． 三、（每题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）如图，在中，是的平分线，过点C的射线，若，，求的度数． 14. 已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分，求的平方根． 15. 学习了后，数学老师出了一道化简题：．下面是小亮和小芳的解答过程． 小亮：解：原式； 小芳：解：原式， ，原式， （1）________的解法是不正确的； （2）化简：，其中，． 16. 如图，在下面的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点画图． （1）在图1中，画一个以为斜边的等腰直角三角形，使腰长为无理数； （2）在图2中，画一个以为斜边的直角三角形，使它的面积为2． 17. 已知点P（8–2m，m–1）． （1）若点P在x轴上，求m的值．（2）若点P到两坐标轴的距离相等，求P点的坐标． 四、（每题8分，共24分） 18. 如图，直线与轴相交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数关系式： （2）点为轴上一个动点，过点作轴交直线于点，若线段，求值． 19. 放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元． （1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格； （2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明． 20. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图1是某品牌共享单车停放在水平地面的实物图，图2是其简易示意图，其中，都与地面平行，、、在同一直线上． （1）已知，平分．求证：； （2）测得，点到地面的距离为．求点到地面的距离．（结果保留根号） 五、（每题9分，共18分） 21. 八（1）班要从小鹏与小航两位同学中选拔一人参加学校组织“强国有我”主题演讲比赛，决定按图表中所示的项目得分和权数对选手进行考评，下表是小鹏与小航同学的得分情况： 项目选手 仪容仪表 普通话 演讲内容 演讲技巧 小鹏 85 75 80 85 小航 90 70 85 80 结合以上信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中________； （2）直接写出小鹏考评中四个项目所得分数的众数和中位数； （3）得分高者参加学校的主题演讲比赛，请你根据所学的知识，通过计算说明小鹏，小航两人中应该选择谁去参加比赛． 22. 课本再现： （1）在证明“三角形内角和定理”时，小慧的想法是把三个角“凑”到A处，于是她过点A作直线，这样她的“凑”角想法得以实现． 已知：如图1，． 求证：．请你写出辅助线的作法和证明过程． 类比迁移： （2）如图2，在中，，，直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，交于点E，若，求的度数． 方法应用： （3）将一块含的直角三角板（，）的顶点G放在直线上，将三角板绕点G旋转，并保持点E在直线的上方，然后过点E作．请直接写出在旋转过程中与之间的数量关系． 六、（本题12分） 23. 小聪根据学习一次函数的经验，对函数进行探究． （1）动手操作： 小聪通过列表，描点，连线就能得到函数的图象． … 0 1 2 3 4 … … 0 1 2 3 2 1 … 请你在坐标系中画出函数的图象，并直接写出表格中的值； （2）观察图象： ①从对称性，增减性，最大（小）值等方面，写出两条关于函数的性质； ②若点，是函数图象上不同的两点，请直接写出的值； （3）解决问题： 直线经过点，且与函数的图象在轴的右侧部分平行． ①求直线的函数关系式； ②求方程组的解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年下半年期末质量监测八年级数学试卷 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：，0，是有理数； 是无理数． 故选D． 2. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的求解，立方根的求解，二次根式的加减法，根据算术平方根，立方根的定义，二次根式的加减法运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； D、2与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：B． 3. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 561 560 561 560 方差s2（cm2） 3．5 3．5 15．5 16．5 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数和方差的概念判断即可． 【详解】解：∵甲的方差是3.5，乙的方差是3.5，丙的方差是15.5，丁的方差是16.5， ∴=＜＜， ∴发挥稳定的运动员应从甲和乙中选拔， ∵甲的平均数是561，乙的平均数是560， ∴成绩好的应是甲， ∴从中选择一名成绩好又发挥稳定运动员参加比赛，应该选择甲． 故选：A． 【点睛】本题考查了平均数和方差的概念，平均数越大成绩越好，方差越小成绩越稳定，解题的关键是掌握平均数和方差的概念． 4. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点在第四象限内得出，，据此可得点B所在象限． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴，， ∴则点所在的象限是第二象限． 故选：B． 【点睛】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特点． 5. 在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（ ） A B. C. ，， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和，勾股定理逆定理，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．根据三角形的内角和等于，各个角之间的数量关系，计算各个角的度数，根据边之间的等量关系，结合勾股定理来判断各个选项是否符合题意． 【详解】解：A．∵，，∴，∴能判定为直角三角形； B．∵，∴，∴能判定直角三角形； C．∵，∴，∴能判定为直角三角形； D．∵，∴，∴不能判定为直角三角形． 故选D． 6. 如图，直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，P在线段上（不包括端点），过点P作轴于D，轴于E，四边形的周长为8，则直线l的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查列函数关系式．设 P点坐标为，由坐标的意义可知 ，，根据围成的图形的周长为8，可得到 x、y之间的关系式． 【详解】解：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、， 设点坐标为， 点在第一象限， ，， 四边形的周长为8， ， ， 即该直线的函数表达式是， 故选择：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 7. 的相反数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的性质与相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 根据相反数的定义即可直接得出答案． 【详解】解：的相反数为， 故答案为：． 8. 若是方程的一个解，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】把代入方程，即可解答． 【详解】解：把代入方程，得：， 解得：a=1. 故答案为1． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解决本题的关键是利用代入法解答即可． 9. 已知和关于轴对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标的特征；根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：已知和关于轴对称， ∴ ∴ 故答案为：． 10. 如图，一次函数的图像与轴的交点坐标为，则关于的方程的解为______． 【答案】 【解析】 【详解】∵直线的图象经过点，则，∴的解为． 11. 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形的边长为14，正方形的边长为2，且，则正方形的边长为__________． 【答案】10 【解析】 【详解】（14×14﹣2×2）÷8=（196﹣4）÷8=192÷8=24 24×4+2×2=96+4=100 =10． 即正方形EFGH的边长为10． 故答案为10． 12. 已知在平面直角坐标系中 ，点P在x轴上运动，当点P与点A，B，C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分 和两种情况进行分析即可． 【详解】解：∵点P、A、B在x轴上， ∴P、A、B三点不能构成三角形． 设点P的坐标为 ．当 为直角三角形时， ① ，易知点P在原点处坐标为 ； ② 时， ∵ ∴ ， 解得，∴点P的坐标为 当 为直角三角形时， ① ，易知点P在原点处坐标为 ； ② 时， ∵ ， ∴点P的坐标为 ． 综上所述点P的坐标为 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类． 三、（每题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）如图，在中，是的平分线，过点C的射线，若，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平行线的性质，三角形的外角定理，正确计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）按照二次根式的混合运算法则计算即可； （2）由平行以及角平分线得到，再由即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：，， ， 是的平分线， ， ， ． 14. 已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根和无理数的估算，化为最简二次根式，根据算术平方根、立方根的定义可求出的值，利用夹逼法可求出的值，进而得到的值，最后根据算术平方根的定义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵的算术平方根是3，的立方根是2， ∴，， ∵，是的整数部分， ∴， ∴， 的平方根为． 15. 学习了后，数学老师出了一道化简题：．下面是小亮和小芳的解答过程． 小亮：解：原式； 小芳：解：原式， ，原式， （1）________的解法是不正确的； （2）化简：，其中，． 【答案】（1）小亮 （2） 【解析】 【分析】本题考查乘法公式，二次根式的性质以及绝对值的化简，根据给定条件正确运用相关性质进行化简是解答本题的关键． （1）根据得，所以原式，所以小亮的解法是不正确的； （2）先根据乘法公式化简得：，再根据，得，所以，，代入上式即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， 小亮的解法是不正确的， 故答案为：小亮； 小问2详解】 解：原式， ，， 原式． 16. 如图，在下面的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点画图． （1）在图1中，画一个以为斜边的等腰直角三角形，使腰长为无理数； （2）在图2中，画一个以为斜边的直角三角形，使它的面积为2． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形性质，勾股定理，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）画出腰长为的等腰三角形即满足题意； （2）画出直角边长为和的直角三角形即可，直角三角形面积为． 【小问1详解】 解：如图所示： ； 【小问2详解】 解：如图所示： ． 17. 已知点P（8–2m，m–1）． （1）若点P在x轴上，求m的值．（2）若点P到两坐标轴的距离相等，求P点的坐标． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】(1)直接利用x轴上点的坐标特点得出m-1=0，进而得出答案； (2)直接利用点P到两坐标轴的距离相等得出等式求出答案． 【详解】解：点在x轴上， ， 解得：； 点P到两坐标轴的距离相等， ， 或， 解得：或， 或． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，正确分类讨论是解题关键． 四、（每题8分，共24分） 18. 如图，直线与轴相交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数关系式： （2）点为轴上一个动点，过点作轴交直线于点，若线段，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象中坐标的求法以及线段长度的表示法． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点或，再分别代入求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的函数关系式为：， 把，代入得：， 解得：， 直线的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：点，，且， 点或， ①把点代入得：； ②把点代入得：． 的值为或． 19. 放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元． （1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格； （2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明． 【答案】（1）5元，3元； （2）当两人共同购买笔芯，享受整盒购买的优惠时，能让两人既买到各自的文具又都买到小工艺品． 【解析】 【分析】（1）根据小贤买3支笔芯，2本笔记本花费19元，可知等量关系：笔芯的单价×3+笔记本单价×2=小贤花费金额，同样可得小艺的等量关系，这两个等量关系可列方程组解答； （2）小贤买3支笔芯，小艺4支笔芯，凑起来即为一盒，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，可知优惠5元，再加上小贤剩余两元即可让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品． 【详解】（1）设单独购买一支笔芯的价格为x元，一本笔记本的价格为y元， 有，解得； 故笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元． （2）两人共有金额19+26+2=47元， 若两人共购买10支笔芯（一盒），3本笔记本，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元， 故两人买到各自的文具需要花费10×2.5+3×5=40（元），剩余47-40=7（元），可购买两件单价为3元的小工艺品； 故只有当两人一同购买笔芯，享受整盒购买优惠，即可能让他们既买到各自的文具，又都买到小工艺品． 【点睛】（1）本题主要考查了二元一次方程组的求解，其中根据题目信息找到等量关系，；列出方程组是解题的关键； （2）本题主要是对题目中关键信息的理解以及应用，其中观察到整盒购买享受优惠是成功让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品的关键． 20. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图1是某品牌共享单车停放在水平地面的实物图，图2是其简易示意图，其中，都与地面平行，、、在同一直线上． （1）已知，平分．求证：； （2）测得，点到地面的距离为．求点到地面的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角性质，勾股定理，平行线的判定，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据等边对等角，三角形外角性质以及角平分线定义可得到，根据同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）先判定出是等边三角形，过点作于，根据勾股定理求出的长，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， 平分， ， ， ； 【小问2详解】 ， 是等边三角形， 过点作于， 则， 地面，点到地面的距离为， 点到地面的距离为． 五、（每题9分，共18分） 21. 八（1）班要从小鹏与小航两位同学中选拔一人参加学校组织的“强国有我”主题演讲比赛，决定按图表中所示的项目得分和权数对选手进行考评，下表是小鹏与小航同学的得分情况： 项目选手 仪容仪表 普通话 演讲内容 演讲技巧 小鹏 85 75 80 85 小航 90 70 85 80 结合以上信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中________； （2）直接写出小鹏考评中四个项目所得分数的众数和中位数； （3）得分高者参加学校的主题演讲比赛，请你根据所学的知识，通过计算说明小鹏，小航两人中应该选择谁去参加比赛． 【答案】（1）10 （2）众数：85，中位数：82.5 （3）应该选择小鹏去参加比赛 【解析】 【分析】（1）根据百分比总和为求解即可； （2）根据众数和中位数的概念求解即可； （3）首先求出小鹏与小航得分的平均数，然后比较判断即可． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解：∵小鹏考评中四个项目所得分数分别为75，80，85，85 ∴出现最多的是85 ∴众数是85； 中间的两个数是80，85 ∴中位数为； 【小问3详解】 解：（分） （分） ， 应该选择小鹏去参加比赛． 【点睛】本题主要考查了众数，中位数以及加权平均数，熟练掌握一组数据中出现次数最多的数是众数，按照大小顺序排列数据的中间数是中位数，各个数据与权重的乘积之和得出加权平均数是解题关键． 22. 课本再现： （1）在证明“三角形内角和定理”时，小慧的想法是把三个角“凑”到A处，于是她过点A作直线，这样她的“凑”角想法得以实现． 已知：如图1，． 求证：．请你写出辅助线的作法和证明过程． 类比迁移： （2）如图2，在中，，，直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，交于点E，若，求的度数． 方法应用： （3）将一块含的直角三角板（，）的顶点G放在直线上，将三角板绕点G旋转，并保持点E在直线的上方，然后过点E作．请直接写出在旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）当点F在直线的上方时，；当点F在直线与直线之间时，；当点F在直线的下方时， 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定该与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）过点A作，根据平行得到内错角相等，转化为平角求证； （2）过点B作，则，由等腰三角形结合三角形内角和定理得到，而，则，由，得到； （3）分三种情况讨论，过点作，则，当点F在直线的上方时；当点F在直线与直线之间时；当点F在直线的下方时，利用平行线的性质即可探究与之间的数量关系． 【详解】（1）证明：过点A作， ， ， ； （2）过点B作， ， ， ∴， ，， ， ， ， ∵， ； （3）①如图，当点F在直线的上方时，， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴； ②如图中，当点F在直线与直线之间时，， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； ③如图3-2中，当点F在直线的下方时，， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：当点F在直线的上方时，；当点F在直线与直线之间时，；当点F在直线的下方时，． 六、（本题12分） 23. 小聪根据学习一次函数的经验，对函数进行探究． （1）动手操作： 小聪通过列表，描点，连线就能得到函数的图象． … 0 1 2 3 4 … … 0 1 2 3 2 1 … 请你在坐标系中画出函数的图象，并直接写出表格中的值； （2）观察图象： ①从对称性，增减性，最大（小）值等方面，写出两条关于函数的性质； ②若点，是函数图象上不同的两点，请直接写出的值； （3）解决问题： 直线经过点，且与函数的图象在轴的右侧部分平行． ①求直线函数关系式； ②求方程组的解． 【答案】（1）作图见解析， （2）①函数的图象关于轴对称；在轴的左侧函数的值随的增大而增大（在轴的右侧函数的值随的增大而减小）；当时，函数有最大值为3；② （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了画分段函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，解决问题的关键是分类讨论． （1）将代入，从而可得的值，再描点画图即可； （2）①对称性，增减性，最大（小）值结合函数图象可得性质；②求解当时，，再求解当，的值，结合图象可得答案； （3）①函数在轴的右侧部分的关系式为：，可得直线为，再进一步求解即可；②函数在轴的左侧部分的关系式为：，联立，再解方程组即可． 【小问1详解】 解：如图；当时，； 描点画图如下： ； 【小问2详解】 解：①函数的图象关于轴对称；在轴的左侧函数的值随的增大而增大（在轴的右侧函数的值随的增大而减小）；当时，函数有最大值为3． ②当时，， ∴当， ∴， 解得：或， ∵点，是函数图象上不同的两点， ∴； 【小问3详解】 解：①函数在轴的右侧部分的关系式为： 经过点，且与平行 ∴直线为， ∴， 直线的函数关系式为：， ②函数在轴的左侧部分的关系式为： 联立方程组：， 解得：， 方程组的解为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$