专题08 几何最值模型之逆等线模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题08.几何最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 1 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 5 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 8 模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 9 13 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 证明思路：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出EF=CD； ④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线； ⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。 注意：题中的角度，在八年级能解决的只有一些特殊角度，如：30，45，60等。 例1．（24-25九年级上·广东·阶段练习）在边长为4的等边中，分别为边上的动点，且总满足则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：是等边三角形，， ，，， 当时，即时，最短，则有最小值， 此时，，， 的最小值为，故答案为：． 例2．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D、E分别是AB、AC上两动点，且AD＝CE，连接CD、BE，CD+BE最小值为　 　． 解：过点A作AH⊥BC于H，作AM∥BC且AM＝BC，延长CB并过点M作MN⊥BC于N， ∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BH＝CH＝BC＝3，∴AH＝＝4， ∵AM∥BC且AM＝BC，AH⊥BC，∴四边形AMNH是矩形， ∴NH＝AM＝BC＝6，NC＝NH+CH＝6+3＝9，MN＝AH＝4，∵AM∥BC，∴∠MAD＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠MAD，在△ADM和△CEB中， ，∴△ADM≌△CEB（SAS），∴BE＝MD，∴CD+BE＝MD+CD≥CM， ∴当C、D、M三点共线时，CD+BE取最小值，CM＝＝．故答案为：． 例3．（2023·陕西咸阳·二模）如图，在中，，，点P是边上的动点，在边上截取，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：过点C作，并截取，连接，设交于点E，    ∵，∴，，∴， ∵，，，∴，∴， ∴，在中，，∴的最小值为， 如图，过点B作于F，∴，∴，∴， ∴，，∴，∴，故答案为：． 例4．（23-24八年级下·浙江·期中）在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：如图作，使得．作交的延长线于，连接． ，，，，，， ，的最小值为的长，∵，∴， ∵，∴，， 在中，，，，， ∴， 在中，．故答案为：． 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。 证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG； ④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。 例1．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）在等边△ABC中，AB＝4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，CE=CF，则AE+AF的最小值为 . 【答案】 【详解】过点C作CG⊥DC，并截取CG=AC，连接EG，如图所示： ∵为等边三角形，∴，， ∵CD平分，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，，， 当A、G、E三个点在同一直线上时，的和最小，即最小， 的值最小为：．故答案为：． 例2．（2023·四川成都·一模）如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时， ． 【答案】 【详解】解：在下方作，使，连接．则，． ∴，即最小值为，此时A、N、三点在同一直线上． ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴，故答案为：． 例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ． 【答案】4 【详解】解：∵等腰中，，∴， ∵平分，∴，如图，作，使，连接， ∴，∵，，， ∴，∴，，∴， ∴当三点共线时，最小，即， ∵，，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：4． 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 条件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE， 求CD+CE的最小值。 证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD； ④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线； ⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。 例1．（23-24七年级下·成都市·期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E为AB边上的两个动点，且AD＝BE，连接CD，CE，若AC＝2，则CD+CE的最小值为 　 　． 解：如图：构造矩形ACBF，连接DF，EF，CF交AB于点O，则OF＝OC，OA＝OB，AB＝CF， ∵AD＝BF， ∴OD＝OE，∴四边形CEFD为平行四边形，∴DF＝CE， ∴CD+CE＝CD+DF≥CF， ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4，∴CD+CE≥4， 故答案为：4． 例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是 ．    【答案】17 【详解】解：如图，连接，，四边形是矩形，，，， ，，，，，， 又，为矩形的对角线，， 是直角三角形，，，， 移项得， 配方得，，解得，或 ，，，故答案为：17．    模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。 条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF， 求AF+AE的最小值。 证明思路：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG； ④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。先利用相似求出DH和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两条线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。 例1．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，的下方作，在上截取，使得，连接，． 四边形是菱形，，，， ，，，，， ，， ，， ，，的最小值为，故答案为． 例2．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、，交于点，∴，∵矩形中，，， ∴，，， ∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∴， 在和中，∴，∴， ∵点、分别是对角线和边上的动点，∴， 当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长， 在中，，，， ∴，∴， ∴，在中，， ∴的最小值是，故答案为：． 例3．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，P，Q分别为上的点，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在的延长线上截取点，使，连接，， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴当共线时，取得最小值，最小值为的长， ∴的最小值为，故答案为：． 1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线上有两动点和，连接和，若，，则的最小值是（    ）    A．4 B．10 C．6 D．20 【答案】B 【详解】解：如图，连接，，      四边形是矩形，，，，， ，，， ，，又，为矩形的对角线， ， 是直角三角形，，， 移项得，解得，或 ，则不符合题意，，，故选B． 2．（23-24九年级下·湖北孝感·阶段练习）如图，已知正方形的边长为，点分别是边上的动点，满足则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，根据正方形的性质及，可得△DCE≌△ADF，则有， ，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′， 则AE=A ′E，即，当D、E、A′在同一直线时，最小，AA′=2AB=4， 此时，在Rt△ADA′中，DA′=，故的最小值为，故答案为：D． 3．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）如图，在中，，，点D是边上一动点，连接，过点A作，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接，延长到点F，使，连接，交于点G，连接，过点A作于点M，如图所示： ∵在中，，，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴点E在过点C，垂直于的直线上，∵，∴垂直平分， ∴，∴，∴当A、E、F在同一直线上时，最小，即最小， ∴当点E在点G处时，最小，即的最小值为的值， ∵，，∴，∴， ∴的最小值为．故答案为：． 4．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，E为线段上一动点（点E不与B，C重合），F为线段上一动点（点F不与A，C重合），且始终满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作，过点D作，且使，连接， ∵，∴，∵， ∴，∴，∴， 当三点共线时，有最小值， 过点B作，交的延长线于点N，则四边形是正方形， ∴，∴，∴， 故答案为： 5．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴建立直角坐标系，分别为线段和线段上一动点，且．当的值最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：过点作，使，连接，，， ∵，∴，∴，∵，， ∴，，∴，，， ∵，，∴，∴，∴， ∴当三点共线时，的值最小， 此时，点为线段与线段的交点， ∵，，∴，∴， ∵，，，∴， 设线段的函数解析式为，把、代入得， ，解得，∴线段的函数解析式为， 设线段的函数解析式为，把、代入得， ，解得，∴线段的函数解析式为， 联立函数式得，，解得，∴点的坐标为 ，故答案为：． 6．（23-24八年级上·北京东城·期末）如图，等腰直角中，，D为的中点，，若P为上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：为的中点，    作点C关于AB对称点，交于，则，连接，交AB于P，连接． 此时的值最小． 由对称性可知    ∴∴，点C关于AB对称点，∴AB垂直平分，∴ 根据勾股定理可得 故答案为：． 7．（2024·重庆八中七年级期末）如图，，且，D，E分别为射线和射线上两动点，且，当有最小值时，则的面积为________． 【答案】6 【详解】延长，以点为圆心，为半径，作圆弧交延长线于点G，连接、、 ∴，又∵，∴ ∴∴ 由图可知，当点，，在一条直线上，距离最短 过点作交于点∴∴ 又∵，∴∴ ∴∴故答案为：6． 8．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，，点M是线段上的动点，在线段上截取，连接和，当点M在运动的过程中，的最小值为 ．    【答案】2 【详解】解：过点作并截取，连接，，设交于点，如图， 中，，，， ，，． 在和中，，， ，．．，的最小值为． 过点作，交的延长线于点，，． ，，， ．， 的最小值为．故答案为：．    9．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，使，连接，，则，． ∵菱形的边长为2，∴．， ∴．∴．∴． 在和中，，∴． ∴．∴．即． ∴的最小值为．故答案为：． 10．（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为 ；的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，使得，过点作于点，连接， 在中，，∴，∴， ∴，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长， ∵，，，∴ ∵，∴， 在中，，∴， ∴，如图所示，延长至使得，连接，则， ， ∴，故答案为：，． 11．（23-24八年级下·天津河西·期末）已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且满足，连接AE，AF，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接DE， ∵且四边形ABCD为正方形∴CD-CF=BC-BE，即DF=CE 在△ADF和△DCE中∴△ADF≌△DCE∴AF=DE；= 以BC为对称轴，作A点关于BC的对应点连接，与BC交点即为点E ∵点A和点关于BC对称，∴AE= == 由勾股定理可得：=∴的最小值为 故答案为： 12．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中，为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点D作，且，分别连接； 则，∴； 在中，，，； ，,； ，，，， 当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长； 在中，由勾股定理得：，即的最小值为． 故答案为：． 13．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，边长为4的正方形中，E，F分别为边，上的点，连接，．若，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，作D关于直线的对称点，连接，，∴，， ∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴， ∴当C、F、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为， 在中，．故答案为：． 14．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在菱形中，． （1）菱形的面积为 ． （2）若点分别在上，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 4 【详解】解：（1）如图所示，连接，交于点， ∵四边形是菱形，，，∴，且， ∴是等边三角形，∴，则， ∵，即，∴，∴，∴， ∴菱形的面积为，故答案为：； （2）如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，可得， ∵四边形是菱形，， ，， ∴四边形为平行四边形，， ，当三点共线时，最小， 四边形是菱形，，∴，∴为等边三角形，， ，，，，，，， 三点共线，当三点共线时，点，重合，， ∴，即的最小值为4． 15．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，动点从点出发，沿方向匀速运动，运动到点时停止，同时另一个动点从点出发，以与点相同的速度沿方向匀速运动．点停止运动时点也停止运动，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过点作，且，连接， 由题意，得：，∵正方形，∴，， ∴，，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在中，，∴的最小值为； 16．（23-24八年级下·陕西安康·期中）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE＋AF的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，的下方作，在上截取，使得，连接，． ∵四边形是菱形，，∴，， ∵，，，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∵，当E点在AT上时取等号，∴， ∴的最小值为，故答案为：． 17．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，已知菱形的面积为，点P，Q分别是在边，上(不与C点重合) ，且，连结，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，延长到点，使，连接，以点为原点，为x轴，垂直于方向为y轴，建立平面直角坐标系， 点和关于轴对称， ， 四边形是菱形，，， 菱形的面积为，边长为， ，解得， 在中，根据勾股定理得：， ，，， 在和中，，， ，，，三点共线时，取最小值， 的最小值的最小值.故答案为：. 18．（2024·山东济南·模拟预测）如图，已知正方形边长为4，O为对角线的交点，M、N分别是边、上的动点，且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作于点F，延长到点E，使，连接、、、， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，，，，且，， ∴垂直平分，，，∴，，∴. ∵，∴， 在和中，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴的最小值为.故答案为：． 19．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）【问题1】在中，垂足为A，D为内一点，连接，，延长到点E，使得． （1）如图1，延长到点F，使得，连接，．若，直接写出与的位置关系是________________________；（不用证明） （2）如图2，连接，交的延长线于点H，若，请在横线上直接写出，，的数量关系________________________；并说明理由． 【问题2】如图3，在中，，如果点D为线段上一动点，点E为线段上一动点，且，连接、，且，，请直接写出的最小值为________． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【详解】（1）解：在和中，，∴， ∴，∴，∵，∴； （2）解：，理由如下：如图：延长到，使，连接，， ， ∵，，∴为的垂直平分线，∴， 在和中，，∴，∴，，∴， ∵∴，∴由勾股定理可得：，∴； （3）如图，作于，且，连接交于， 在和中，，∴，∴， ∴，由两点之间，线段最短可得，此时的的值最小， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，， ∴，∴， ∴的最小值为． 3 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08.几何最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 1 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 3 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 4 模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 6 8 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 证明思路：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出EF=CD； ④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线； ⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。 注意：题中的角度，在八年级能解决的只有一些特殊角度，如：30，45，60等。 例1．（24-25九年级上·广东·阶段练习）在边长为4的等边中，分别为边上的动点，且总满足则的最小值 ． 例2．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D、E分别是AB、AC上两动点，且AD＝CE，连接CD、BE，CD+BE最小值为　 　． 例3．（2023·陕西咸阳·二模）如图，在中，，，点P是边上的动点，在边上截取，连接，则的最小值为 ．    例4．（23-24八年级下·浙江·期中）在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值 ． 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。 证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG； ④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。 例1．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）在等边△ABC中，AB＝4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，CE=CF，则AE+AF的最小值为 . 例2．（2023·四川成都·一模）如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时， ． 例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ． 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 条件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE， 求CD+CE的最小值。 证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD； ④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线； ⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。 例1．（23-24七年级下·成都市·期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E为AB边上的两个动点，且AD＝BE，连接CD，CE，若AC＝2，则CD+CE的最小值为 　 　． 例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是 ．    模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。 条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF， 求AF+AE的最小值。 证明思路：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG； ④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。先利用相似求出DH和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两条线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。 例1．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 ． 例2．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 例3．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，P，Q分别为上的点，，则的最小值为 ． 1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线上有两动点和，连接和，若，，则的最小值是（    ）    A．4 B．10 C．6 D．20 2．（23-24九年级下·湖北孝感·阶段练习）如图，已知正方形的边长为，点分别是边上的动点，满足则的最小值为（  ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）如图，在中，，，点D是边上一动点，连接，过点A作，且，连接，则的最小值为 ． 4．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，E为线段上一动点（点E不与B，C重合），F为线段上一动点（点F不与A，C重合），且始终满足，则的最小值为 ． 5．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴建立直角坐标系，分别为线段和线段上一动点，且．当的值最小时，点的坐标为 ． 6．（23-24八年级上·北京东城·期末）如图，等腰直角中，，D为的中点，，若P为上一个动点，则的最小值为 ． 7．（2024·重庆八中七年级期末）如图，，且，D，E分别为射线和射线上两动点，且，当有最小值时，则的面积为________． 8．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，，点M是线段上的动点，在线段上截取，连接和，当点M在运动的过程中，的最小值为 ．    9．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为 ． 10．（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为 ；的最大值为 ． 11．（23-24八年级下·天津河西·期末）已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且满足，连接AE，AF，则的最小值为 ． 12．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中，为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，，，则的最小值为 ． 13．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，边长为4的正方形中，E，F分别为边，上的点，连接，．若，则的最小值是 ． 14．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在菱形中，． （1）菱形的面积为 ． （2）若点分别在上，且，连接，则的最小值为 ． 15．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，动点从点出发，沿方向匀速运动，运动到点时停止，同时另一个动点从点出发，以与点相同的速度沿方向匀速运动．点停止运动时点也停止运动，连接、，则的最小值为 ． 16．（23-24八年级下·陕西安康·期中）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE＋AF的最小值为 ． 17．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，已知菱形的面积为，点P，Q分别是在边，上(不与C点重合) ，且，连结，，则的最小值为 ． 18．（2024·山东济南·模拟预测）如图，已知正方形边长为4，O为对角线的交点，M、N分别是边、上的动点，且，连接、，则的最小值为 ． 19．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）【问题1】在中，垂足为A，D为内一点，连接，，延长到点E，使得． （1）如图1，延长到点F，使得，连接，．若，直接写出与的位置关系是________________________；（不用证明） （2）如图2，连接，交的延长线于点H，若，请在横线上直接写出，，的数量关系________________________；并说明理由． 【问题2】如图3，在中，，如果点D为线段上一动点，点E为线段上一动点，且，连接、，且，，请直接写出的最小值为________． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$