解三角形十大题型专项练习（含角平分线，中线，最值问题）讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【解三角形专项训练】【期末模拟真题精选】 【题型一：正弦定理及其应用】 1．（24-25高三上·甘肃·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【分析】根据正弦定理（为的外接圆半径）求解即可. 【详解】设外接圆的半径为， 则，即. 故选：A . 2．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知中，，，有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合即可得到答案. 【详解】如图， 要使有两解，则，即， 即． 故选：D． 3．（23-24高一下·福建福州·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，，，下面使得有两组解的的值可以为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由正弦定理可得，由，且，即可得到答案. 【详解】由题意，根据正弦定理有，所以， 要使有两组解，则，且，即， 即，即， 所以选项所给四个数据中只有符合， 故选：B. 4．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理可得, 再由和比定理得. 故选：C. 5．（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）若外接圆的半径为，且，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，在中，由余弦定理求，从而得解. 【详解】根据正弦定理，，即， 又，则， 又， 所以，则， 根据同角基本关系式，， 则， 根据正弦定理，即， 在中，由余弦定理, 所以，所以. 故选：A 6．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知分别为三个内角的对边，下列四个命题中错误的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D． 【答案】B 【分析】利用和角的正切公式推得判断A；利用正弦定理边化角推理判断BCD. 【详解】对于A，在中，由，得， 整理得 ，则都是锐角， 是锐角三角形，A正确； 对于B：由及正弦定理得， 即，则或，即或， 因此是等腰三角形或直角三角形，B错误； 对于C，由及正弦定理，得， 即，而是的内角，则，是等腰三角形，C正确； 对于D，由是的内角及正弦定理，得，D正确. 故选：B 二、多选题 7．（23-24高一下·福建福州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则 C．若，则是钝角三角形 D．若不是直角三角形，则 【答案】BCD 【分析】由正弦定理及余弦定理判断A,B,C项，由两角和的正切公式判断D项． 【详解】因为，由正弦定理得 ，即，所以或， 即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故A错误； 由正弦定理得，故B正确； 因为，由正弦定理得， 所以，所以，所以是钝角三角形，故C正确； 由不是直角三角形且，得，所以，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 8．（24-25高三上·上海浦东新·期末）在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算即得. 【详解】在中，由，，得， 由正弦定理得，. 故答案为： 9．（24-25高三上·江苏常州·期末）在中，点满足，，，则 ． 【答案】 【分析】设，由正弦定理得，转化为，解方程可得答案. 【详解】设， 由正弦定理得，， 即， 所以 ， 即， 同除得， 解得舍去，或， 所以． 故答案为：． 10．（24-25高三上·四川巴中·期末）设的内角的对边分别为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据题意并利用正弦定理可得，再根据三角形内角和以及三角恒等变换计算即可求得结果. 【详解】由可得， 由正弦定理可得，即； 又在中，,所以，即； 所以. 故答案为： 【题型二：余弦定理及其应用】 1．（23-24高二上·云南大理·期末）如图，已知在圆的内接四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理，结合圆内接四边形的对角互补，即可求出长度. 【详解】 连接，由题意四边形为圆的内接四边形可知, 则在三角形中由余弦定理得：， 在三角形中由余弦定理得：， 因为，所以，即，解得. 故选：C 2．（24-25高三上·浙江杭州·期末）锐角的内角所对的边分别为，角A的平分线交BC于点D，若，且，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理，三角形面积公式，逐项分析即可. 【详解】因为，且，， 所以，即， 由余弦定理，， 由，整理得，解得或， 当时，，此时B为钝角，与为锐角三角形矛盾，舍去， 故，即D错误； 由，，，和余弦定理，可得， 因为A为三角形的内角，所以，故A正确； 此时，，故C正确； 因为AD为角A的平分线，设， 由，可得， 即得，解得，即，故B正确. 故选：D. 3．（24-25高二上·安徽·期末）在中，内角所对的边分别为，且满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用余弦定理求出，即可求出，再由二倍角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 由余弦定理得， ，， ，则. 故选：C. 4．（24-25高三上·青海·期末）在中，，点在线段上，，则（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系得到，再利用正弦定理求解边长即可. 【详解】在中，因为，， 所以由余弦定理可得， 而，则，由同角三角函数的基本关系得， 在中，由正弦定理可得，解得，故C正确. 故选：C 5．（2025高三·全国·专题练习）在中内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，再利用正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得：， 即：，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 二、填空题 6．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知中，角A，B，C满足：，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意可求得，再由余弦定理计算可得结果. 【详解】由正弦定理可得，因此； 不妨取，其中， 因此. 故答案为： 7．（2025·湖北·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则 【答案】 【分析】由得，利用正弦定理得，再由余弦定理即可求解，利用同角三角函数的基本关系即可求解，最后由正弦定理即可求解. 【详解】解析：由得， 由正弦定理可变为， 则，故，又由余弦定理有 ， 由正弦定理有， 所以. 故答案为：. 8．（24-25高三上·四川成都·期中）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， ， c = 2 ，则 的值为 【答案】 【分析】首先根据正弦定理得到，再利用同角三角函数基本关系式，以及余弦定理，即可求解. 【详解】由正弦定理可知，，即, 所以 . 故答案为： 9．（2025·山东聊城·模拟预测）在中，点分别在边上，，且，则 . 【答案】2 【分析】根据三角形面积公式以及等面积和余弦定理，解方程组可得结果. 【详解】记，如下图所示： 则； 因，， 则； 故①， 在中，由余弦定理，， 可得②， 将①代入②得， 即，解得或（舍）； 即. 故答案为：2. 三、解答题 10．（2025·湖北武汉·二模）如图，与存在对顶角，，，且． (1)证明：为中点； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，，结合余弦定理，表示出与，根据列式化简可得. （2）先确定角的数量关系，根据求角的三角函数，再在中用正弦定理，可求的长. 【详解】（1）设，，则，. 在中，由余弦定理得： 在中，由余弦定理得：. 由，所以. 化简得：. 故为中点. （2）如图： 过点做，交与. 则. 由（）. 所以，又，所以. 所以. 所以，又，. 所以. 由 所以. 又，所以，所以. 所以. 即. 在中，根据正弦定理，可得：. 【题型三：面积周长的计算】 1．（24-25高一上·河北保定·期末）内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】根据正弦定理进行边换角并结合三角恒等变换得，再利用余弦定理和三角形面积公式即可得到答案. 【详解】由，结合正弦定理得， ， 因为，所以, 利用余弦定理，解得， 所以. 故答案为：. 2．（24-25高三下·江苏扬州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长为 . 【答案】 【分析】先应用正切公式化简再结合诱导公式及两角和余弦公式计算得出，最后用余弦定理及正弦定理计算求出周长. 【详解】由得， 即， 即， 由以及诱导公式得， 又， 得， 又，由同角三角函数的基本关系得， 因为，根据正弦定理： ， 所以，， 由余弦定理得， 将代入上式得， 解得，所以的周长为 故答案为: 3．（24-25高三上·江苏扬州·期末）在中，已知角所对的边分别，的面积，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】由条件结合三角形面积公式和正弦定理可得，结合两角和余弦公式求，再结合余弦定理及三角形面积公式求，由此可求的周长. 【详解】因为的面积，， 所以， 所以，又， 所以，又， ， 所以， 又，所以， 由余弦定理可得， 由，，可得， 所以， 所以， 所以， 所以的周长为. 故答案为：. 二、解答题 4．（20-21高一下·广东深圳·期末）①，②，③ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答. 问题：已知的三边，，所对的角分别为，，，若，，______，求 (1)； (2)的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)或 【分析】选①根据二倍角公式以及辅助角公式化简整理，可得；选②利用正弦定理边角互化，整理可得；选③利用余弦定理可知；由根据正弦定理可求得或，分情况求得三角形面积. 【详解】（1）选①：由得， 即，因为，所以． 选②：由正弦定理得得，因为， 所以． 因为，所以．因为，所以． 选③：由题意得，得． 因为，所以． （2）因为，所以． 由，所以或． 当时，，又因为，所以，． 则面积． 当时，，所以．又因为，所以． 则面积． 综上所述，的面积为或． 5．（23-24高一下·陕西西安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，已知． (1)求角B的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得. （2）利用三角形面积公式及余弦定理求解即得. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 而，则， 由，得，，于是，又， 所以. （2）由，且的面积为，得，即，解得， 由余弦定理得， 所以的周长为. 6．（24-25高二上·广东汕头·期末）已知在中，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若点D在AB边上，且，若，求的面积． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析； (2). 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出角，然后利用和角的正弦求出角即可. （2）由（1）的信息，利用余弦定理、三角形面积公式计算得解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 由余弦定理得，而，解得， ，于是， 又，则，所以是直角三角形. （2）令，由（1）知，，由，得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以的面积. 7．（24-25高三上·河南漯河·期末）在中，角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若是的一条内角平分线，，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再通过三角函数的运算求出角；（2）根据三角形内角平分线性质以及三角形面积公式建立等式，结合余弦定理求出的值，进而得到三角形的周长. 【详解】（1）由已知及正弦定理：， ， ， ，. （2）在中，由， 可得：， 又平分，则， 所以， 整理得①． 又由余弦定理，可得，即， 则有②， 由①②解得：或（舍）， 所以的周长为. 8．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）记锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)在所在的平面内有一点D，使，，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换得到，即可得到； （2）根据四边形内角和得到，然后利用余弦定理得到，根据等腰三角形的性质得到，最后利用三角形面积公式计算即可. 【详解】（1） 根据正弦定理，得，， 因为，所以. 所以，，故. （2）由，，可知在四边形ABDC中，， 因为，所以，则， 由，所以，是等边三角形， 所以的面积. 9．（24-25高三上·山西·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)延长到，使得，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合已知利用正弦定理得，然后利用余弦定理求得，再根据角的范围即可求解. （2）根据余弦定理及同角三角函数关系得，然后利用两角差的正弦公式求得，然后在中由正弦定理得，最后代入三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得. 所以设，，则，， 由余弦定理得， 又，所以. （2）由（1）知， 所以，又， 所以， 所以 . 在中，由正弦定理得， 所以， 所以，，所以的面积. 10．（24-25高二上·江苏连云港·期末）在中，为边上一点，. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1)7； (2). 【分析】（1）法一：应用正余弦定理求边长；法二：过点作的垂线，垂足为，根据已知求边长； （2）应用三角形面积公式求面积. 【详解】（1）法一：在中，由正弦定理得， 则， 在中，由余弦定理得 ； 法二：过点作的垂线，垂足为， 在中，则， 在中，则， 所以 在中，. （2）由（1）可得，. 【题型四：中线问题】 1．（24-25高三上·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 (1)求B； (2)若的面积为，，求中线BD的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理将已知的正弦关系转化为边的关系，再利用余弦定理求出角。 （2）先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，最后利用向量关系求出中线BD的长。 【详解】（1）因为，所以， 又因为 所以，，得， 所以，由余弦定理得， 又B为三角形内角， 所以， （2）因为的面积为，，， 所以，，所以，又， 因为BD为的中线，所以，， 所以，， 所以 2．（2024·新疆·模拟预测）在中，角的对边分别为，是的平分线，是边的中线，． (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2), 【分析】（1）根据余弦定理即可求解， （2）根据余弦定理可得，进而根据等面积法即可求解，利用向量的模长公式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理可得， 进而可得，解得或（舍去）， （2）由余弦定理可得， 由于 由题意知，设，则，则， 如图所示， 由可得， 所以,解得， 由是边上的中线，得 . 所以，中线长. 3．（24-25高二上·浙江杭州·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求边长和角； (2)若的面积为，求中线AD的长度. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，利用正弦定理得到，求得a，再由求得角A； （2）由余弦定理和三角形面积公式求得和，再由，两边平方求中线的长度. 【详解】（1）， 由正弦定理得． 可得． 由，得， 得， 得或，故或0（舍去）． （2）由，得， 由余弦定理可知，， 由（1）可得，所以， 又， 所以 ， 即， 所以中线的长度为. 4．（2024高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，已知，，的面积为，求边上的中线的长. 【答案】 【分析】由三角的面积公式可得，由余弦定理及已知条件可得，再利用，求解即可. 【详解】解：因为，所以， 因为余弦定理得， 又因为， 可得，即得. 因为的中线， 可得， ， 所以， 即. 5．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）记的内角，，所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若是的中线，且，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理、三角形内角和定理及三角恒等变换求角； （2）由三角形的面积公式得的值，再由向量的线性运算及向量的模求的值，最后由余弦定理求的值. 【详解】（1）∵， ∴由正弦定理得， ∴， ∴， ∵， ∴.即， ∵，∴. ∴，即. （2）∵由题意得， ∴. ∵是的中线， ∴， ∴， ∴，， 由余弦定理得， ∴. ∴的周长为. 6．（23-24高一下·江苏南京·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角A的大小. (2)若，求AC边上的中线BD的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正、余弦定理边角转化可得，即可得结果； （2）利用两角和差公式以及正弦定理可得，进而根据中线的性质结合数量积分析求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）因为，且，可知， 可得， 由正弦定理可得，则， 又因为BD为AC边上的中线，则， 可得， 所以AC边上的中线BD的长为. 【题型五：角平分线问题，三角形的内心】 1．（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用向量性质得，平方后求得，再由余弦定理求得，由角平分线定理求得，然后由余弦定理求得后在中计算出． 【详解】是边中点，则， 所以， 即，解得， ， 是的平分线，则，， ， 在中，， 故选：B． 二、多选题 2．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）在中，为边上一动点，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．当为角的角平分线时， D．当为中点时， 【答案】ABC 【分析】对于A，由余弦定理即可得解；对于B，由A结合正弦定理即可得解；对于C，由计算即可得解；对于D，由两边平方计算即可得解. 【详解】对于A，由题意及余弦定理得， ，故A正确； 对于B，由A结合正弦定理可知的外接圆半径为，故B正确； 对于C，当为角的角平分线时，则由， 得， 所以， 即，故C正确； 对于D，当为中点时，有， 所以 ， 所以，故D错误. 故选：ABC. 三、解答题 3．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）记的内角的对边分别为，已知，且． (1)求； (2)若，记的角平分线与BC交于点D，求AD． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合已知化简可得，然后根据特殊角的正切值求出角即可； （2）利用余弦定理及求得，，利用等面积法，结合三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）因为，由正弦定理可得：，又， 所以，所以， 又因为，所以． （2）由余弦定理可得，即， 又，则，解得：，或（舍去），所以， 根据面积关系可得， 即， 即， 又，所以． 4．（24-25高三下·云南德宏·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． (1)求cosA； (2)若点D在线段BC上，AD为的角平分线，且，求的周长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理化简等式，根据三角函数的二倍角公式，可得答案； （2）根据图形组合建立面积的等式，利用余弦定理，建立方程组，可得答案. 【详解】（1）由，得，所以， 所以． （2） 由（1）知．由题意知，， 即，化简得． 在中，，，根据余弦定理有， 则， 解得，从而， 所以的周长为． 5．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知的内角的对边分别是，已知. (1)求角的大小； (2)若为上一点，且，为的角平分线，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换可得，进而可得； （2）由角平分线定理得，在中，由余弦定理可得，进而根据可得. 【详解】（1）由得， 故，故即， 因，故 （2） 由角平分线定理得：，则， 在中，由余弦定理得：，得， 由得：， 得. 6．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用正弦定理转化整理为，再利用余弦定理求解； （2）根据，利用两角和的余弦得到，进而得到，结合外接圆半径为2可求出三角形的边长，在中利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）因为， 所以, 即,即, 因为，所以. （2）. 所以，从而， 所以， 因为外接圆半径为，所以外接圆直径为， 由正弦定理得， 所以 因为的角平分线为，所以，所以 在中，由正弦定理得，即，解得 【题型六：解三角形中基本不等式求最值问题】 1．（2025·河北保定·一模）记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，求得，结合余弦定理、向量运算、基本不等式等知识来求得正确答案. 【详解】由，得， 所以， 即， 则由正弦定理得， 因为，所以，所以，即， 又，所以，因为， 所以由余弦定理得，即. 由题可得， 所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，则， 所以边上的中线长度的最小值为. 故选：C. 2．（24-25高三上·广东湛江·期末）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式可得，再由余弦定理结合基本不等式即可得的最小值. 【详解】因为， 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以， 所以. 因为，所以，则． 由余弦定理，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：B. 3．（24-25高三下·广东·开学考试）设的内角的对边分别为，且，为的平分线且与BC交于点D，，则面积的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知条件化简可求得的值，再利用三角形面积的关系列出关于的等式，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】， ，即， ，，， 为的平分线且与BC交于点，， ，即， 又，解得，当且仅当时等号成立， 的面积， 的面积的最小值为. 故选：B. 4．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）已知，，其中的内角的对边分别是，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】先利用正弦定理进行边角互化，再由余弦定理求出角，再把变形然后平方，转化成边的关系，再利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】因为， 所以由正弦定理可得，即， 由余弦定理可知，因为，所以. 因为，所以， 将上式两边平方可得， 即 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以线段长度的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题有两个关键点： 关键一：把变形为然后再平方，转化成边的关系； 关键二： 把转化成. 二、填空题 【好题精做】5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知中内角满足，若在边上各取一点，满足，，则角 ，三角形的面积的最大值是 . 【答案】 【分析】利用正弦定理角化边，结合余弦定理，利用基本不等式结合三角函数的值域得到，在中，由余弦定理求得，从而，设，在和中利用正弦定理求得，利用辅助角公式求得最大值，从而得到三角形的面积的最大值. 【详解】由，得，又因为，代入上式中，，整理可得，故，当时，等号成立，由于，所以，因为，所以，又此时，故为等边三角形，故角；如图，在中，由余弦定理得，所以，所以，从而，设，则，，，在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，，其中，所以的最大值为，当时取得最大值，所以. 故答案为：；. 6．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）中，，，分别为角，，的对边，若，则的最小值为 ，的最大值为 . 【答案】 【分析】利用正弦定理以及三角函数恒等变换整理题目中的等式，可得边长的等量关系，根据余弦定理以及基本不等式，可得的最小值；利用正弦定理整理，建立方程，根据一元二次方程有解，可得答案. 【详解】，， ，， ，，， ， 当且仅当，等号成立； 设， 则，， 当时，解得，符合题意； 当时，可得，； 综上可得：. 故答案为：；. 7．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）在中，若，且，则面积的最大值为 . 【答案】 【分析】先由正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出，然后由余弦定理结合基本不等式得范围，最后由面积公式求最值即可. 【详解】根据题意，， 由正弦定理角化边为：， 再由余弦定理得：， 因为，所以，又， 由余弦定理，即， 因为，所以，即， 当且仅当时等号成立， 故的面积， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 三、解答题 8．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，向量，，且． (1)求； (2)如图，的平分线交于，，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据，由两个向量平行的条件得到，然后利用正弦定理化简，可得，由此算出角的大小； （2）根据三角形面积公式算出，然后根据余弦定理推出，结合不等式的性质证出. 【详解】（1）由可知， 根据正弦定理化简得，因为， 整理得，即，所以， 因为为三角形内角，可知， 所以，可得． （2）因为AD平分，可得，由， 可得， 即，又， 得，即，整理得． 由三角形内角平分线定理，得，所以，， 可得． 在中，由余弦定理得， 所以，当且仅当时取等号，此时． 故的最大值为． 9．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合余弦定理即可求解； （2）由已知结合余弦定理可得，然后利用基本不等式即可求解的最小值，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）因为，所以， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以周长的最小值为. 10．（24-25高三下·广东清远·开学考试）中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且. (1)求角A； (2)点D在BC边上，且，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由余弦定理结合条件求解即可； （2）在和中，分别用余弦定理，整理可得，再结合余弦定理消元可得，，利用基本不等式求解即可; 【详解】（1）中， 由余弦定理，，又， 故又 （2）如图，由题， 记，则， 中，…..① 中，……② 由①得：……③， 由（1）知，代入③中整理得： ，当且仅当时取“=”， 解得， ， 故面积的最大值为. 【题型七：解三角形中三角函数值域求范围问题】 一、单选题 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示为某学校的轮廓图，，其中为教学区，，墙长米，为校门区域，其中，若要美化校门区域，决定在墙与上装饰高档墙贴，若已知该高档墙贴仅与墙的长度有关，则（ ）时，美化墙体造价最低（其中） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在和中分别用正弦定理，可表示各边，结合三角函数求值域可得解. 【详解】设，则，，， 在中，由正弦定理， 得， 在中，由正弦定理， 得， ， 所以， 又，所以， 即当，即时，取最小值， 故选：A. 二、填空题 2．（2025高三·全国·专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，为锐角三角形，，则周长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理将边化为角，通过三角恒等变换将的周长用表示出来，再结合正切函数的性质求解即可. 【详解】由正弦定理， 得，， 则 ， 因为为锐角三角形，， 所以，解得，则， 又在上单调递增， 且， 故，则， 即周长的取值范围为． 故答案为：. 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由正弦定理得到，由三角恒等变换得到，结合角的范围，得到，并利用三角恒等变换化简得到，根据为锐角三角形，求出，从而得到的取值范围. 【详解】， 由正弦定理得， 又， 故， 即， 为锐角三角形，，故，所以， 故，， 又，故，故， 解得， ， 因为为锐角三角形，且， 解得，故， ，， 故. 故答案为：， 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 4．（24-25高三上·天津南开·期中）已知内角，，所对的边长分别为，，，，若为锐角三角形，且，求的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用余弦定理即可由已知条件得到，进而得到角A；先由为锐角三角形得到角B的范围，进而利用正弦定理即可得，再结合三角恒等变换公式以及角B的范围进行推算即可得解. 【详解】由，得， 由余弦定理得， 整理得，所以，又，则； 因为为锐角三角形，， 所以可得， 又，故由正弦定理得： ， 因为，所以，所以，则， 所以 ， 故的取值范围为. 故答案为： 【点睛】思路点睛： 通过余弦定理推导角的关系：利用余弦定理，推导出角的余弦值，这是得出角 A的基础. 利用正弦定理和三角形的锐角条件：通过正弦定理和三角形的锐角性质，确定角 B 的范围，这为进一步推导角的取值范围奠定了基础. 结合三角恒等式进行变换：利用三角恒等式和已知条件，最终得出角的取值范围. 三、解答题 5．（2025·安徽黄山·一模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边得，结合余弦定理求得答案； （2）由正弦定理可得，，则，结合为锐角三角形可得，求得答案. 【详解】（1）由正弦定理得：， ，即， ，又， . （2），， ，则，， ， 为锐角三角形，，则， ，则， 的取值范围为. 6．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得； （3）利用正弦定理将转化为关于的三角函数，结合三角形为锐角三角形求出的范围，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， ∴， ∵，则，∴，又，∴； （2）因为，， 由余弦定理，即， ∴，解得， ∴； （3）在中，由正弦定理， ∴， ∴ ， 又为锐角三角形，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴， 故周长的取值范围为 7．（24-25高三上·贵州黔南·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题． 问题：已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，______． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【分析】（1）选①：利用诱导公式和二倍角的余弦公式可得出关于的方程，解出的值，结合角的取值范围可得出角的值； 选②：利用正弦定理结合两角差的余弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； 选③：利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由正弦定理结合三角恒等变换化简得出，求出角的取值范围，可求得的取值范围，再利用三角形的面积公式可求得面积的取值范围. 【详解】（1）若选择①．由，得， 所以，所以，解得或． 又因为，故． 若选择②． 由正弦定理得． 又因为，所以，所以， 即，整理可得，解得． 又因为，故． 若选择③：． 由正弦定理得． 又因为，所以，所以，即． 可得， 又因为，所以，所以，故． （2）由（1）可知，且，由正弦定理及， 可得． 又因为在锐角三角形中，，所以， 故，所以． 所以面积，所以， 所以面积的取值范围是． 8．（2024·山东威海·一模）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值. 【答案】(1) (2)，最小值为 【分析】（1）根据正弦定理将分式化简，结合两角和的正弦公式可求得结果； （2）在中，根据正弦定理表示出，在中，根据正弦定理表示出，根据三角形面积公式得到的面积，即可求出结果. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得， 所以， 所以，即得， 因为，所以，所以， 因为，所以； （2）因为，由（1）知，所以， 在中，由正弦定理可得，所以， 在中，由正弦定理可得，所以， 所以， 因为，所以， 当时，取得最小值，此时，即， 所以当时，的面积取到最小值，最小值为. 9．（24-25高三上·吉林松原·阶段练习）在锐角中，的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合得到，由辅助角公式得到，求出； （2）在（1）的基础上，得到，，并得到，求出，得到的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 由得， ， 即， 又，所以， 所以，即， 又，所以，即； （2）由（1）知，故， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，即， 所以， 所以， 所以， 即的取值范围为. 10．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，. (1)求内角； (2)若为锐角三角形，以下这两个问题中任选一个，__________，并解答. ①，求周长的取值范围；②求的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）运用正弦定理进行边角互化，结合余弦定理计算即可；（2）运用正弦定理边化角，运用三角函数计算范围即可. 【详解】（1）在中由正弦定理及已知条件得：， 即，由余弦定理得：， 又，所以. （2）若选①，由于为锐角三角形，所以， 即，由正弦定理得， 则 , 因为，则，所以， 所以周长. 若选②，由于为锐角三角形，所以即， 所以， 因为，则,则，则. 即的取值范围为. 【题型八：“两次使用正弦定理”解题】 1．（21-22高一下·福建福州·期末）如图，在平面四边形ABCD中，，，，CD=4，AB=2，则AC= . 【答案】 【分析】在中，由正弦定理可得,在中，由正弦定理可，因为，可求出，再由余弦定理可求出的值. 【详解】在中，由正弦定理可得：， 所以①， 在中，由正弦定理可得：， 所以②， 又因为，所以由①②可得：， 解得：， 所以在中，由余弦定理得： ， 解得：. 故答案为: . 2．（22-23高一下·福建厦门·期末）已知的内解所对的边分别为，且，，，则 ；若内有一点，使得，，则 ． 【答案】 / 【分析】由余弦定理得到，进而求出，得到，求出，根据，得到，同理可得，设，用表达出其他各个角，利用正弦定理得到和，从而得到方程，求出，得到答案. 【详解】在中，由余弦定理得， 所以，所以， 又因，所以，所以，    因为，， 所以， ， 因，所以， 又，且，所以． 同理，所以， 设，在中，， 所以， 所以， 在中，， 所以， 由正弦定理得，即 所以， 得， 得， 得，所以，即． 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：找到，，然后找到和中有关系的量，分别在两个三角形中解三角形，通过相关量之间的联系，可得的相关等式. 二、解答题 3．（2024·福建泉州·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，点D是BC上靠近C的三等分点 (1)若的面积为，求AD的最小值； (2)若，求． 【答案】(1)2 (2)． 【分析】（1）先通过正弦定理将条件角化边后化简整理可得，再利用面积公式求得，进而利用余弦定理及基本不等式求最值； （2）设，则，利用正弦定理将代入角和边整理计算可得答案. 【详解】（1）由已知及正弦定理可得：（※）， ，所以， 代入（※）可得：，又因为， 所以， 由已知得：，所以， 故， 当且仅当时等号成立． 所以AD的最小值为2； （2）设，则． 在中，由正弦定理得：，即， 在中，由正弦定理得：，即， 将上面两式相比，得：， 即． 4．（2022·福建泉州·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若内一点满足：，，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，将中的边化为角，展开并利用两角和的正弦公式化简可得答案； （2）首先确定相关角的大小关系,设，然后分别在和中应用正弦定理，得到，化简整理求得最后结果. 【详解】（1）由正弦定理及， 得， 又，所以， 故， 即. 又因为，所以， 又，解得. （2）因为，， 所以， 设， 则 ， 即， 在中，由正弦定理，得； 在中，由正弦定理，得； 则， 所以， 解得. 【题型九：“两次使用余弦定理”解题】 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 2．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值. 【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得． 在中，． 在中． 因为， 所以， 整理得． 又因为，所以， 即或． 下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以． 以向量为基底，有． 所以， 即， 又因为，所以．③ 由余弦定理得， 所以④ 联立③④，得． 所以或． 下同解法1． [方法六]：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴， 长为单位长度建立直角坐标系， 如图所示，则． 由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动． 设，则．⑤ 由知，， 即．⑥ 联立⑤⑥解得或（舍去），， 代入⑥式得， 由余弦定理得． 【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 【正余弦综合运算好题】3．（2023·湖北襄阳·模拟预测）在中，，为的中点，. (1)若，求的长； (2)若，求的长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，即可得，在中利用余弦定理即可求得答案； （2）设，由正弦定理求得，结合，以及，可推出，再由，推出，联立解方程可得答案. 【详解】（1）在中，， 则 ， 在中， ， 所以. （2）设， 在和中，由正弦定理得，， 又，得， 即 在中，， 由，有， 所以，整理得：，① 又由， 整理得：，② 联立①②得，，即.， 解得或， 又，即，故， 所以. 【题型十：四边形为背景的解三角形题型“往往结合三角形两角和差公式”】 1．（24-25高三上·福建泉州·期末）在平面四边形中，，，，，则 ；若点是的中点，则当取得最大值时，四边形的面积为 . 【答案】 10 52 【分析】利用余弦定理建立方程求出；取中点，借助线段和差关系求出取最大值的条件，再利用三角形面积公式计算得解. 【详解】在中，由余弦定理得， 即，整理得，而，解得， 取中点，连接，由点是的中点，得，， 在中，，， ，则，，当且仅当共线时取等号， 因此当取得最大值时，，，， 所以四边形的面积. 故答案为：10；52 【点睛】关键点点睛：取中点，由求出取最大值的条件是求解问题的关键. 二、解答题 2．（2025·福建泉州·一模）四边形中，． (1)求； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一，根据余弦定理求边和，再根据正弦定理求；方法二：中，利用正弦定理，求，再根据两角和的正弦公式，即可求解； （2）方法一：根据平行线的性质，以及余弦定理求，再分别求和的面积，即可求解；方法二：同样先求，再求梯形的高，即可求解. 【详解】（1） 解法一：在中，， 由， 即，整理得， 得或（舍） 又， 由，即 解得． 解法二：在，由， 得， 故， （2）方法一：因为，所以， 在中，由余弦定理，得， 故， 在中，由， 即，整理得， 解得（舍去）或， 在中， 由可得，， 故四边形的面积为． 方法二：因为，所以， 由（1）可得， 在中，由， 即，整理得， 解得（舍去）或， 在中，边上的高为， 故四边形的面积为． 3．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，．    (1)若，，求的值； (2)若，，求四边形ABCD的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）中求出，在中，由正弦定理求出的值； （2）和中，由余弦定理求出和，得和，进而可求四边形ABCD的面积． 【详解】（1）在中，，，则， ， 在中，由正弦定理得， . （2）在和中，由余弦定理得 ， ， 得，又，得， 则，， 四边形ABCD的面积 . 4．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4. (1)若，，求的面积； (2)若，求的最大值. 【答案】(1)4； (2). 【分析】（1）在三角形中，根据正弦定理求得，再在三角形中，利用三角形面积公式即可求得结果； （2）设，在三角形中分别用正弦定理表示，从而建立关于的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果. 【详解】（1）因为，的外接圆半径为4，所以，解得. 在中，，则，解得. 又，所以； 在中，，，， 所以. （2）设，. 又，所以. 因为，所以. 在中，，由正弦定理得， 即，解得 . 在中，，由正弦定理得， 即，解得， 所以. 又，所以， 当且仅当，即时，取得最大值1， 所以的最大值为. 5．（2023·福建厦门·模拟预测）在平面四边形中，，，. (1)若，，求的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中借助余弦定理、正弦定理及诱导公式即可解决； （2）以为变量，分别借助余弦定理、正弦定理及诱导公式,转化为三角函数最值问题即可解决. 【详解】（1）因为，，， 在中，由余弦定理得， 所以， 由得. 由正弦定理得, 所以, 所以, 所以 . （2）在中，由得    ①， 又    ②， 且， 所以, 在中 ， 将 ① ， ②代入上式得 . 且， 所以，当时，有最小值3. 所以取最小值. 综上，的最小值为. 6．（2023·福建漳州·模拟预测）在平面四边形中，，，，. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由正弦定理可得，从而求得. （2）解法一：由（1）求得， ，从而，再利用，即可求得面积的取值范围；解法二：作于，作于，交于，求得，，，分别求出，，利用即可求得范围. 【详解】（1）在中， 由正弦定理可得， 所以， 又， 所以. （2）解法一：由（1）可知， ， 因为为锐角， 所以， 所以 ， 在中，由正弦定理得， 所以 ， ， 因为， 且为锐角三角形， 所以， 所以， 所以 ， 所以， 所以， 即， 所以的面积的取值范围为.    解法二：由（1）可知， ， 因为为锐角，所以，， 如图，作于，作于，交于，    所以， ， 所以， 又， 所以. 由图可知， 仅当在线段上（不含端点）时，为锐角三角形， 所以，即. 所以面积的取值范围为. 7．（2023·福建泉州·模拟预测）凸四边形中，，，，． (1)当，且时，证明：； (2)求四边形的面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）在中，利用余弦定理和同角三角函数的基本关系得到，然后在中利用正弦定理和同角三角函数的基本关系得到，进而得证； （2）结合（1）的结论和三角形面积公式得到的面积，在中，利用余弦定理和基本不等式得到，再结合三角形面积公式得到面积的最大值，进而求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理得： .因为，， 所以， 则在中，由正弦定理得：， 所以. 又因为，所以∠CBD必为锐角，所以，所以∠ADB=∠CBD，所以. （2）由（1）知，所以. 在中，由余弦定理得：， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以当且仅当时，四边形的面积取最大值. 8．（2023·福建泉州·模拟预测）在平面四边形ABCD中，，，点B，D在直线AC的两侧，，． (1)求∠BAC； (2)求与的面积之和的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）在中，利用余弦定理求，结合勾股定理分析运算； （2）设，利用正弦定理和面积公式用表示面积，结合三角恒等变换分析运算. 【详解】（1）在中，由余弦定理， 即， 因为，所以. （2）设，则， 在中，由正弦定理， 可得， 因为的面积， 的面积， 可得与的面积之和 ， 因为，则， 可知当，即时，取到最大值1， 即与的面积之和的最大值为1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【解三角形专项训练】【期末模拟真题精选】 【题型一：正弦定理及其应用】 1．（24-25高三上·甘肃·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．6 D．12 2．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知中，，，有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·福建福州·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，，，下面使得有两组解的的值可以为（    ） A．3 B． C．2 D． 4．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）若外接圆的半径为，且，则（    ） A．2 B． C．3 D． 6．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知分别为三个内角的对边，下列四个命题中错误的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D． 二、多选题 7．（23-24高一下·福建福州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则 C．若，则是钝角三角形 D．若不是直角三角形，则 三、填空题 8．（24-25高三上·上海浦东新·期末）在中，，，，则 ． 9．（24-25高三上·江苏常州·期末）在中，点满足，，，则 ． 10．（24-25高三上·四川巴中·期末）设的内角的对边分别为，若，则 ． 【题型二：余弦定理及其应用】 1．（23-24高二上·云南大理·期末）如图，已知在圆的内接四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·浙江杭州·期末）锐角的内角所对的边分别为，角A的平分线交BC于点D，若，且，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽·期末）在中，内角所对的边分别为，且满足，则（    ） A． B． C． D．2 4．（24-25高三上·青海·期末）在中，，点在线段上，，则（   ） A．3 B． C． D．6 5．（2025高三·全国·专题练习）在中内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知中，角A，B，C满足：，则 ． 7．（2025·湖北·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则 8．（24-25高三上·四川成都·期中）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， ， c = 2 ，则 的值为 9．（2025·山东聊城·模拟预测）在中，点分别在边上，，且，则 . 三、解答题 10．（2025·湖北武汉·二模）如图，与存在对顶角，，，且． (1)证明：为中点； (2)若，求的长． 【题型三：面积周长的计算】 1．（24-25高一上·河北保定·期末）内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 . 2．（24-25高三下·江苏扬州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长为 . 3．（24-25高三上·江苏扬州·期末）在中，已知角所对的边分别，的面积，，，则的周长为 ． 二、解答题 4．（20-21高一下·广东深圳·期末）①，②，③ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答. 问题：已知的三边，，所对的角分别为，，，若，，______，求 (1)； (2)的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 5．（23-24高一下·陕西西安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，已知． (1)求角B的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 6．（24-25高二上·广东汕头·期末）已知在中，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若点D在AB边上，且，若，求的面积． 7．（24-25高三上·河南漯河·期末）在中，角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若是的一条内角平分线，，，求的周长． 8．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）记锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)在所在的平面内有一点D，使，，若，求的面积. 9．（24-25高三上·山西·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)延长到，使得，，求的面积. 10．（24-25高二上·江苏连云港·期末）在中，为边上一点，. (1)求； (2)求的面积. 【题型四：中线问题】 1．（24-25高三上·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 (1)求B； (2)若的面积为，，求中线BD的长． 2．（2024·新疆·模拟预测）在中，角的对边分别为，是的平分线，是边的中线，． (1)求； (2)求的长． 3．（24-25高二上·浙江杭州·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求边长和角； (2)若的面积为，求中线AD的长度. 4．（2024高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，已知，，的面积为，求边上的中线的长. 5．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）记的内角，，所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若是的中线，且，的面积为，求的周长． 6．（23-24高一下·江苏南京·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角A的大小. (2)若，求AC边上的中线BD的长. 【题型五：角平分线问题，三角形的内心】 1．（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 二、多选题 2．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）在中，为边上一动点，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．当为角的角平分线时， D．当为中点时， 三、解答题 3．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）记的内角的对边分别为，已知，且． (1)求； (2)若，记的角平分线与BC交于点D，求AD． 4．（24-25高三下·云南德宏·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． (1)求cosA； (2)若点D在线段BC上，AD为的角平分线，且，求的周长． 5．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知的内角的对边分别是，已知. (1)求角的大小； (2)若为上一点，且，为的角平分线，求线段的长. 6．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长. 【题型六：解三角形中基本不等式求最值问题】 1．（2025·河北保定·一模）记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东湛江·期末）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 3．（24-25高三下·广东·开学考试）设的内角的对边分别为，且，为的平分线且与BC交于点D，，则面积的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）已知，，其中的内角的对边分别是，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 二、填空题 【好题精做】5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知中内角满足，若在边上各取一点，满足，，则角 ，三角形的面积的最大值是 . 6．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）中，，，分别为角，，的对边，若，则的最小值为 ，的最大值为 . 7．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）在中，若，且，则面积的最大值为 . 三、解答题 8．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，向量，，且． (1)求； (2)如图，的平分线交于，，求的最大值． 9．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值． 10．（24-25高三下·广东清远·开学考试）中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且. (1)求角A； (2)点D在BC边上，且，，求面积的最大值. 【题型七：解三角形中三角函数值域求范围问题】 一、单选题 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示为某学校的轮廓图，，其中为教学区，，墙长米，为校门区域，其中，若要美化校门区域，决定在墙与上装饰高档墙贴，若已知该高档墙贴仅与墙的长度有关，则（ ）时，美化墙体造价最低（其中） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2025高三·全国·专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，为锐角三角形，，则周长的取值范围是 ． 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ，的取值范围为 ． 4．（24-25高三上·天津南开·期中）已知内角，，所对的边长分别为，，，，若为锐角三角形，且，求的取值范围为 ． 三、解答题 5．（2025·安徽黄山·一模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，求的取值范围． 6．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 7．（24-25高三上·贵州黔南·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题． 问题：已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，______． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 8．（2024·山东威海·一模）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值. 9．（24-25高三上·吉林松原·阶段练习）在锐角中，的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 10．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，. (1)求内角； (2)若为锐角三角形，以下这两个问题中任选一个，__________，并解答. ①，求周长的取值范围；②求的取值范围. 【题型八：“两次使用正弦定理”解题】 1．（21-22高一下·福建福州·期末）如图，在平面四边形ABCD中，，，，CD=4，AB=2，则AC= . 【好题精做】2．（22-23高一下·福建厦门·期末）已知的内解所对的边分别为，且，，，则 ；若内有一点，使得，，则 ． 二、解答题 3．（2024·福建泉州·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，点D是BC上靠近C的三等分点 (1)若的面积为，求AD的最小值； (2)若，求． 4．（2022·福建泉州·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若内一点满足：，，且，求. 【题型九：“两次使用余弦定理”解题】 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 2．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【正余弦综合运算好题】3．（2023·湖北襄阳·模拟预测）在中，，为的中点，. (1)若，求的长； (2)若，求的长. 【题型十：四边形为背景的解三角形题型“往往结合三角形两角和差公式”】 1．（24-25高三上·福建泉州·期末）在平面四边形中，，，，，则 ；若点是的中点，则当取得最大值时，四边形的面积为 . 二、解答题 2．（2025·福建泉州·一模）四边形中，． (1)求； (2)若，求四边形的面积． 3．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，．    (1)若，，求的值； (2)若，，求四边形ABCD的面积． 4．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4. (1)若，，求的面积； (2)若，求的最大值. 5．（2023·福建厦门·模拟预测）在平面四边形中，，，. (1)若，，求的值； (2)若，求的最小值. 6．（2023·福建漳州·模拟预测）在平面四边形中，，，，. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围. 7．（2023·福建泉州·模拟预测）凸四边形中，，，，． (1)当，且时，证明：； (2)求四边形的面积的最大值． 8．（2023·福建泉州·模拟预测）在平面四边形ABCD中，，，点B，D在直线AC的两侧，，． (1)求∠BAC； (2)求与的面积之和的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$