2025年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学(1)- 2025年高考数学考前模拟试卷

参 考 答 案 2025 年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学 （一） 一、 选择题 1. C 2. B 3. D 4. B 5. A 6. C 7. B 8. A 二、 选择题 9. ABD 10. AB 11. ABC 三、 填空题 12. 0.818 6 13. 3 14. 5 姨 四、 解答题 15. 解： （ 1 ） ∵｜m+n｜= 3 姨 ， ∴m 2 +n 2 +2m · n=3. 又 m= cos 3A 2 ， sin 3A 2 2 # ， n= cos A 2 ， sin A 2 2 2 ， ∴1+1+2 cos 3A 2 cos A 2 +sin 3A 2 sin A 2 2 2 =3 ， …… 4 分 ∴cos 3A 2 cos A 2 +sin 3A 2 sin A 2 = 1 2 ， 即 cos 3A 2 - A 2 2 2 = 1 2 ， ∴cosA= 1 2 . ∵0°<A<180° ， ∴A=60°. …… 6 分 （ 2 ） ∵cosA= 1 2 ， ∴ 由余弦定理得 b 2 +c 2 -a 2 2bc = 1 2 ， ① …… 7 分 又 b+c= 3 姨 a ， ② 联立 ①② 得 bc=b 2 +c 2 - b+c 3 姨 2 2 2 ， …… 9 分 即 2b 2 -5bc+2c 2 =0 ， 解得 b=2c 或 c=2b. …… 11 分 ① 若 b=2c ， ∵b+c= 3 姨 a ， 则 a= 3 姨 c ， ∴a 2 +c 2 = （ 3 姨 c ） 2 +c 2 =4c 2 =b 2 ， 此时 △ABC 是以角 B 为直角的直角三角形 . ② 若 c=2b ， ∵b+c= 3 姨 a ， 则 a= 3 姨 b ， ∴a 2 +b 2 = （ 3 姨 b ） 2 +b 2 =4b 2 =c 2 ， 此时 △ABC 是以角 C 为直角的直角三角形 . …… 13 分 16. （ 1 ） 证明： ∵PC⊥ 平面 ABCD ， AC奂 平面 ABCD ， ∴AC⊥PC. …… 2 分 ∵AD=2 ， AB=CB=1 ， AB⊥AD ， AD∥CB ， ∴AC=DC= 2 姨 . ∴AC 2 +CD 2 =AD 2 ， ∴AC⊥CD. …… 5 分 又 CD∩PC=C ， ∴AC⊥ 平面 PDC. ∵AC奂 平面 EAC ， ∴ 平面 EAC⊥ 平面 PDC. …… 7 分 （ 2 ） 解： ［解法一］ 由 （ 1 ） 知， AC⊥CD ， ∵PC⊥ 平面 ABCD ， CD奂 平面 ABCD ， ∴PC⊥CD ， 又 AC∩PC=C ， ∴CD⊥ 平面 PAC. 又 MN∥CD ， ∴MN⊥ 平面 PAC ， 又 MN奂 平面 AMN ， ∴ 平面 AMN⊥ 平面 PAC. …… 9 分 易知平面 AMN∩ 平面 PAC=AM ， 过点 P 作 PH⊥AM 于点 H ， 则 PH⊥ 平面 AMN ， 连接 EH ， 则 ∠PEH 为直线 PD 与平面 AMN 所成的角 . …… 11 分 在 Rt△PCD 中， PC= PA 2 -AC 2 姨 =2 ， CD= 2 姨 ， ∴PD= 2+4 姨 = 6 姨 ， 则 PE= 1 2 PD= 6 姨 2 . …… 12 分 设 PC∩AM=F ， 易知 F 为 PC 的中点， PF=1 ， 连接 PM ， 则 PM=AC= 2 姨 ， PM⊥PC ， ∴FM= 1+ （ 2 姨 ） 2 姨 = 3 姨 ， 在 Rt△PMF 中， 1 2 ×1× 2 姨 = 1 2 × 3 姨 ×PH ， 得 PH= 6 姨 3 ， …… 13 分 ∴sin∠PEH= PH PE = 6 姨 3 6 姨 2 = 2 3 ， 故直线 PD 与平面 AMN 所成角的正弦值为 2 3 . …… 15 分 ［解法二］ 由 （ 1 ） 知， AC⊥PC ， AC= 2 姨 ， 又 PA= 6 姨 ， ∴PC= 6-2 姨 =2. 连接 PM ， 则 PM=AC= 2 姨 ， PM⊥PC. …… 8 分 ∵AC⊥CD ， PC⊥ 平面 ABCD ， 故以 C 为坐标原点， C C- D ， C C- A ， C C- P 的 方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 （如 图）， …… 9 分 则 C （ 0 ， 0 ， 0 ）， A （ 0 ， 2 姨 ， 0 ）， D （ 2 姨 ， 0 ， 0 ）， P （ 0 ， 0 ， 2 ）， M （ 0 ， - 2 姨 ， 2 ）， …… 10 分 ∴A C- M = （ 0 ， -2 2 姨 ， 2 ）， M C- N =C C- D = （ 2 姨 ， 0 ， 0 ）， P C- D = （ 2 姨 ， 0 ， -2 ） . …… 11 分 设平面 AMN 的法向量为 n= （ x ， y ， z ）， 参考答案第 1 页 （共 28 页） 参考答案第 2 页 （共 28 页） A B C D E M N Q P y z x 第 16 题答图 37 则 n ·A !" M =0 ， n ·M !" N =0 0 % % % $ % % % % & ， 即 -2 2 姨 y+2z=0 ， 2 姨 x=0 0 % % % 0 % % % & ， 则 x=0. 取 y=1 ， 则 z= 2 姨 ， ∴n= （ 0 ， 1 ， 2 姨 ） . …… 13 分 设直线 PD 与平面 AMN 所成的角为 θ ， 则 sinθ=｜cos 〈P !" D ， n 〉 ｜= ｜n ·P !" D ｜ ｜n｜ · ｜P !" D ｜ = 2 3 ， 故直线 PD 与平面 AMN 所成角的正弦值为 2 3 . …… 15 分 17. （ 1 ） 解： 将 y= 2 姨 2 b 代入 C 的方程， 可解得 x=± 2 姨 2 a ， 则 ｜AB｜= 2 姨 a ， …… 1 分 ∴S △ABF 1 = 1 2 × 2 姨 a× 2 姨 2 b= ab 2 =2 ， ∴ab=4. ① …… 2 分 设 C 的右焦点为 F 2 ， 连接 AF 2 ， 由椭圆的对称性可知 ｜BF 1 ｜=｜AF 2 ｜ ， ∴△ABF 1 的周长为 ｜AB｜+｜AF 1 ｜+｜BF 1 ｜=｜AB｜+｜AF 1 ｜+｜AF 2 ｜= （ 2+ 2 姨 ） a ， ∴ （ 2+ 2 姨 ） a=4+4 2 姨 ， ② …… 3 分 由 ①② 解得 a=2 2 姨 ， b= 2 姨 ， …… 4 分 ∴C 的标准方程为 x 2 8 + y 2 2 =1. …… 5 分 （ 2 ） 证明： 设 D （ x 1 ， y 1 ）， E （ x 2 ， y 2 ）， 直线 l 的方程为 y= 1 2 x+m ， m≠0 ， …… 6 分 联立直线 l 与椭圆 C 的方程， 并消去 y 得 x 2 +2mx+2m 2 -4=0 ， …… 7 分 Δ=4m 2 -4 （ 2m 2 -4 ） >0 ， 得 -2<m<2 且 m≠0 ， 则 x 1 +x 2 =-2m ， …… 8 分 k PD = y 1 -1 x 1 -2 = 1 2 x 1 +m-1 x 1 -2 = 1 2 + m x 1 -2 ， k QE = y 2 +1 x 2 +2 = 1 2 x 2 +m+1 x 2 +2 = 1 2 + m x 2 +2 ， …… 10 分 ∴ 直线 PD 的方程为 y-1= 1 2 + m x 1 -2 2 , （ x-2 ）， 即 y= 1 2 + m x 1 -2 2 , x- 2m x 1 -2 ， …… 11 分 直线 QE 的方程为 y+1= 1 2 + m x 2 +2 2 , （ x+2 ）， 即 y= 1 2 + m x 2 +2 2 , x+ 2m x 2 +2 ， …… 12 分 联立直线 PD 与直线 QE 的方程， 得 m x 1 -2 - m x 2 +2 2 , x= 2m x 1 -2 + 2m x 2 +2 ， 得 x M = 2 （ x 1 +x 2 ） x 1 -x 2 -4 ， y M = 1 2 + m x 1 -2 2 , x M - 2m x 1 -2 ， …… 13 分 ∴ y M x M = 1 2 + m x 1 -2 2 , + 2m x 1 -2 · x 1 -x 2 -4 2 （ x 1 +x 2 ） = 1 2 +m · （ x 1 +x 2 ） + （ x 1 -x 2 -4 ） （ x 1 -2 ）（ x 1 +x 2 ） = 1 2 +m · 2x 1 -4 （ x 1 -2 ）（ x 1 +x 2 ） = 1 2 + 2m x 1 +x 2 =- 1 2 . ∴y M =- 1 2 x M ， 即点 M 在定直线 x+2y=0 上 . …… 15 分 18. 解： （ 1 ） 由题意知， 居民用电户月用电 410 kW · h 时应交电费为 210×0.5+ （ 400-210 ） ×0.6+ （ 410-400 ） ×0.8=227 （元） . …… 3 分 （ 2 ） 设取到第二阶梯电量的用户数为 ξ ， 可知第二阶梯电量的用户有 3 户， 则 ξ 可取 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， P （ ξ=0 ） = C 3 7 C 3 10 = 7 24 ， P （ ξ=1 ） = C 2 7 C 1 3 C 3 10 = 21 40 ， P （ ξ=2 ） = C 1 7 C 2 3 C 3 10 = 7 40 ， P （ ξ=3 ） = C 3 3 C 3 10 = 1 120 . 故 ξ 的分布列是 ∴E （ ξ ） =0× 7 24 +1× 21 40 +2× 7 40 +3× 1 120 = 9 10 . …… 7 分 （ 3 ） 由题意可知， 从全市中抽取 10 户， 设其中月用电量为第一阶梯的户数为 X ， 则 X~B 10 ， 3 5 2 , ， …… 9 分 P （ X=k ） =C k 10 3 5 2 , k 2 5 2 , 10-k （ k=0 ， 1 ， 2 ， 3 ， …， 10 ）， …… 10 分 C k 10 3 5 2 , k 2 5 2 , 10-k ≥C k+1 10 3 5 2 , k+1 2 5 2 , 9-k ， C k 10 3 5 2 , k 2 5 2 , 10-k ≥C k-1 10 3 5 2 , k-1 2 5 2 , 11-k k % % % % % $ % % % % % & ， …… 14 分 解得 28 5 ≤k≤ 33 5 ， k∈N * ， …… 16 分 ∴ 当 k=6 时， 概率最大， ∴k=6. …… 17 分 19. （ 1 ） 解： 对 f （ x ） 求导得 f ′ （ x ） =x-2a+ 1 x （ x>0 ） . ∵ 函数 f （ x ） 是 （ 0 ， +∞ ） 上的增函数， ∴f ′ （ x ） =x+ 1 x -2a≥2 x · 1 x 姨 -2a=2-2a≥0 ， 当且仅当 x= 1 x （ x>0 ）， 即 x=1 时， 等号成立， ∴a≤1. （函数 f （ x ）是 （ 0 ， +∞ ） 上的增函数转化为 f ′ （ x ） ≥0 在 （ 0 ， +∞ ） 上恒成立） ∴ 实数 a 的取值范围是 （ -∞ ， 1 ］ . …… 3 分 （ 2 ） 证明： （ ⅰ ） 由题知 g （ x ） =x （ lnx+2-2ax ）， ∴lnx+2-2ax=0 的两个根为 x 1 ， x 2 . 不妨设 x 2 >x 1 >0 ， ∴ lnx 1 +2=2ax 1 ， lnx 2 +2=2ax 2 2 ， …… 5 分 ∴2a （ x 2 -x 1 ） =lnx 2 -lnx 1 ， ∴a= lnx 2 -lnx 1 2 （ x 2 -x 1 ） . …… 6 分 要证 x 1 +x 2 > 1 a ， 只需证 x 1 +x 2 > 2 （ x 2 -x 1 ） lnx 2 -lnx 1 圳lnx 2 -lnx 1 > 2 （ x 2 -x 1 ） x 1 +x 2 圳ln x 2 x 1 > 2 x 2 x 1 - 2 , 1 x 2 x 1 +1 . …… 8 分 参考答案第 3 页 （共 28 页） 参考答案第 4 页 （共 28 页） ξ 0 1 2 3 P 7 24 21 40 7 40 1 120 38 （令 t= x 2 x 1 >1 ， 下面证明 F （ t ） =lnt- 2 （ t-1 ） t+1 >0 在 （ 1 ， +∞ ） 上恒成立） 令 t= x 2 x 1 >1 ， F （ t ） =lnt- 2 （ t-1 ） t+1 ， 则 F′ （ t ） = （ t-1 ） 2 t （ t+1 ） 2 >0 在 （ 1 ， +∞ ） 上恒成立， ∴F （ t ）在 （ 1 ， +∞ ） 上为增函数 . 当 t→1 时， F （ t ） →0 ， ∴F （ t ） >0 ， ∴x 1 +x 2 > 1 a . …… 10 分 （ ⅱ ） ∵x 2 -3x 1 ≥0 ， ∴t= x 2 x 1 ≥3 ， 由 （ ⅰ ） 知 lnx 1 +2=2ax 1 ， lnx 2 +2=2ax 2 2 ， ∴lnx 2 +lnx 1 +4=2a （ x 2 +x 1 ）， …… 12 分 ∴lnx 2 +lnx 1 +4= lnx 2 -lnx 1 x 2 -x 1 （ x 1 +x 2 ）， ∴ln （ x 1 x 2 ） +4= x 2 x 1 +1 x 2 x 1 -1 ln x 2 x 1 . …… 14 分 （令 G （ t ） = t+1 t-1 lnt （ t≥3 ）， 利用导数求 G （ t ）的最小值） 令 G （ t ） = t+1 t-1 lnt （ t≥3 ）， ∴G′ （ t ） = t- 1 t -2lnt （ t-1 ） 2 （ t≥3 ）， 令 h （ t ） =t- 1 t -2lnt （ t≥1 ）， ∴h′ （ t ） = （ t-1 ） 2 t 2 ≥0 且不恒为 0 ， ∴h （ t ）在 ［ 1 ， +∞ ） 上为增函数， h （ t ） ≥h （ 1 ） =0. …… 15 分 当 t≥3 时， h （ t ） ≥h （ 3 ） >h （ 1 ） =0 ， ∴G′ （ t ） = t- 1 t -2lnt （ t-1 ） 2 >0 ， ∴G （ t ）在 ［ 3 ， +∞ ） 上为增函数， ∴G （ t ） ≥G （ 3 ） =2ln3=ln9. ∴ln （ x 1 x 2 ） +4≥ln9 ， ∴ln （ x 1 x 2 ） ≥ln 9 e 4 ， ∴x 1 x 2 ≥ 9 e 4 . ∴x 1 +x 2 >2 x 1 x 2 姨 ≥2 9 e 4 姨 = 6 e 2 ， ∴x 1 +x 2 > 6 e 2 . …… 17 分 2025 年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学 （二） 一、 选择题 1. C 2. B 3. A 4. B 5. A 6. D 7. D 8. B 二、 选择题 9. BCD 10. BD 11. ABD 三、 填空题 12. y 2 =x 13. 1 2 14. 25 3 姨 8 625π 12 四、 解答题 15. 解： （ 1 ） ∵ 第三、 第四、 第五组的频率之和为 0.7 ， ∴ （ 0.045+0.020+a ） ×10=0.7 ， 解得 a=0.005 ， …… 2 分 ∴ 前两组的频率之和为 1-0.7=0.3 ， 即 （ a+b ） ×10=0.3 ， ∴b=0.025. …… 4 分 第四、 第五两组分别有 20 人的成绩、 5 人的成绩， 采用分层抽样的方法从中抽取 10 人的成绩， 则第四组抽 8 人的成绩， 第五组抽 2 人的成绩， 则从这 10 人中选出 2 人共 C 2 10 =45 种结果， 解法一： 2 人的成绩都来自第四组有 C 2 8 =28 种结果， ∴ 选出的 2 人的成绩中至少有 1 人的成绩来自第五组的概率 P=1- C 2 8 C 2 10 = 17 45 . …… 6 分 解法二： 选出的 2 人的成绩中至少有 1 人的成绩来自第五组的概率 P= C 1 8 C 1 2 +C 2 2 C 2 10 = 17 45 . （ 2 ） 随机变量 X 的取值范围是 {0 ， 1 ， 2} ， …… 7 分 P （ X=0 ） = C 0 8 C 2 2 C 2 10 = 1 45 ， …… 8 分 P （ X=1 ） = C 1 8 C 1 2 C 2 10 = 16 45 ， …… 9 分 P （ X=2 ） = C 2 8 C 0 2 C 2 10 = 28 45 . …… 10 分 X 的分布列为 …… 11 分 E （ X ） =0× 1 45 +1× 16 45 +2× 28 45 = 8 5 . …… 13 分 16. （ 1 ） 证明： 如图 1 ， 连接 AC ， AC∩BD=M ， 则 M 为 AC 的中点， 由 E 为 PA 的中点知 PC∥EM ， …… 3 分 又 ∵EM奂 平面 BDE ， PC埭 平面 BDE ， ∴PC∥ 平面 BDE. …… 5 分 （ 2 ） 解： 如图 2 ， 取 CD 的中点 O ， 连接 PO ， 由 △PCD 是边长为 2 的正三角形， 知 PO⊥CD ， 又 ∵ 平面 PCD⊥ 平面 ABCD ， ∴PO⊥ 平面 ABCD ， 且 PO= 3 姨 ， …… 7 分 连接 OA ， 取 OA 的中点 H ， 连接 EH ， 则 EH∥PO ， EH⊥ 平面 ABCD ， 且 EH= 1 2 PO= 3 姨 2 . 由 （ 1 ） 知 PC∥ 平面 BDE ， 则 V F鄄BDE =V C鄄BDE ， V C鄄BDE =V E鄄BDC = 1 3 S △BDC · EH= 1 3 × 1 2 ×2×2×sin60°× 3 姨 2 = 1 2 ， 参考答案第 5 页 （共 28 页） 参考答案第 6 页 （共 28 页） X 0 1 2 P 1 45 16 45 28 45 A B D C P E M 图 1 图 2 A B D C P E O H F 39 线 封 弥 学 校 班 级 姓 名 考 号 考 试 科 目 弥 封 线 内 不 准 答 题 2025年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷 数学 （一） （满分 150 分， 考试时间 120 分钟） 一、 选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有一个选 项是正确的 . 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 . 1. 下列选项中的两个集合相等的是 （ ） A. P={x|x=2n ， n∈Z} ， Q={x|x=2n+1 ， n∈Z} B. P={x|x=2n-1 ， n∈N * } ， Q={x|x=2n+1 ， n∈N * } C. P={x|x 2 -x=0} ， Q= x|x= 1+ （ -1 ） n 2 ， n∈ ∈ # Z D. P={y|y=x+1} ， Q={ （ x ， y ） |y=x+1} 2. 已知复数 z= 8+i 1+2i ， 其中 i 是虚数单位， 则下列结论正确的是 （ ） A. z 的模等于 13 B. z 在复平面内对应的点位于第四象限 C. z 的共轭复数为 -2-3i D. 若 z （ m+4i ） 是纯虚数， 则 m=6 3. 在手绘涂色本的某页上画有排成一列的 6 条未涂色的鱼， 小明用红、 蓝两种颜色给这些鱼涂 色， 每条鱼只能涂一种颜色， 两条相邻的鱼不都涂成红色， 涂色后， 既有红色鱼又有蓝色鱼 的涂色方法种数为 （ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 4． 如图所示， 在 △ABC 中， 点 O 是 BC 的中点， 过点 O 的直线分别交直线 AB ， AC 于不同的两点 M ， N ， 若 A A& B =mA A& M ， A A& C =nA A& N ， 则 m+n 的值为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5． 已知圆 C ： x 2 +y 2 +2x-4y+1=0 ， 若圆 C 上存在弦 AB ， 满足 |AB|=2 3 姨 ， 且 AB 的中点 M 在直线 2x+y+k=0 上， 则实数 k 的取值范围是 （ ） A. ［ - 5 姨 ， 5 姨 ］ B. ［ - 15 姨 ， 15 姨 ］ C. ［ -2 5 姨 ， 2 5 姨 ］ D. ［ -5 ， 5 ］ 6． Logistic 模型是常用数学模型之一， 可应用于流行病学领域 . 有学者根据公布数据建立了某地 区冬季流感累计病例数 I （ t ） （ t 的单位： 天） 的 Logistic 模型： I （ t ） = K 1+e -0.23 （ t-53 ） ， 其中 K 为最 大确诊病例数 . 当 I （ t * ） =0.95K 时， 标志着已初步控制流感， 则 t * 约为 （ ln19≈3 ） （ ） A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 数学 （一） 第 1 页 （共 7 页） 数学 （一） 第 2 页 （共 7 页） 7． 将边长为 1 的正方形 ABCD 沿 BD 翻折， 使得二面角 A鄄BD鄄C 的平面角的大小为 π 3 ， 若点 E ， F 分别是线段 AC 和 BD 上的动点， 则 B A& E · C A& F 的取值范围为 （ ） A. ［ -1 ， 0 ］ B. -1 ， 1 4 4 * C. - 1 2 ， ， , 0 D. - 1 2 ， 1 4 4 , 8． 已知函数 f （ x ） =ln|x|-a|x|+ 3 2 有 4 个零点， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A. （ 0 ， e 1 2 ） B. （ 0 ， e 2 ） C. （ -∞ ， e 2 ） D. （ -e 1 2 ， +∞ ） 二、 选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分 . 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目 要求 . 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分 . 9． 下列命题中是真命题的是 （ ） A. “ x>1 ” 是 “ x 2 >1 ” 的充分不必要条件 B. 命题 “ 坌x≥0 ， 都有 sinx≤1 ” 的否定是 “ 埚x 0 >0 ， 使得 sinx 0 >1 ” C. 数据 x 1 ， x 2 ， …， x 8 的平均数为 6 ， 则数据 2x 1 -5 ， 2x 2 -5 ， …， 2x 8 -5 的平均数是 6 D. 当 a=-3 时， 方程组 3x-2y+1=0 ， a 2 x-6y= ∈ a 有无穷多解 10． 已知数列 {a n } 的通项公式为 a n = 4 9 9 2 n-1 - 2 3 9 2 n-1 ， 则数列 {a n } 中 （ ） A. a 1 是最大项 B. a 3 是最小项 C. 有最小项， 没有最大项 D. 既没有最大项也没有最小项 11． 已知函数 f （ x ） =- 1 3 x 3 +ax 2 +bx+c 有两个不同的极值点 x 1 ， x 2 ， 若 x 1 <f （ x 1 ） <x 2 ， 则关于 x 的方程 ［ f （ x ）］ 2 -2af （ x ） -b=0 的实根个数可能是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 三、 填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分 . 12． 山东烟台苹果因 “果形端正、 色泽艳丽、 果肉甜脆、 香气浓郁” 享誉国内外 . 据统计， 烟台 苹果 （把苹果近似看成球体） 的直径 X （单位： mm ） 服从正态分布 N （ 80 ， 5 2 ）， 则估计苹 果直径在 （ 75 ， 90 ］ 内的概率为 . 附： 若 X~N （ μ ， 滓 2 ）， 则 P （ μ-滓<X≤μ+滓 ） ≈0.682 7 ， P （ μ-2滓<X≤μ+2滓 ） ≈0.954 5. 13． 已知 F 1 ， F 2 是椭圆 C ： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） 的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点， 且 PF 1 A& ⊥PF 2 A& ， 若 △PF 1 F 2 的面积为 9 ， 则 b= . 14． 已知函数 f （ x ） =sin 棕x+ π 4 9 2 （ 0<棕≤3 ） 图象的一条对称轴为直线 x= π 8 ， f ′ （ x ）为函数 f （ x ）的 导函数， 则函数 g （ x ） =f （ x ） +f ′ （ x ） 的最大值为 . 第 4 题图 M A B C O N 1 弥 封 线 弥 封 线 内 不 准 答 题 四、 解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分 . 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . 15． （ 13 分） 记 △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 已知向量 m= cos 3A 2 ， sin 3A 2 2 # ， n= cos A 2 ， sin A 2 2 2 ， 且满足 |m+n|= 3 姨 . （ 1 ） 求角 A 的大小 . （ 2 ） 若 b+c= 3 姨 a ， 试判断 △ABC 的形状 . 16． （ 15 分） 如图， 在四棱柱 ABCD鄄PQMN 中， PC⊥ 平面 ABCD ， 四边形 ABCD 是直角梯形， AB⊥AD ， AD∥CB ， AD=2AB=2CB=2 ， PA= 6 姨 ， PD 和 AN 交于点 E. （ 1 ） 求证： 平面 EAC⊥ 平面 PDC. （ 2 ） 求直线 PD 与平面 AMN 所成角的正弦值 . 数学 （一） 第 3 页 （共 7 页） 数学 （一） 第 4 页 （共 7 页） 第 16 题图 A B C D E M N Q P 2 线 封 弥 学 校 班 级 姓 名 考 号 考 试 科 目 弥 封 线 内 不 准 答 题 17． （ 15 分） 已知 F 1 为椭圆 C ： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） 的左焦点， 直线 y= 2 姨 2 b 与 C 交于 A ， B 两 点， 且 △ABF 1 的周长为 4+4 2 姨 ， 面积为 2. （ 1 ） 求 C 的标准方程 . （ 2 ） 若 P （ 2 ， 1 ） 关于原点的对称点为 Q ， 不经过点 P 且斜率为 1 2 的直线 l 与 C 交于点 D ， E ， 直线 PD 与 QE 交于点 M ， 证明： 点 M 在定直线上 . 18． （ 17 分） 为了引导居民合理用电， 国家决定实行合理的阶梯电价， 居民用电原则上以住宅 为单位 （一套住宅为一户） . 某市随机抽取 10 户同一个月的用电情况， 得到统计表如下 : （ 1 ） 若规定第一阶梯电价 0.5 元 / （ kW · h ）， 第二阶梯超出第一阶梯的部分 0.6 元 / （ kW · h ）， 第 三阶梯超出第二阶梯的部分 0.8 元 / （ kW · h ）， 试计算居民用电户月用电 410 kW · h 时应 交电费多少元？ （ 2 ） 现要在这 10 户家庭中任意选取 3 户， 求取到第二阶梯电量的用户数的分布列与期望 . （ 3 ） 以表中抽到的 10 户作为样本估计全市居民用电情况， 现从全市中依次抽取 10 户， 若 抽到 k 户月用电量为第一阶梯的可能性最大， 求 k 的值 . 数学 （一） 第 5 页 （共 7 页） 数学 （一） 第 6 页 （共 7 页） 居民用电编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 用电量 / （ kW · h ） 53 86 90 124 132 200 215 225 300 410 阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 月用电范围 / （ kW · h ） ［ 0 ， 210 ］ （ 210 ， 400 ］ （ 400 ， +∞ ） 3 弥 封 线 弥 封 线 内 不 准 答 题 19． （ 17 分） 已知函数 f （ x ） = 1 2 x 2 -2ax+lnx. （ 1 ） 若函数 f （ x ）为增函数， 求实数 a 的取值范围 . （ 2 ） 设 g （ x ） =xf （ x ） - 1 2 x 3 +2x 有两个不同零点 x 1 ， x 2 . （ ⅰ ） 证明： x 1 +x 2 > 1 a ； （ ⅱ ） 若 x 2 -3x 1 ≥0 ， 证明： x 1 +x 2 > 6 e 2 . 数学 （一） 第 7 页 （共 7 页） 4 线 封 弥 学 校 班 级 姓 名 考 号 考 试 科 目 弥 封 线 内 不 准 答 题 2025年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷 数学 （一） 姓 名： 准考证号 贴条形码区 （正面朝上， 切勿贴出虚线方框） ← 此方框为缺考考生标记， 由监考员用 2B 铅笔填涂 注 意 事 项 1. 答卷前， 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改 动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3. 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。 正 确 填 涂 示 例 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15. 16. 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 一、 选择题 （请用 2B 铅笔填涂） 1. A B C D 2. A B C D 3. A B C D ４. A B C D 5. A B C D 6. A B C D 7. A B C D 8. A B C D 三、 填空题 （请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写） 12. 13. 14. 四、 解答题 （请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写） 二、 选择题 （请用 2B 铅笔填涂） 9. A B C D 10. A B C D 11. A B C D A B C D E M N Q P 5 弥 封 线 弥 封 线 内 不 准 答 题 19. 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17. 18. 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 6