专题突破(4) 带电体在“电场十重力场”中的运动-【正禾一本通】2024-2025学年高中物理必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教版2019）

专题突破四 带电体在“电场＋重力场”中的运动 本专题主要研究带电体在“电场＋重力场”中的直线运动、类抛体运动和圆周运动，是力和电学知识、模型的“大综合”。通过本专题的学习，可以进一步提升对静电力的性质和能的性质等物理观念的理解，强化电场中力学模型的合理构建，提升力学知识和方法在新情境中的迁移应用能力。 突破点一　带电体在“电场＋重力场”中的直线运动 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 当带电体受到的静电力、重力等各力的合力与速度共线时，带电体将做加速或减速直线运动，若合力恒定，则将做匀加速或匀减速直线运动。处理此类问题常有以下两个角度： (1)用牛顿运动定律和运动学方程求解。此方法常用于带电体做匀变速直线运动的情况。 (2)用功和能的观点求解。此方法既适用于带电体做匀变速直线运动的情况，也适用于带电体做非匀变速直线运动的情况，特别是涉及带电体运动的始末状态，而不涉及运动时间问题时。 【典例1】 如图所示，两水平边界M、N之间存在竖直向上的匀强电场。一根轻质绝缘竖直细杆上等间距地固定着A、B、C三个带正电小球，每个小球质量均为m，A、B两球带电荷量均为q、C球带电荷量为2q，相邻小球间的距离均为L。将该细杆从边界M上方某一高度处由静止释放，已知B球进入电场上边界时的速度是A球进入电场上边界时速度的2倍，且B球进入电场后杆立即做匀速直线运动，C球进入电场时A球刚好穿出电场。整个运动过程中杆始终保持竖直状态，重力加速度为g。不计空气阻力。求： (1)匀强电场的电场强度的大小E； (2)A球经过电场上边界时的速度的大小v0； (3)C球经过边界N时的速度的大小。 解析：(1)B球进入电场后，杆立即做匀速直线运动，有3mg＝2qE 解得E＝。 (2)从A球进入电场到B球进入电场的过程中，由动能定理得 3mgL－qEL＝(3m)(2v0)2－v02 解得v0＝。 (3)由C球进入电场时A球刚好穿出电场可知，M、N间的宽度为2L。设C球经过边界N时的速度的大小为v1，从A球进入电场到C球穿出电场的过程，同理可得 3mg·4L－4qE·2L＝mv12mv02 解得v1＝。 答案：(1)　(2)　(3) 【针对训练1】 (多选)如图所示，一质量为m、电荷量为q的小球在电场强度为E、区域足够大的匀强电场中，以初速度v0沿ON方向在竖直面内做匀减速直线运动。已知ON与水平面的夹角为30°，重力加速度为g，且mg＝qE，则(　　 ) A．电场力的方向垂直ON向上 B．小球运动的加速度大小为g C．小球上升的最大高度为 D．若O点电势为零，则小球电势能的最大值为 解析：选BD。小球在竖直平面内做匀减速直线运动，则合力与速度的方向相反，又因为mg＝qE，所以电场力qE与重力mg关于ON对称，即电场力与的ON方向成120°角，如图所示，故A错误； 由几何关系可知，小球受到的合力为mg，所以加速度a＝g，故B正确；设小球上升的最大高度为h，由动能定理得：－mg·mv02，解得h＝，故C错误；当小球速度减为零时，其电势能的变化量最大，且ΔEp＝－qE·2h cos 120°＝mg·，又因为小球在O点的电势能为零，所以其电势能的最大值为，故D正确。 突破点二　带电体在“电场＋重力场”中的类抛体运动 将带电体在电场和重力场中抛出，若抛出时的初速度方向与电场力和重力的合力方向不共线，则带电体将做曲线运动。由于带电体在匀强电场中所受的静电力和重力都是恒力，即合力是恒定的，所以带电体的运动为匀变速曲线运动——类抛体运动。 处理匀变速曲线运动的方法是运动的合成与分解，即将曲线运动看作两个互相垂直方向简单直线运动的合成。在选择运动分解的方向时，要根据求解问题的需要灵活选择。 [说明]利用功和能的观点建立方程时，切忌“分方向”处理，因为功和能都是标量，不存在矢量分解问题。 【典例2】 如图所示，两块竖直放置的金属导体板间存在水平向左的匀强电场，板间距离为d，有一带电荷量为＋q、质量为m的小球以水平速度从左极板上的A孔进入匀强电场，且恰没有与右板相碰，小球最后从A孔正下方的B孔离开匀强电场，若A、B两孔间的距离为4d，重力加速度为g。 (1)求两板间的电场强度大小。 (2)求小球从A孔进入电场时的速度大小。 (3)小球进入电场后经过多长时间速度达到最小值？最小值是多少？ 解析：由题意可知，小球在水平方向上做匀减速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动。设小球进入A孔的速度v0，减速到右极板的时间为t，则 在水平方向上，有d＝t2 在竖直方向上，有4d＝g·(2t)2 联立解得E＝。 (2)在水平方向上，有d 解得v0＝。 (3)小球进入电场后，经时间t′的水平速度 vx＝v0－t′ 竖直速度vy＝gt′ 小球在t′时刻的速度大小 v＝＝ 由数学知识可知，当t′＝时，小球的速度达到最小，且最小速度为vmin＝v0。 答案：(1)　(2)　(3)v0 [规律方法]求速度“最小值”的另一种方法 将小球的运动看作“类斜抛运动”，如图所示，当沿合力方向的速度减为零时，小球的速度达到最小。 小球受到的合力F＝mg，所以加速度a＝，设经时间t小球的速度最小，则有0＝v0sin 45－at，解得t＝，此时最小速度vmin＝v0cos 45°＝v0。 【针对训练2】 空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点。从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B。A不带电，B的电荷量为q(q>0)。A从O点发射时的速度大小为v0，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用时间为。重力加速度为g，求： (1)电场强度的大小； (2)B运动到P点时的动能。 解析：(1)设电场强度的大小为E，小球B运动的加速度为a，根据牛顿第二定律、运动学公式和题给条件，有mg＋qE＝ma gt2 联立解得E＝。 (2)设B从O点发射时的速度为v1，到达P点时的动能为Ek，O、P两点的高度差为h，根据动能定理有 mgh＋qEh＝Ek－mv12 且有v1＝v0t h＝gt2 联立解得Ek＝。 答案：(1) 突破点三　带电体在“电场＋重力场”中的圆周运动 分析带电体在“电场＋重力场”中的圆周运动问题时，常将复合场等效为一个新的重力场，并与重力场中的圆周运动问题进行类比，然后再选择合理的规律和方法进行求解。下面是两个常见的典型情境： 如图所示，将带电体所受的重力mg与静电力qE进行合成，则合力“mg′”即为“等效重力”，“g′”为“等效重力加速度”；“mg′的方向”为“等效重力的方向”，即等效重力场“竖直向下的方向”。 电场沿水平方向 电场沿竖直方向 【典例3】 (多选)(2024·河南驻马店期末)如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球，小球静止时细线与竖直方向成θ角。现让小球瞬间获得一个初速度，此后小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　 ) A.匀强电场的电场强度E＝ B．小球动能的最小值为Ek＝mgL C．小球获得的初速度大小v0＝ D．小球运动至轨迹圆的最高点时机械能最小 解析：选AC。小球静止时受重力、拉力和静电力，如图所示， 根据平衡条件有mg tan θ＝qE，解得E＝，选项A正确；将小球受到的重力mg和静电力qE等效为一个新的重力，则等效重力大小为，小球获得初速度后恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点A速度最小，根据牛顿第二定律有则最小动能Ek＝，选项B错误；从等效最低点到等效最高点，由动能定理得·2L＝Ek－解得v0＝，选项C正确；小球运动到轨迹圆的最左端点时，克服静电力做功最多，电势能最大，机械能最小，选项D错误。 [误区警示]区分“等效最高点”与“空间最高点” (1)带电体仅在重力、拉力、静电力作用下处于静止状态时的位置就是“等效最低点”，圆周上与该点处在同一直径上的另一点即为“等效最高点”。 (2)带电体在复合场中能做完整的圆周运动的条件是能通过“等效最高点”，这里的“等效最高点”不一定是空间中的最高点。 【针对训练3】 如图所示，内表面光滑且绝缘的半径为1.2 m的圆形轨道处于竖直平面内，竖直向下的匀强电场的电场强度大小为3×106 V/m。有一质量为0.12 kg、带负电的小球，电荷量大小为1.6×10-6 C，小球在圆轨道内壁做圆周运动，当运动到最低点A时，小球与轨道间压力恰好为零，g取10 m/s2，求： (1)小球在A点时的速度大小； (2)小球运动到最高点B时对轨道的压力大小。 解析：(1)小球受到的重力 G＝mg＝0.12×10 N＝1.2 N 静电力F＝qE＝1.6×10-6×3×106 N＝4.8 N 在A点，有qE－mg＝m 代入数据解得v1＝6 m/s。 (2)设小球在B点的速度大小为v2，从A到B，由动能定理有 (qE－mg)·2R＝ 在B点，设轨道对小球的弹力为FN，则有 FN＋mg－qE＝ 由牛顿第三定律有FN′＝FN 代入数据解得FN′＝21.6 N。 答案：(1)6 m/s　(2)21.6 N 学科网（北京）股份有限公司 $$