第16讲 随机事件与概率（9大知识点+10大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修二）

第16讲 随机事件与概率 目录 题型归纳 1 题型01 判断事件是否是随机事件 3 题型02 事件的运算及其含义 5 题型03 写出基本事件 7 题型04 计算古典概型问题的概率 9 题型05 有放回与无放回问题的概率 13 题型06 根据古典概型的概率求参数 16 题型07 互斥事件的概率加法公式 19 题型08 利用互斥事件的概率公式求概率 21 题型09 互斥事件与对立事件关系的辨析 23 题型10 利用对立事件的概率公式求概率 25 分层练习 29 夯实基础 29 能力提升 39 知识点01样本点和样本空间 （1）样本点：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示样本点； （2）样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用Ω表示样本空间； （3）有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间，Ω＝{ω1，ω2，…，ωn} 知识点02样本空间中样本点的求法 （1）列举法：也称枚举法，对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需要一一列举，即可得出随机事件所包含的言本店，注意列举时必须按一定的顺序，做到不重不漏。 （2）列表法：碎玉样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法。通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地得到样本点个数，列表法的有点是准确、全面、不易遗漏，期中最常用的方法是坐标系法。 （3）树状图法：树状图适用于按一顺序排雷的较复杂问题中言本店个数的求解，是一种常用的方法。 知识点03随机事件我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生； 知识点04必然事件Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件； 知识点05不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件。 注意：判断一个事件是哪类事件要看两点 一看条件：因为三种事件都是相对于一定条件而言的； 二看结果是否发生：一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件， 一定不发生的是不可能事件． 知识点06事件的关系与运算 1.互斥（互不相容）：一般地，如果事件A与事件B不能同时发生， 也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅， 则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 2、互为对立：一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生， 即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立． 事件A的对立事件记为 3、包含关系：一般地，若事件A发生，则事件B一定发生， 我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)， 即B ⊇A(或A⊆B)， 特殊情形：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊆B， 则称事件A与事件B相等，记作A＝B 4、并事件（和事件）：一般地，事件A与事件B至少有一个发生， 这样的事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中， 则称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 5、交事件（积事件）：一般地，事件A与事件B同时发生， 这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中， 则称这样的事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 知识点07古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验， 其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． （1）有限性：样本空间的样本点只有有限个； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 知识点08古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点， 则定义事件A的概率P(A)＝＝， 其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 知识点09概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)． 性质5：如果A⊆B，那么P(A) ≤P(B)． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 题型01判断事件是否是随机事件 【例1】（24-25高一下·全国·期末）以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 【答案】C 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】利用随机事件的定义求解即可. 【详解】由题意得A，B，D的概率为1，所以是必然事件， C的概率不为0，也不为1，所以它是随机事件，故C正确. 故选：C 【变式1】（20-21高一下·天津河东·期末）下列事件中，随机事件的个数是（    ） ①未来某年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签； ④任取，则. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据各项的描述，判断随机事件、必然事件、不可能事件，进而确定随机事件的个数. 【详解】①未来某年8月18日，北京市不下雨，属于随机事件； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰，属于不可能事件； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，属于随机事件； ④任取，则，属于必然事件； 所以属于随机事件的有①③，即随机事件的个数是. 故选：B 【变式2】（21-22高一下·陕西西安·期中）下列是周期现象的为（    ） ①闰年每四年一次；         ②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额；     ④某地每年6月份的平均降雨量． A．①②④ B．③④ C．①② D．①②③ 【答案】C 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据周期现象的概念即可判断. 【详解】①②是周期现象；③是随机的，不是周期现象；④是随机的，不是周期现象. 故选：C. 【变式3】（22-23高一上·广西桂林·期末）下列事件：①物体在重力作用下会自由下落；②方程有两个不相等的实数根；③下周一会下雨；④桂林生活广播电视台在某天某一节目播出时段内收到观众信息回复次数大于次.其中随机事件的序号为 . 【答案】③④ 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据随机事件的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，物理在重力作用下必然会自由下落，为必然事件，不是随机事件，①错误； 对于②，方程有两个不相等的实数根为不可能事件，不是随机事件，②错误； 对于③，下周一可能会下雨，也可能不会下雨，则下周一会下雨可能发生，也可能不发生，为随机事件，③正确； 对于④，收到观众信息回复次数大于次可能发生，也可能不发生，为随机事件，④正确. 故答案为：③④. 题型02 事件的运算及其含义 【例2】（23-24高一下·山西大同·期末）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发 【答案】B 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】理解题意即可选出正确答案. 【详解】表示击中1发或2发或3发，即至少击中1发. 故选：B. 【变式1】（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知样本空间，事件，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】根据题意，由概率的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，且事件，，则， 所以. 故选：A 【变式2】（23-24高一下·天津·期末）对于两个事件，则事件表示的含义是（    ） A．与同时发生 B．与不能同时发生 C．与有且仅有一个发生 D．与至少有一个发生 【答案】D 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】理解和事件的是至少有一个发生即可判断． 【详解】解：两个事件， 则事件表示的含义是事件至少有一个发生， 故选：D． 【变式3】（22-23高一下·河北衡水·期末）打靶3次，事件“击中发”，其中．那么表示 ． 【答案】至少击中1发 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】根据和事件的定义判断. 【详解】根据并事件的定义可知，表示至少有一个发生， 所以表示至少击中1发. 故答案为：至少击中1发. 题型03 写出基本事件 【例3】（22-23高一下·安徽合肥·期末）为了扎实推进“五大行动”，学校为高一年级同学准备了形式多样的劳动课程.有种植白菜、种植蕃茄、果树整枝和害虫防治4种课程，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【知识点】写出基本事件 【分析】根据样本点的定义求解. 【详解】设4种课程编号为1,2,3,4，随机选报其中的2个， 样本点有：，共6个， 故选：C. 【变式1】（20-21高一下·湖南长沙·期末）从1，2，3，…，10这10个数中，任取3个数，那么“这3个数的和不大于8”这一事件包含的样本点的个数是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【知识点】写出基本事件 【分析】依次列举出满足题意的情况即可得解. 【详解】从1，2，3，…，10这10个数中，任取3个数，这三个数之和不大于8， 列举如下：四种情况. 故选：A 【变式2】（20-21高一下·北京通州·期末）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为（    ） A．正面，反面 B．｛正面，反面｝ C．｛（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面）｝ D．｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝ 【答案】D 【知识点】写出基本事件 【分析】利用列举法可得答案 【详解】解：先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为 ｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝ 故选：D 【变式3】（21-22高一下·山西太原·期末）一项关于运动与降低血压之间关联性的试验研究，试验将志愿者分为人数相等且为偶数的两组．第一组每天静坐小时，第二组每天快走小时．每组一半人服用降压药，另一半服用安慰剂．用、、和分别表示静坐的、快走的、服用降压药和安慰剂的志愿者．若从这些人中随机抽取人，则该试验的样本空间为 ． 【答案】 【知识点】写出基本事件 【分析】逐一列举出样本空间中的基本事件即可. 【详解】由题意可知，该试验的样本空间为. 故答案为：. 题型04 计算古典概型问题的概率 【例4】（23-24高一下·江西景德镇·期中）将1枚硬币抛掷2次，恰好出现1次反面的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】先确定样本空间，再利用古典概型的概率公式求解. 【详解】将一枚硬币先后抛掷两次的样本点为 （正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种， 恰好出现一次正面的基本事件有（正，反），（反，正），共2种， 所以恰好出现一次正面的概率是， 故选：A 【变式1】（21-22高一下·辽宁·期中）从3男2女5名志愿者中，抽取2名志愿者参加社区核酸检测秩序管理工作，则至少有1名女性志愿者参加的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】将3名男性志愿者分别记为a，b，c，2名女性志愿者分别记为d，e，然后列举出从5人中抽取2人的所有情况，再找出至少有1名女性的情况，然后利用古典概型的概率公式求解. 【详解】将3名男性志愿者分别记为a，b，c，2名女性志愿者分别记为d，e， 则样本空间，共包含10个样本点． 记事件A为至少有1名女性志愿者参加，则，A包含的样本点个数为7， 所以． 故选：D 【变式2】（23-24高一下·浙江台州·期中）冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为 . 【答案】/0.7 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据题中定义，分别求出正整数6，7，8，9，10按照题中所给运算规律进行运算的次数，最后根据古典概型计算公式进行求解即可. 【详解】按照题中运算规律，正整数6的运算过程为，运算次数为8； 正整数7的部分运算过程为， 当运算到10时，运算次数为10，由正整数的运算过程可知， 正整数7总的运算次数为； 正整数8的运算次数为3； 正整数9的部分运算过程为，当运算到7时，运算次数为3， 由正整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为． 正整数10的运算次数为6； 故正整数6，7，8，9，10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数， 从正整数6，7，8，9，10中任取2个数的方法总数为： ，共种， 其中的运算次数均为偶数的方法总数为：，共种， 故运算次数均为偶数的概率为， 故所求概率． 故答案为：． 【变式3】（23-24高一下·浙江台州·期中）国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人. (1)再从第二组和第五组中抽取的人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率； (2)若第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6，第3组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为40和6，据此估计这次参与调查的人中第2组和第3组所有人的年龄的方差. 【答案】(1) (2)27 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）先根据频率分布直方图求出a，然后计算出第二组和第五组中的人数，最后穷举出个数，利用概率公式计算. （2）由平均数、方差的计算公式计算出第2组和第3组所有人的年龄的方差. 【详解】（1）由频率分布直方图得，，解得， 所以第2组和第5组的频率分别为，故第2组和第5组所抽取的人数分别为， 即第2组3人，记为，，， 第5组2人，记为甲，乙， 对应的样本空间为：，甲，乙， 甲，乙，甲乙，甲，乙， 甲乙，甲乙，共10个样本点， 设事件为“中至2人被选上”， 则有，甲，乙， 甲，乙，甲，乙，共有7个样本点， ； （2）设第2组参与调查的人的年龄的平均数为，方差为， 设第3组参与调查的人的年龄的平均数为，方差为， 第2组和第3组所有参与调查的人的年龄的平均数为，方差为， 则， ． 即这次参与调查的人中第2组和第3组所有人的年龄的方差为27． 题型05 有放回与无放回问题的概率 【例5】（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人， 记事件 “抽到的两人是一男生一女生”， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共12个样本点， 其中有8个样本点，所以. 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共16个样本点， 其中有8个样本点，所以. 故选：A. 【变式1】（23-24高一下·河南郑州·期末）现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】分第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片和第一次和第二次都取到兔形图案的卡片两种情况，然后求概率即可. 【详解】第个盒子中第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片的概率为； 第一次和第二次都取到兔形图案的卡片的概率为， 所以第二次取到的卡片为兔形图案的概率， 解得. 故选：A. 【变式2】（23-24高一下·陕西咸阳·期末）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中有放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则2次抽到的卡片上的数字之和为5的概率为 ． 【答案】/ 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】利用列举法结合古典概型概率公式求解即可. 【详解】把第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为，记为. 则4张卡片中有放回的随机抽取2次所有情况为： ， ，共16种. 其中数字之和为5的有4种，则所求概率为. 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·天津·期末）抽取某车床生产的8个零件，编号为，，...，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品. (1)求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率. 【答案】(1) (2)结果见解析， 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】（1）根据条件，利用古典概率公式，即可求出结果； （2）根据条件，列出样本空间点和事件的样本点，利用古典概率公式，即可求出结果. 【详解】（1）由所给数据可知，一等品零件共有5个. 设“从8个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件，则. 所以，从8个零件中，随机抽取一个为一等品的概率为. （2）一等品零件的编号为，，，，.从这5个一等品零件中依次不放回随机抽取2个，所有可能的结果有：，，分共20种. 设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”为事件，所有可能结果有：，共有8种. 所以，. 题型06 根据古典概型的概率求参数 【例6】（21-22高一下·新疆乌鲁木齐·期末）从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则（    ） A．28 B．14 C．10 D．8 【答案】D 【知识点】根据古典概型的概率求参数 【分析】根据古典概型求概率公式列出方程，求出的值. 【详解】设为取出的两个数对，x是第一个数，y是第二个数，且 则 设事件A：取出的两个不同的数的和为5 则，则 ， ∴ 故选：D 【变式1】（22-23高一下·江苏南京·期末）一个口袋中装有个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程次，共摸出红球次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据古典概型的概率求参数 【分析】设黄球的个数为，利用古典概型的概率公式可得出关于的等式，解出的值即可. 【详解】设黄球的个数为，由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：B. 【变式2】（20-21高一下·江苏南京·期末）在一次机器人比赛中，有供选择的型机器人和型机器人若干，从中选择一个机器人参加比赛，型机器人被选中的概率为，若型机器人比型机器人多4个，则型机器人的个数为 . 【答案】8 【知识点】根据古典概型的概率求参数 【分析】首先设型机器人个，型机器人个，由条件列方程组，即可求解. 【详解】设型机器人个，型机器人个， 则 ，解得：，. 故答案为：8 【变式3】（20-21高一下·河北张家口·期末）已知袋子内装有大小质地完全相同的小球，其中2个红球，m个黄球，1个白球，若从中随机抽取一个小球，抽到每个小球的概率为. （1）求m的值； （2）若从中不放回地随机取出两个小球，求只有一个黄球的概率. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】计算古典概型问题的概率、根据古典概型的概率求参数 【分析】（1）根据概率的计算公式可得，进行计算即可； （2）列出摸出两个小球的所有可能，由概率的计算公式即可得解. 【详解】（1）由题意知，. （2）记两个红球分别为，，两个黄球分别为，，一个白球为，从中不放回地随机抽取两个小球的所有情况为，，，，，，，，，， 只有一个黄球的概率为. 题型07 互斥事件的概率加法公式 【例7】（22-23高一下·山东烟台·期末）若随机事件，互斥，且，，则（    ） A．0 B．0.18 C．0.6 D．0.9 【答案】D 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】由互斥事件概率加法公式计算. 【详解】随机事件，互斥，且，， 所以， 故选：D. 【变式1】（20-21高一下·陕西汉中·期末）甲、乙两人下棋，和棋的概率为，甲获胜的概率为，则甲不输的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】甲不输即是和棋或者获胜两种情况，故可得结果. 【详解】解：由题意可得，甲不输的情况有：和棋或获胜两种， 故其不输的概率为：. 故选：A. 【变式2】（23-24高一下·北京丰台·期末）设A，B是一个随机试验中的两个互斥事件，，，则 . 【答案】0.5/ 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】由互斥事件的概率公式计算即可. 【详解】因为A，B是一个随机试验中的两个互斥事件，所以. 故答案为：0.5 【变式3】（23-24高一下·湖南永州·期末）已知事件与事件发生的概率分别为，，且，则 . 【答案】0.7/ 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】根据概率的加法公式代入求解即可. 【详解】因为事件与事件发生的概率分别为 ，，且， 所以. 故答案为：0.7. 题型08 利用互斥事件的概率公式求概率 【例8】（23-24高一下·山西大同·期末）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 【答案】C 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】根据互斥事件的概率公式即可求解. 【详解】设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， 所以，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76． 故选C． 【变式1】（22-23高一下·贵州贵阳·期末）已知事件，互斥，若，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】由互斥事件并事件概率的加法公式求解. 【详解】由于事件，互斥， 则， 所以，选项A正确. 故选：A 【变式2】（20-21高一下·河南省直辖县级单位·期末）我国西部一个地区的年降水量在下列区间的概率如下表所示： 年降水量（mm） [100，150) [150，200) [200，250) [250，300] 概率 0.21 0.16 0.13 0.12 则年降水量在[200，300]（mm）范围内的概率为（    ） A．0.29 B．0.41 C．0.25 D．0.63 【答案】C 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】将年降水量在[200，300](mm)范围内的事件分拆成两个互斥事件的和，再用互斥事件概率的加法公式即可得解. 【详解】年降水量在[200，300]范围内的事件A，它是年降水量在[200，250)范围内的事件B与年降水量在[250，300]范围内的事件C的和， 而事件B与C互斥，且，则， 所以年降水量在[200，300](mm)范围内的概率为0.25. 故选：C 【变式3】（22-23高一下·广东东莞·期末）已知与为互斥事件，且，，则 ． 【答案】/ 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】利用互斥事件的概率公式可求得的值. 【详解】因为与为互斥事件，则， 因此，. 故答案为：. 题型09 互斥事件与对立事件关系的辨析 【例9】（24-25高一上·贵州·期末）在7个除颜色外其他都相同的小球中，有3个红球，4个白球，从中任意取出3个小球，则事件“3个小球中至少有2个白球”的对立事件是（    ） A．3个小球中至多有1个白球 B．3个小球中至多有1个红球 C．3个小球都是红球 D．3个小球都是白球 【答案】A 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据对立事件的概念直接得出结果. 【详解】由题意知，3个小球中至少有2个白球包含的情况为：2白1红、3白， 所以其对立事件包含的情况为：3红、2红1白， 即至多有1个白球. 故选：A 【变式1】（23-24高一下·陕西西安·期末）有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（    ） A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．非互斥事件 D．以上都不对 【答案】A 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，结合互斥、对立事件的定义即可判断. 【详解】因为甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人， 所以事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，故事件“甲向南”与事件“乙向南”是互斥但非对立事件； 故选：A 【变式2】（22-23高一下·广东阳江·期末）从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．“至少有1件正品”与“都是次品” B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品” C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“都是正品”与“都是次品” 【答案】D 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即可. 【详解】从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，可能的结果为：1正1次､2正､2次， 对于A：“至少有1件正品”与“都是次品”是对立事件，不符合； 对于B：“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”是同一个事件，不符合题意； 对于C：“至少有1件次品”包括1正1次､2次，“至少有1件正品”包括1次1正､2正，这两个事件不是互斥事件，不符合题意； 对于D：“都是正品”与“都是次品”是互斥事件而不是对立事件，符合题意； 故选：D 【变式3】（22-23高一下·山西朔州·期末）从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（    ） A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球 B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球 C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球 D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球 【答案】D 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案. 【详解】恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球是对立事件，故A错误； 至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故B错误； 至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故C错误； 恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球是互斥事件而不是对立事件，故D正确. 故选：D. 题型10 利用对立事件的概率公式求概率 【例10】（23-24高一下·河南商丘·期末）已知事件A和B互斥，且，，则 . 【答案】0.4/ 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据互斥事件及对立事件的概率相关知识进行求解. 【详解】∵事件A和B互斥，∴， 又，∴， ∴. 故答案为：0.4. 【变式1】（22-23高一上·安徽蚌埠·期末）2022年11月8日至13日第十四届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举行．歼-20､运-20和空警-500､轰-6K､红-9B等主战装备集中亮相，运油-20､歼-16､攻击-2无人机首次振翅中国航展，空军八一飞行表演队和空军航空大学“红鹰”飞行表演队劲舞长空，中国航展成为中国航空航天产业发展和国防实力最重要的展示平台，更是展示中国力量，彰显中国价值，弘扬中国精神的一个窗口，国产某型防空导弹的单发命中率为90%，为了确保对敌机的摧毁效果，实战中往往采取双发齐射的方式，则双发齐射的命中率为 ． 【答案】/0.99 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率 【分析】由对立事件即可求解． 【详解】由题意得，防空导弹单发命中率为0.9， 设事件为发射一枚防空导弹后命中敌机，则，， 设事件为采取双发齐射后命中敌机， 则， 故答案为：0.99． 【变式2】（23-24高一下·宁夏固原·期末）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，由对立事件的性质求解即可. 【详解】因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立， 所以甲获胜的概率为. 故选：. 【变式3】（24-25高一上·河南南阳·期末）某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． (1)为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率； (2)为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求： ①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由题意，列出不放回地抽取2张卡片，抽取的所有可能结果，满足条件的事件是连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生，包括两种情况，一是一男一女，二是两女，这两种情况是互斥的，方法1：根据古典概型概率公式得到结果；方法2 ：得出取出的2人全是男生包含的样本点个数，再利用对立事件求出概率； （2）①试验发生包含的事件是有放回地连续抽取2张卡片，列举出所有的事件共有25种结果，找出满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果；②“选出的不全是男生”其对立事件为“选出的全是男生”，求出包含的样本点个数，再求出概率. 【详解】（1）把抽取2张卡片的结果记为，其中i表示第一次抽取的卡片号，j表示第二次抽取的卡片号． 依题意，不放回地抽取2张卡片，抽取的所有可能结果为： ， ， ， ， ， 共有20种可能的结果． 用事件A表示“选出的2人不全是男生”． 方法1：  依题意知事件A包含的样本点有 ， ，共有14种可能的结果， 因此，，即选出的2人不全是男生的概率为． 方法2 ： 依题意知事件A的对立事件 “取出的2人全是男生”包含的样本点有 ，共有6种可能的结果， 因此，，即选出的2人不全是男生的概率为． （2）抽取的所有可能结果为： ， ， ， ， ， 共有25种可能的结果． 设事件B表示“独唱和独奏由同一个人表演”， 则事件B所包含的样本点有，共有5种可能的结果， 因此，，即独唱和独奏由同一个人表演的概率为． 设事件C表示“选出的不全是男生”，其对立事件C表示“选出的全是男生”， 包含的样本点有，共有9种可能的结果， 因此，，即选出的不全是男生的概率为． 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高一下·广东深圳·期中）一个射手进行射击，记事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项分析判断作答. 【详解】射手进行射击时，事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”， 事件与不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件与是互斥且对立，A不是； 事件与不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件与是互斥不对立，B是； 事件与可以同时发生，即事件与不互斥不对立，C不是，显然D不正确. 故选：B 2．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）掷两枚质地均匀的正方体骰子，设出现的点数之和为S的概率是P，则P最大时S等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】求出点数之和的所有情况，算出出现的次数，即可得解. 【详解】 第一枚第二枚 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 根据上图可知：点数之和为7时出现的次数最多即概率最大. 故选：B 3．（24-25高一上·江西·期末）节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，共种情况，其中一个节气是立春，有种情况，用古典概型概率计算公式即可. 【详解】记立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气分别为、、、，则样本空间，记事件表示“其中一个节气是立春”，则，由古典概型可知． 故选：C． 4．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 【答案】D 【分析】写出基本事件和样本空间，得到；B，C包含共同的基本事件；C，D包含共同的基本事件；，且，从而判断出结论. 【详解】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件， 则样本空间为， 事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3， 事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6， 由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误； B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6， 结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误； C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5， 结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误； D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6， 结合C选项，，且， 所以D，E为对立事件，D正确. 故选：D 二、多选题 5．（23-24高一下·重庆·期末）抛一枚质地均匀的硬币两次，事件“第1次硬币正面朝上”，事件“第2次硬币正面朝上”，事件“两次硬币朝上的面相同”则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先列举样本空间，再根据选项，分析事件，并计算概率. 【详解】抛一枚质地均匀的硬币两次包含（正正），（正反），（反正），（反反），共4种情况， 所以，故A正确，B错误； 为事件（正正），则，即，故C正确； 为事件（正正），则，所以，故D错误. 故选：AC 6．（22-23高一下·甘肃·期末）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的是（    ） A．①③⑤ B．②④⑥ C．①⑤⑥ D．③④⑦ 【答案】AC 【分析】根据互斥事件、对立事件的相关概念对关系式进行判断即可得出结论． 【详解】由题设可知： 表示甲乙两人均未击中靶，因此，故①正确； 表示两人都击中靶，而表示至少有1人击中靶，因此②错误； 表示至少有1人击中靶，因此③正确； 表示至少有1人击中靶，而表示恰一人击中靶，因此④错误； 表示两人中恰好只有1人击中靶，因此⑤正确； 与是对立事件，因此⑥正确； 与不是互斥事件，， 因此⑦错误． 综上可得正确的是①③⑤⑥． 故选：AC． 三、填空题 7．（23-24高一下·北京·期末）现有甲、乙、丙、丁、戊五种智慧黑板，某学校要从中随机选取3种作为教学工具备选，则其中甲、乙、丙中至多有2种被选取的概率为 . 【答案】/0.9 【分析】运用列举法求出总数和满足题意数，结合对立事件概率，古典概型概率公式计算. 【详解】学校要从甲、乙、丙、丁、戊五种智慧黑板中随机选取3种作为教学工具,总共有10种， 即甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊. “甲、乙、丙中至多有2种被选取”的对立事件为“甲、乙、丙3种被选取”, 对立事件的情况数只有１种，则概率为. 则 “甲、乙、丙中至多有2种被选取”的概率. 故答案为：. 8．（23-24高一下·内蒙古·期末）在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【答案】 【分析】列举所有可能的结果，即可由古典概型的概率公式求解. 【详解】由题意，选3个方格，每行和每列均恰有1个方格被选中，每种选法可标记为， 分别表示第一、二、三行里所选方格中的数字， 则所有的可能结果为，，，，，， 共6种.其中所选方格中的3个数均为奇数的情况有2种，故所求概率为. 故答案为： 四、解答题 9．（24-25高一上·北京·期末）国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表： 空气质量指数 300以上 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 由全国重点城市环境监测网获得某年2月1日至2月5日甲城市和乙城市的空气质量指数数据，用茎叶图表示如下： (1)从甲城市的数据中任取2个，求其中恰有1个数据对应空气质量等级为良的概率； (2)从甲城市和乙城市的数据中分别取1个，求这2个数据对应空气质量等级相同的概率； (3)试根据上面的数据，判断甲，乙两市空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果） 【答案】(1) (2) (3)甲数据方差大于乙数据方差. 【分析】（1）（2）由空气质量指数与空气质量等级对应关系，结合茎叶图，古典概型的概率公式可得答案； （3）由方差定义可得答案； 【详解】（1）由题，在甲的5个数据中，数据对应空气质量等级为良的有3个. 设甲的5个数据分别为， 数据对应空气质量等级为良的为， 则任取两个数据的情况有：， 共10种情况， 满足题意的有，共6种情况. 则对应概率为； （2）设甲的5个数据分别为， 数据对应空气质量等级为优的为，数据对应空气质量等级为良的为， 数据对应空气质量等级为轻度污染的为， 设乙的5个数据分别为， 其中数据对应空气质量等级为优的为，数据对应空气质量等级为良的为. 则从甲城市和乙城市的数据中分别取1个的情况有： 共25种情况， 满足题意的有： ，共11种情况， 则对应概率为. （3）由茎叶图可得乙的数据更为集中，则甲数据方差大于乙数据方差. 10．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖. (1)请以标号写出两次抽取小球的所有结果（其中x，y分别为第一、第二次抽到的小球标号）； (2)求两种规则下获得二等奖的概率； (3)请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)规则二获奖的概率大，理由见解析 【分析】（1）直接列举所有结果； （2）（3）根据古典概型求解概率即可. 【详解】（1）两次抽取小球的所有可能结果为： ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，， （2）记规则一中获得二等奖为事件，记规则二中获得二等奖为事件， 事件包含，，，，五个样本点， 故， 事件包含，，，，五个样本点， 故. （3）规则二获奖概率大. 理由如下：记规则一获得一，二，三等奖分别为事件，，， 规则二获得一，二，三等奖分别为事件，，, 事件包含，两个样本点，. 事件包含，，，，，，，，，，，十二个样本点， . 所以规则一获奖的概率 ， 事件包含，两个样本点，； 事件包含，，，，，，，，，，，，十三个样本点，. 所以规则二获奖的概率 ， ，∴所以规则二获奖的概率大. 【能力提升】 一、单选题 1．（21-22高一下·福建福州·期末）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，计算判断A，B，D；分析事件与所含事件判断C作答. 【详解】依题意，，，而，A不正确； ，，B不正确； 事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球与没有白球的两个互斥事件和， 事件是必然事件，因此，C正确； 因，，则，即D不正确. 故选：C 2．（23-24高一下·安徽亳州·期末）从，，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，则这2个数的乘积不超过1的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用列举法得到基本事件数和符合条件的事件数，再利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】从，，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，共有6种不同的情况， 分别为，，，，，， 满足乘积不超过1的为，，，，共有4种不同的情况， 设概率为，故所求的概率为，故B正确. 故选：B 3．（23-24高一下·河北·期末）下列说法正确的是（    ） A．互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 B．若，则事件A与事件B是对立事件 C．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为 D．事件A与事件B中至少有一个发生的概率不一定比A与B中恰有一个发生的概率大 【答案】D 【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可． 【详解】对于A，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A错误; 对于B，由，并不能得出A与B是对立事件， 举例说明：现从a，b，c，d四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的， 设事件A表示选中a球或b球，则，事件B表示选中b球或c球，则，所以，但A，B不是对立事件，故B错误; 对于C，该试验的样本空间可表示为： ，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有，共3个， 故所求概率，故C错误; 对于D，若A，B是互斥事件，事件A，B中至少有一个发生的概率等于A，B中恰有一个发生的概率，故D正确． 故选：D. 4．（24-25高一上·陕西·期末）连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 【答案】D 【分析】对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据相互独立事件的定义判断；对C，求得，，即可判断；对D，求得即可判断. 【详解】根据题意，试验的结果有：正正，正反，反反，反正. 则事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正. 对于A，事件与事件不是互斥事件， 它们有可能同时发生，故A错误； 对于B，试验结果除了和外，还有其它结果如反反，所以事件与事件不是相互对立事件，故B错误； 对于C，， ， 所以，故C错误； 对于D，，，所以，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理清事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正. 二、多选题 5．（22-23高一下·安徽宣城·期末）从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则下列叙述正确的是（    ） A．取出的两个球同为红色和同为黑色是两个互斥而不对立的事件 B．至多有一个黑球与至少有一个红球是两个对立的事件 C．事件A＝“两个球同色”，则 D．事件B＝“至少有一个红球”，则 【答案】ACD 【分析】结合互斥事件和对立事件的概念，及古典概型公式进行分析即可． 【详解】对于A，两球同时为红球和为黑球不可能同时发生，并且除了这两个事件，实验还会发生一个事件，即两球一黑一白，所以两球同时为红球和为黑球的事件为互斥而不对立事件，A正确； 对于B，至多有一个黑球包括一黑一红和两红球，其对立事件为两黑球，B错误； 对于C，记3个红球为a，b，c，2个黑球为d，e， 则任取2个球的结果有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10个， 事件A发生的结果有ab，ac，bc，de，共4个，所以，C正确； 对于D，事件的对立事件的结果有de，共1个，所以，所以，D正确． 故选：ACD． 6．（23-24高一下·山东枣庄·期末）一个盒子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个绿球，1个黄球.若从中任取2个小球，则下列判断错误的是（    ） A．恰有一个红球的概率为 B．两个球都是红球的概率为 C．“有黄球”和“两个都是红球”互斥 D．“至少有一个绿球”和“至多有一个绿球”互为对立 【答案】ABD 【分析】根据古典概型，分别计算样本空间和事件空间，可得相应概率，判断A、B，再根据互斥事件和对立事件定义判断C、D，可得答案. 【详解】从6个球中任取2个球共有种取法， 设三个红球记为1，2，3，两个绿球记为，，一个黄球记为， 记事件A为恰有一个红球， ， 即恰有一个红球共18种取法，所以，故A错误； 记事件B为两个球都是红球，则， 所以，故B错误； 记事件为有黄球，表示2个球中至少有1个是黄球， 而两个球都是红球，不可能包含黄球，即C和B不可能同时发生，是互斥事件，故C正确； 记事件为至少有一个绿球，则D包含恰有1个绿球， 记事件为至多一个绿球， 则E也包含恰有1个绿球， 所以，所以“至少一个绿球”和“至多一个绿球”不是对立事件，故D错误. 故选：ABD． 三、填空题 7．（21-22高一上·江西景德镇·期末）我国古代的一些数字诗精巧有趣，又饱含生活的哲学，如清代郑板桥的《题画竹》》：“一两三枝竹竿，四五六片竹叶，自然淡淡疏疏，何必重重叠叠.”现从1，2，3，4，5，6中随机选取2个不同的数字组成，则恰好能使得的概率是 . 【答案】/0.6 【分析】列举基本事件，直接求概率即可. 【详解】随机选取2个不同的数字组成,共有 而，，3，4，5，6， ，，2，4，5，6， ，，2，3，5，6， ，，2，3，4，6， ，，2，3，4，5，共有25种， 其中 1，2，3，4，5，6这6个数字中满足的数对有： ，，4，5； ，； ，； ，； 共15种， 所求概率为． 故答案为：． 8．（23-24高一下·北京大兴·期末）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示， 一与六共宗居下，二与七为朋居上， 三与八同道居左，四与九为友居右， 五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数． 若从阳数和阴数中各取一数，则阳数大于阴数的概率为 ． 【答案】/ 【分析】由阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，10，可得从阳数和阴数中各取一数的组合共有个，从而确定其中满足阳数大于阴数的个数，即可利用古典概型概率计算公式求出所求概率. 【详解】由题可得阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，10，可得从阳数和阴数中各取一数的组合共有个， 满足阳数大于阴数的有，，，，，，，，，共10个， 所以所求概率为 故答案为： 四、解答题 9．（24-25高一上·陕西·期末）连续抛掷一枚质地均匀的正方体形骰子2次，试求下列事件的概率： (1)两次掷出的点数相等； (2)两次掷出的点数之和为偶数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列举试验的全部结果，根据古典概型的概率公式计算可得； （2）根据试验的全部结果，利用古典概型的概率公式计算可得. 【详解】（1）根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，其结果有 （1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）， （5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）， （6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）， 共36种情况． 设事件“两次掷出的点数相等”，其情况有 （1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），共6种． ． （2）设事件“两次掷出的点数之和为偶数”，则其情况有 （1，1），（1，3），（1，5）， （2，2），（2，4），（2，6）， （3，1），（3，3），（3，5）， （4，2），（4，4），（4，6）， （5，1），（5，3），（5，5）， （6，2），（6，4），（6，6），共18种． ． 10．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）袋中有6个大小和质地相同的小球，分别为黑球、黄球、红球，从中任意取一个球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或红球的概率是. (1)从中任取一个球，得到黑球、黄球、红球的概率各是多少？ (2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、红球为事件，，，由于，，为互斥事件，列出方程组，由此能求出从中任取一球，得到黑球、黄球、红球的概率． （2）黑球、黄球、红球个数分别为2，1，3，得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个红球共3种情况，而从6个球中取出2个球的情况共有15种，由此能求出得到的两个球颜色不相同的概率． 【详解】（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、红球为事件，，， 由于，，为互斥事件， 根据已知得， 解得， 从中任取一球，得到黑球、黄球、红球的概率分别是； （2）由（1）知黑球、黄球、红球个数分别为2，1，3， 得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个红球共3种情况， 而从6个球中取出2个球的情况共有15种， 所以所求概率为， 则得到的两个球颜色不相同的概率是． 11．（22-23高一上·江西吉安·期末）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果，算甲赢，否则算乙赢． (1)求的概率； (2)这种游戏规则公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这种游戏规则不公平，理由详见解析 【分析】(1)列出摸球结果（a，b）全部可能的结果，再找出满足的结果，最后根据古典概型的概率计算公式可得； (2) 设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件，再分别计算和，就可判断. 【详解】（1）摸球结果（a，b）全部可能的结果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种， 其中的结果为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种，故由古典概型的概率计算公式可得； （2）这种游戏规则不公平，理由如下： 设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件， 由题意事件A包含的基本事件（1，5），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共15个， 由古典概型的概率计算公式可得，∴， ∵，故这种游戏规则不公平． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 随机事件与概率 目录 题型归纳 1 题型01 判断事件是否是随机事件 3 题型02 事件的运算及其含义 4 题型03 写出基本事件 5 题型04 计算古典概型问题的概率 5 题型05 有放回与无放回问题的概率 7 题型06 根据古典概型的概率求参数 7 题型07 互斥事件的概率加法公式 8 题型08 利用互斥事件的概率公式求概率 9 题型09 互斥事件与对立事件关系的辨析 10 题型10 利用对立事件的概率公式求概率 11 分层练习 12 夯实基础 12 能力提升 15 知识点01样本点和样本空间 （1）样本点：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示样本点； （2）样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用Ω表示样本空间； （3）有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间，Ω＝{ω1，ω2，…，ωn} 知识点02样本空间中样本点的求法 （1）列举法：也称枚举法，对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需要一一列举，即可得出随机事件所包含的言本店，注意列举时必须按一定的顺序，做到不重不漏。 （2）列表法：碎玉样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法。通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地得到样本点个数，列表法的有点是准确、全面、不易遗漏，期中最常用的方法是坐标系法。 （3）树状图法：树状图适用于按一顺序排雷的较复杂问题中言本店个数的求解，是一种常用的方法。 知识点03随机事件我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生； 知识点04必然事件Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件； 知识点05不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件。 注意：判断一个事件是哪类事件要看两点 一看条件：因为三种事件都是相对于一定条件而言的； 二看结果是否发生：一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件， 一定不发生的是不可能事件． 知识点06事件的关系与运算 1.互斥（互不相容）：一般地，如果事件A与事件B不能同时发生， 也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅， 则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 2、互为对立：一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生， 即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立． 事件A的对立事件记为 3、包含关系：一般地，若事件A发生，则事件B一定发生， 我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)， 即B ⊇A(或A⊆B)， 特殊情形：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊆B， 则称事件A与事件B相等，记作A＝B 4、并事件（和事件）：一般地，事件A与事件B至少有一个发生， 这样的事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中， 则称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 5、交事件（积事件）：一般地，事件A与事件B同时发生， 这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中， 则称这样的事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 知识点07古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验， 其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． （1）有限性：样本空间的样本点只有有限个； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 知识点08古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点， 则定义事件A的概率P(A)＝＝， 其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 知识点09概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)． 性质5：如果A⊆B，那么P(A) ≤P(B)． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 题型01判断事件是否是随机事件 【例1】（24-25高一下·全国·期末）以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 【变式1】（20-21高一下·天津河东·期末）下列事件中，随机事件的个数是（    ） ①未来某年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签； ④任取，则. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（21-22高一下·陕西西安·期中）下列是周期现象的为（    ） ①闰年每四年一次；         ②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额；     ④某地每年6月份的平均降雨量． A．①②④ B．③④ C．①② D．①②③ 【变式3】（22-23高一上·广西桂林·期末）下列事件：①物体在重力作用下会自由下落；②方程有两个不相等的实数根；③下周一会下雨；④桂林生活广播电视台在某天某一节目播出时段内收到观众信息回复次数大于次.其中随机事件的序号为 . 题型02 事件的运算及其含义 【例2】（23-24高一下·山西大同·期末）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发 【变式1】（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知样本空间，事件，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·天津·期末）对于两个事件，则事件表示的含义是（    ） A．与同时发生 B．与不能同时发生 C．与有且仅有一个发生 D．与至少有一个发生 【变式3】（22-23高一下·河北衡水·期末）打靶3次，事件“击中发”，其中．那么表示 ． 题型03 写出基本事件 【例3】（22-23高一下·安徽合肥·期末）为了扎实推进“五大行动”，学校为高一年级同学准备了形式多样的劳动课程.有种植白菜、种植蕃茄、果树整枝和害虫防治4种课程，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．9 【变式1】（20-21高一下·湖南长沙·期末）从1，2，3，…，10这10个数中，任取3个数，那么“这3个数的和不大于8”这一事件包含的样本点的个数是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（20-21高一下·北京通州·期末）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为（    ） A．正面，反面 B．｛正面，反面｝ C．｛（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面）｝ D．｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝ 【变式3】（21-22高一下·山西太原·期末）一项关于运动与降低血压之间关联性的试验研究，试验将志愿者分为人数相等且为偶数的两组．第一组每天静坐小时，第二组每天快走小时．每组一半人服用降压药，另一半服用安慰剂．用、、和分别表示静坐的、快走的、服用降压药和安慰剂的志愿者．若从这些人中随机抽取人，则该试验的样本空间为 ． 题型04 计算古典概型问题的概率 【例4】（23-24高一下·江西景德镇·期中）将1枚硬币抛掷2次，恰好出现1次反面的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高一下·辽宁·期中）从3男2女5名志愿者中，抽取2名志愿者参加社区核酸检测秩序管理工作，则至少有1名女性志愿者参加的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·浙江台州·期中）冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为 . 【变式3】（23-24高一下·浙江台州·期中）国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人. (1)再从第二组和第五组中抽取的人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率； (2)若第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6，第3组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为40和6，据此估计这次参与调查的人中第2组和第3组所有人的年龄的方差. 题型05 有放回与无放回问题的概率 【例5】（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·河南郑州·期末）现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（23-24高一下·陕西咸阳·期末）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中有放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则2次抽到的卡片上的数字之和为5的概率为 ． 【变式3】（23-24高一下·天津·期末）抽取某车床生产的8个零件，编号为，，...，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品. (1)求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率. 题型06 根据古典概型的概率求参数 【例6】（21-22高一下·新疆乌鲁木齐·期末）从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则（    ） A．28 B．14 C．10 D．8 【变式1】（22-23高一下·江苏南京·期末）一个口袋中装有个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程次，共摸出红球次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（    ）个． A． B． C． D． 【变式2】（20-21高一下·江苏南京·期末）在一次机器人比赛中，有供选择的型机器人和型机器人若干，从中选择一个机器人参加比赛，型机器人被选中的概率为，若型机器人比型机器人多4个，则型机器人的个数为 . 【变式3】（20-21高一下·河北张家口·期末）已知袋子内装有大小质地完全相同的小球，其中2个红球，m个黄球，1个白球，若从中随机抽取一个小球，抽到每个小球的概率为. （1）求m的值； （2）若从中不放回地随机取出两个小球，求只有一个黄球的概率. 题型07 互斥事件的概率加法公式 【例7】（22-23高一下·山东烟台·期末）若随机事件，互斥，且，，则（    ） A．0 B．0.18 C．0.6 D．0.9 【变式1】（20-21高一下·陕西汉中·期末）甲、乙两人下棋，和棋的概率为，甲获胜的概率为，则甲不输的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·北京丰台·期末）设A，B是一个随机试验中的两个互斥事件，，，则 . 【变式3】（23-24高一下·湖南永州·期末）已知事件与事件发生的概率分别为，，且，则 . 题型08 利用互斥事件的概率公式求概率 【例8】（23-24高一下·山西大同·期末）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 【变式1】（22-23高一下·贵州贵阳·期末）已知事件，互斥，若，.则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21高一下·河南省直辖县级单位·期末）我国西部一个地区的年降水量在下列区间的概率如下表所示： 年降水量（mm） [100，150) [150，200) [200，250) [250，300] 概率 0.21 0.16 0.13 0.12 则年降水量在[200，300]（mm）范围内的概率为（    ） A．0.29 B．0.41 C．0.25 D．0.63 【变式3】（22-23高一下·广东东莞·期末）已知与为互斥事件，且，，则 ． 题型09 互斥事件与对立事件关系的辨析 【例9】（24-25高一上·贵州·期末）在7个除颜色外其他都相同的小球中，有3个红球，4个白球，从中任意取出3个小球，则事件“3个小球中至少有2个白球”的对立事件是（    ） A．3个小球中至多有1个白球 B．3个小球中至多有1个红球 C．3个小球都是红球 D．3个小球都是白球 【变式1】（23-24高一下·陕西西安·期末）有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（    ） A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．非互斥事件 D．以上都不对 【变式2】（22-23高一下·广东阳江·期末）从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．“至少有1件正品”与“都是次品” B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品” C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“都是正品”与“都是次品” 【变式3】（22-23高一下·山西朔州·期末）从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（    ） A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球 B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球 C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球 D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球 题型10 利用对立事件的概率公式求概率 【例10】（23-24高一下·河南商丘·期末）已知事件A和B互斥，且，，则 . 【变式1】（22-23高一上·安徽蚌埠·期末）2022年11月8日至13日第十四届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举行．歼-20､运-20和空警-500､轰-6K､红-9B等主战装备集中亮相，运油-20､歼-16､攻击-2无人机首次振翅中国航展，空军八一飞行表演队和空军航空大学“红鹰”飞行表演队劲舞长空，中国航展成为中国航空航天产业发展和国防实力最重要的展示平台，更是展示中国力量，彰显中国价值，弘扬中国精神的一个窗口，国产某型防空导弹的单发命中率为90%，为了确保对敌机的摧毁效果，实战中往往采取双发齐射的方式，则双发齐射的命中率为 ． 【变式2】（23-24高一下·宁夏固原·期末）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·河南南阳·期末）某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． (1)为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率； (2)为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求： ①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率． 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高一下·广东深圳·期中）一个射手进行射击，记事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．以上都不对 2．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）掷两枚质地均匀的正方体骰子，设出现的点数之和为S的概率是P，则P最大时S等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（24-25高一上·江西·期末）节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 二、多选题 5．（23-24高一下·重庆·期末）抛一枚质地均匀的硬币两次，事件“第1次硬币正面朝上”，事件“第2次硬币正面朝上”，事件“两次硬币朝上的面相同”则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·甘肃·期末）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的是（    ） A．①③⑤ B．②④⑥ C．①⑤⑥ D．③④⑦ 三、填空题 7．（23-24高一下·北京·期末）现有甲、乙、丙、丁、戊五种智慧黑板，某学校要从中随机选取3种作为教学工具备选，则其中甲、乙、丙中至多有2种被选取的概率为 . 8．（23-24高一下·内蒙古·期末）在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 四、解答题 9．（24-25高一上·北京·期末）国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表： 空气质量指数 300以上 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 由全国重点城市环境监测网获得某年2月1日至2月5日甲城市和乙城市的空气质量指数数据，用茎叶图表示如下： (1)从甲城市的数据中任取2个，求其中恰有1个数据对应空气质量等级为良的概率； (2)从甲城市和乙城市的数据中分别取1个，求这2个数据对应空气质量等级相同的概率； (3)试根据上面的数据，判断甲，乙两市空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果） 10．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖. (1)请以标号写出两次抽取小球的所有结果（其中x，y分别为第一、第二次抽到的小球标号）； (2)求两种规则下获得二等奖的概率； (3)请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由. 【能力提升】 一、单选题 1．（21-22高一下·福建福州·期末）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·安徽亳州·期末）从，，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，则这2个数的乘积不超过1的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河北·期末）下列说法正确的是（    ） A．互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 B．若，则事件A与事件B是对立事件 C．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为 D．事件A与事件B中至少有一个发生的概率不一定比A与B中恰有一个发生的概率大 4．（24-25高一上·陕西·期末）连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 二、多选题 5．（22-23高一下·安徽宣城·期末）从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则下列叙述正确的是（    ） A．取出的两个球同为红色和同为黑色是两个互斥而不对立的事件 B．至多有一个黑球与至少有一个红球是两个对立的事件 C．事件A＝“两个球同色”，则 D．事件B＝“至少有一个红球”，则 6．（23-24高一下·山东枣庄·期末）一个盒子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个绿球，1个黄球.若从中任取2个小球，则下列判断错误的是（    ） A．恰有一个红球的概率为 B．两个球都是红球的概率为 C．“有黄球”和“两个都是红球”互斥 D．“至少有一个绿球”和“至多有一个绿球”互为对立 三、填空题 7．（21-22高一上·江西景德镇·期末）我国古代的一些数字诗精巧有趣，又饱含生活的哲学，如清代郑板桥的《题画竹》》：“一两三枝竹竿，四五六片竹叶，自然淡淡疏疏，何必重重叠叠.”现从1，2，3，4，5，6中随机选取2个不同的数字组成，则恰好能使得的概率是 . 8．（23-24高一下·北京大兴·期末）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示， 一与六共宗居下，二与七为朋居上， 三与八同道居左，四与九为友居右， 五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数． 若从阳数和阴数中各取一数，则阳数大于阴数的概率为 ． 四、解答题 9．（24-25高一上·陕西·期末）连续抛掷一枚质地均匀的正方体形骰子2次，试求下列事件的概率： (1)两次掷出的点数相等； (2)两次掷出的点数之和为偶数． 10．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）袋中有6个大小和质地相同的小球，分别为黑球、黄球、红球，从中任意取一个球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或红球的概率是. (1)从中任取一个球，得到黑球、黄球、红球的概率各是多少？ (2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 11．（22-23高一上·江西吉安·期末）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果，算甲赢，否则算乙赢． (1)求的概率； (2)这种游戏规则公平吗？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$