7.1 数列的概念-2024-2025学年中职高二数学同步（高教版2021·拓展模块一下册）

第7章数列 7.1数列的概念 课程标准 素养解读 从日常生活和数学中的实例，经历数列的概 1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的 念的抽象过程，并在由数列的前几项归纳数 概念和表示方法（表格、图像、解析法） 列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽 2.了解数列是一种特殊函数 象素养和逻辑推理素养， 》 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 [知识点二]数列的分类 1978年底，中国共产党召开了具有转折 项数 数列，称为有穷数列：项数 意义的十一届三中全会，吹响了改革开放的号 数列称为无穷数列：所以项均为 角.至今，改革开放40多年，中国成功走完了 同一个数的数列称为 西方发达国家几百年才完成的工业化道路，经 [知识点三]数列的通项公式 济持续快速增长，综合国力位于世界前列，人 当一个数列的第n项a。与项数n之间的 民生活水平不断提高.2024年2月，国家统计 关系可以用一个式子表示成 局在其官网给出了2019~2023年国内生产总 那么这个式子称为这个数列的 值及其增长速度统计图.从这张统计图中你能 数列的通项公式就是相应 的解 获得哪些数据信息？ 析式. 亿元 2019-2023年国内牛产总慎及其州长速度 120000 20% 数列也可以看作定义域为 ☐内生总值 。比上年增的 1000G00 990865 91928 832036 (或其子集)的函数， 800000 746395 688858 口思考所有的数列都有通项公式吗？数列 600000 10% 0 6894 400000 的通项公式形式唯一吗？ 200000 2019T9 2020T 2021年 2022T 2023年 必备知识 [知识点一] 数列与数列的项 按照一定 排列的一列数叫作数 列，数列中的每一个数叫作这个数列的 [知识点四]数列的递推公式 数列的一般形式可以写成a1,a, 若已知数列的第一项a,(或前n项)且任一 a3…,an,…,简记为数列 ,其中 项a.与它的前一项a.1(或前几项)之间 a是数列的第1项，也叫数列的 的关系可以用一个关系式表示，则这个关 an是数列的第n项，n称为 系式称为数列的递推公式。 ·27· 世政学右辰模快（时 预习自测 3.已知数列{a,}的通项公式为a。= 1.以下说法正确的是 ( A.同一数列的任意两项均不可能相同 1-(-1)（n∈N),则该数列的前4项 q B.数列中的项与顺序无关 C.数列0,2,4,6，…可记为{2n},n∈N 依次为 ( D.数列0,1,2,3,4,5,6,7，…的第8项为7 A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 2.已知数列{a.}的通项公式an=3n一7，则它 的首项为 ( 1 1 D.2,0,2,0 A.-7B.-4 C.-1 D.2 C.2020 >》 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型一 数列的概念 [思路点拨了“先分析各数列中已知项的数 例1下列有关数列的说法，正确的是( 字特征的共性，通过观察、类比、猜想等写 ①数列1,2,3可能表示成{1,2,3}：②数列 出通项. 一1,0,1与数列1,0，一1是同一数列：③数列 (日)的第-1项是占④数列中的每一 n》 项都与它的序号有关 A.①②B.③④ C.①③ D.②④ [思路点拨]“依据数列的概念逐一判断. [尝试解答] 通法通性 {an}与am是不同的概念，前者表示a1,a2, a3…,am·…,而后者表示数列的第n项， 判断数列是有穷数列还是无穷数列的标准 是项数是有限的还是无限的， ◇[变式训练] 1.下列说法中，正确的是 ( A.数列0,2,4,6,8，…，2n是无穷数列 B.数列1,3,5,7,9，…的通项公式可记为an= 2m+1,n∈N C.数列2023,2024,2025,2026与数列 2026,2025,2024,2023是相同的数列 D.数列{a,}的通项公式a,= n+2025 n+2024 通法通性 m∈N,则它的第k项是1十十2024 此类问题主要靠观察（观察规律）、比较（比 较已知数列)、归纳、转化（转化为特殊数 题型二 求数列的通项公式 列)、联想（联想常见的数列）等方法求解， 例2 根据下面各数列的前几项，写出数列的 注意以下几个方面： 一个通项公式 (1)分式中分子、分母的特征； (1)号，37,1531 2’4’8'1632…9 (2)相邻项的变化特征； (3)各项的符号特征和绝对值特征： (2)6,66,666,6666,… (4)对于分式还可以考虑对分子、分母各个 )-1号-g日… 击破，或寻找分子、分母之间的关系. (4)3.1,79 (5)对于符号交替出现的情况，可用（一1） 2110'17… 或(-1)+1，k∈N+处理. 28· 第7章数列 ⊙[变式训练] 通法通性 2.观察下列数列的前4项，总结规律并写出该 判断某数值是否为该数列的项的方法 数列的一个通项公式 先假定它是数列中的第n项，然后列出关 (1)-1,2,-3,4,… 于n的方程.若方程解为正整数，则是数列 111 (2)1,234… 的一项；若方程无解或解不是正整数，则不 是该数列的一项。 ⊙[变式训练] 3.在数列{an}中，a1=2,a17=66,通项公式an 是n的一次函数. (1)求{a}的通项公式； (2)判断88是不是数列{a,}中的项？ 题型数列通项公式的应用 例3(1)设数列{a.}的通项公式为an n十写出数列{a,}的前5项. (2)已知数列{a,}的通项公式为am n(n+2) (n∈N+). 题型四 数列的递雅公式 ①计算a3十a,的值； 例4已知数列{an}中，a1=1981,且am= ②120是不是该数列中的项？若是，应为第 am-1十12，n≥2，写出这个数列的前5项. [思路点拨]把n=2,3,4,5逐一代入递推 几项？若不是，请说明理由 公式求解. [思路点拨](1)分别用1,2,3,4,5代换通 项公式中的n,再进行计算 (2)把20代入道项公式，解关于n的方程。 通法通性 如果给出数列的第1项或前几项，由数列 的递推公式可以求出整个数列. ⊙[变式训练] 4.已知在数列{an}中，a1=2,且a+1=an十2. 请写出该数列的前4项，并写出数列{an}的 一个通项公式 ·29· 世政学右辰模快（时 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.下列说法正确的是 ( ) 3.数列一2,1,4,7，…的一个通项公式为 A.-4,5,23不是数列 ( A.a=n-3 B.a=3n-5 B.数列{an}的前4项为1,2,3,4，则第5项 C.a,=n+3 D.an=3(n-2) 定是5 4.数列{am}中，am= n C.一1,1,3,5是无穷数列 数列的第7项是 D.数列0,2,4,6，…是无穷数列 +7 2.若数列{an}的通项公式an=n(n十1)，则它 ©温馨提 的第4项是 ( 学习至此，请完成配套训练 课时作业11 A.12B.20 C.21 D.30 7.2 等差数列 7.2.1等差数列的概念 课程标准 素养解读 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和 在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳 通项公式的意义， 出等差数列的通项公式的过程中，发展学生 2.体会等差数列与一元一次函数的关系。 的数学抽象和逻辑推理素养。 》 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 时，就称这样的数列为等差数列，称这 天坛集明清两代建筑技艺之大成，是古建 个常数为等差数列的 ,通常用字 筑珍品.它以深刻的文化内涵、宏伟的建筑风 母 表示. 格，成为中华民族古老文明的写照.圜丘坛是 ?思考 数列2,2,2,2，…是等差数列吗？ 举行冬至祭天大典的场所.圆丘为圆形，三层 坛制，每层四面出台阶各9级.上层中心为一 块圆石，外铺扇形石块9图，内图9块，以9的 倍数依次向外延展，栏板、望柱的数量也都是 9或9的倍数 石板以上层中心圆石为起点，第一圈为9 [知识点二]等差数列的通项公式 块，第二圈为18块，周围各圈直至底层，共9 首项是a1,公差为d的等差数列{an}的通 圈，均以9的倍数递增，如图所示，你能算出第 项公式为an= 9圈共有多少块石板吗？ [知识点三]等差中项 如果在a与b之间插入一个数A,使a,A,b 成等差数列，那么A称为a与b的 .如果A是a与b的等差中项，那么A 必备知识 a=b-A,所以A 显然，在一个 [知识点一]等差数列的概念 等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数 一般地，当一个数列从第二项起，每一项 列的末项除外)都是它的前一项与后一项 与它的 的差都等于 的等差中项. ·30·参考答案 3.A[因为∠DAC=∠ACB-∠D=60°-30°=30°， [例3][解]因为∠NBC=45°，∠A=30°， 所以△ADC为等腰三角形.所以AC=DC=100m, 所以∠C=15.由题意知AB=36X0.5=18(海里)， 在Rt△ABC中，AB=ACsin60°=50W3m.] 利用两角差的正弦公式得出sin15°=sin(45°-30) 课堂·互动学案 -6一巨在△ABC中，利用正孩定理可得 4 [例1][解]设∠AOB=a,在△ABC中，由余弦定理， 得AB=12+22-2X2cosa=5-4cosa,a∈(0，)，于是， BC-AB·snA_18sin30=9/6+234.8(海里). sin C sin 15 四边形OACB的面积为 所以B处到灯塔C的距离约为34.8海里. S=Sae+Sac=号OA:0B·sina+9AB 变式训练 3.解：在△ABC中，利用余弦定理可得 =号×2X1Xme+96-4me） AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC =3502+4502-2×350×450×cos60 =167500.则得AB=√167500≈409(m). =a-5cosa+号B=2sm(e-若）十号5 所以隧道AB的长度约为409m. [例4幻[解]如图所示，设预报时台风北D 国为0。<，所以当。一号-号0-名 中心为B,开始影响基地时台风中心为 C,基地刚好不受影响时台风中心为D, 即∠AOB=名元时，四边形OACB面积最大. 则B,C,D在一条直线上， AD=20 n mile,AC=20 n mile. 609 变式训练 由题意得AB=20(W3+1)n mile. 1.解：在△ABC中，由已知设AB=7x,AC=8x,x>0, DC=20√2 n mile,BC=10,√2(3+1)n mile. 由正孩定理得7红=8虹 在△ADC中，DC2=AD2+AC2,∴.∠DAC=90°， sin C sin B' ∠ADC=45°.在△ABC中，由余弦定理，得 mC-7zB名×4y5-9 coS∠BAC 8x 7 21 AC+AB-BC3 .C=60°(C=120°舍去，否则由8x>7x,知B也为钝角， 2AC·AB ,∠BAC=30 不合要求) ,B位于A的南偏东60°方向，60°+30°+90°-180 由余弦定理得(7x)2=(8x)2+152-2X8x×15cos60°， D位于A的正北方向.：∠ADC=45°， .x2-8.x+15=0,解得x=3或x=5. ∴台风移动的方向为向量C市的方向，即北偏西45方向 .AB=21或AB=35. 故台风的移动方向为北偏西45°方向. 变式训练 在△ABD中，AD=ABsin B=4y5AB, 4.解：在△ABC中，∠ABC=155°-125°=30°，∠BCA= 180°-155°+80°=105°，∠BAC=180°-30°-105°=45°， .AD=123或20√3. BC= 号×50=25（海里），由正孩定现，得S= [例2][解]如图，作OE=F,将F沿A到O,O到B两个方 5,解得AC=25(年卫.即比时货格与灯琴同的 BC 向进行分解，即作□OCED,则OD=CE-F1,OC=一F2: 2 70 死商为5拳卫 随堂·步步夯实 50 1.D[由题意知，在△ABC中， 509 AB=10(n mile),A=60°，B=75°， 则C=180°-A-B=45° B 由正孩定理，得BC=ABsin A_10sin60 sin C sin45° 由题设条件可知，1OE引-10，∠OCE-50°，∠OEC-70°， =5√6(n mile).] 所以∠C0E=180°-50°-70°=60°， 2.A[根据实际情况，a,3都是不易测量的数据，在△ABC 在△OCE中，由正孩定理，得F=IEL,FL 中，a,b可以测得，角Y也可测得，根据余弦定理能直接求 sin50°sin60'sin50° 出AB的长.门 3.D[由余弦定理得AC2=AB2十BC2-2AB· s5in0因此E=10in80≈11.3，/F/=0n70° sin50° sin50° BCcos∠ABC=102+202-2×10×20×cos120°=700， ≈12.3，故杆OA所受的拉力为11.3N,杆OB所受的压 所以AC=10√7(km).] 力为12.3N. 4解析：将1=代入关系式，得到1=5sin(100+弩) 变式训练 2.解：F3应和F1,F2的合力F平衡，所以F3 =5sin(10x×20+号）=2.5，即1=2.5A 和F在同一直线上，并且大小相等，方向 答案：2.5A 相反。 第7章数列 如图，在△OFF中，由余弦定理，得 7.1数列的概念 F=/302+502-2×30×50cos120°-70(N). 课前·预习学案 再由正孩定理，得sin∠F1OF=50sin120 必备知识知识点一 70 次序项 {an}首项项数 -,所以∠ROF≈38.2 知识点二 有限的无限的常数列 从而∠F1OF3≈141.8. 知识点三 am=f(n)通项公式函数正整数集N+ ·87· 世数学拓展模块(J下) 思考提示：不是所有的数列都能写出通项公式，若数列有 变式训练 通项公式，形式也不是唯一的. 预习自测 3.解：(1)设a,=km十6(k≠0)，则a1=6十b=2, 1a17=17k+b=66, 1.D[A错误，例如无穷个3构成的常数列3,3，…，3，…： B错误，数列中的项与顺序有关：C错误，数列0,2,4， 解得62，i,=n-2neN 6,…的首项为0，数列{2n},n∈N+的首项为2，D正确.] (2)令am=88,即4n-2=88,解得n=22.5任N+, 2.B[,am=3n-7,.首项a1=3×1-7=-4,] ∴88不是数列{an}中的项. 3.B[把m=1,2,3,4分别代入n=1-（-1) 一中，依次 [例4][解]a1=1981,a2=a1+12=1981+12=1993, 2 得到0,1,0,1.] a3=a2+12=1993+12=2005,a4=aa+12=2005+12 课堂·互动学案 =2017,a5=a4+12=2017+12=2029. 变式训练 [例1][解析]①错误，数列和集合是不同的概念；②错 误，数列一1,0,1与数列1,0，一1是不同的数列. 4.解：根据题意，a1=2,a2=a1+2=2+2=4,a3=a2十2 =4十2=6，a4=a3十2=6十2=8，所以an=2n. [答案]B 变式训练 随堂·步步夯实 1.D[对于A项，0,2,4,6,8，…，2n是有穷数列，A错误； 1.D[A中-4,5,2w5是数列：B中数列的第5项不一定 对于B项，数列通项公式应为am=2n一1，n∈N+,B错 误；对于C项，两数列对应的各项不相同，故不是同一数 为5：C中的数列是有穷数列，D显然正确.] 列C错误1时于D项a--子 2.B[a4=4×(4+1)=4×5=20.] 3.B[-2=3×1-5,1=3×2-5,4=3×3-5, 1 1 7=3×4-5,….am=3m-5.] =1+n+2024,故a%=1++2024D正确.] 7249 [例2][解](1)这个数列前5项中，每一项的分子比分 4.解析：a1=72+150 母少1，且分母依次为21,22,23,24,25，所以它的一个通 答案：50 9 项公式为a=2”2n,n∈N+ 7.2等差数列 (2)这个数列的前4项可写为号(10-1D,号(102-1D, 7.2.1等差数列的概念 课前·预习学案 号(103-1D,号（10-1，所以它的-个道项公式为 必备知识知识点一 前一项同一个常数公差d a.-g10-10=号10-1DneN4 思考提示：2,2,2,2，…也是等差数列，它的公差为0.公差 (3)这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对 为0的数列称为常数列. 值可看作分母依次为1,2,3,4,5,6，分子依次为1,3,1,3， 知识点二 1,3,所以它的一个通项公式为 a1+(n-1)d 「-1 知识点三 ,n=2k-1,k∈N+, 等差中项 a十b 3 2 ,n=2k,k∈N+. n 预习自测 0将数列变形为号，吾品品，对于分子3,57， 1.B[数列①，④是等差数列.] 2.C[am=1-3n,.a1=-2,a2=-5, 9,…,可得分子的通项公式为bn=2n十1，对于分母2,5， .d=a2-a1=-3.] 10,17,…,联想到数列1,4,9,16，…，可得分母的通项公 式为cm=n2十1，所以原数列的一个通项公式为am= 3.B[3和7的等差中项为3十7=5.] 2 2n+1(m∈N+). 课堂·互动学案 n2+1 [例1][解析]A中，数列是公差为一2的等差数列： 变式训练 B中，a-1-a=a-2-(a-1)=a-3-(a-2)=-1,是公差 2.解：(1)观察可知数列的前4项的绝对值是项数n,且奇数 为-1的等差数列；C中，a+1一an=2(n+1)十1-2m-1=2 项为负数，偶数项为正数，故数列的一个通项公式为an= 为常数，是等差数列：D中，a2一a=0,an一am-1= (-1)·n. 2(n≥3)，数列{an}不是等差数列. (2)规察可知数列的前4项是项数n的倒数，故数列的一 [答案]C 个通项公式为@，=品 变式训练 1.D[由等差数列的定义得，A项，d=0,故是等差数列； 11 2 2 [例3】[解](1)a1=1中1-2a2=2千1=3 B项，d=3,故是等差数列；C项，d=弓，故是等差敛到 33 44 55 a3-3+=4a4=4十干市-5a55千=6 D项，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差 数列.门 1 1 1 (2)0:a,=nm+2②n∈N+,ag=3X5=, [例2][解]设{a.}的通项公式是an=a41十(n-1)dn∈N+), a,=6-a+a,=言+会揚 14113 由已知得a=a1十d二-20，解得0=一16， 1a20=a1+19d=-35, 1d=-1. @若品为数列a,)中的项，则十万= 1 故数列{an}的通项公式为an=一16十(n一1)（一1） =-15-n,n∈N+. .n(n+2)=120,.n2+2n-120=0, 变式训练 ,∴.n=10或n=一12（舍）， 2.解：因为a4=8,a10=20,所以由an=a1+(n-1)d, 即20是数到a,}的第10项. 可得a1+3d=8,a1+9d=20,解得a:=2,d=2. 所以a20=a1+(20-1)d=40. ·88