6.5 三角计算的应用-2024-2025学年中职高二数学同步（高教版2021·拓展模块一下册）

世数学拓展模块(J下 6.4.3余弦定理 所以a2-b=2或a2-b2=-c2, 课前·预习学案 即2+c2=a2或a2+c2=b2 必备知识知识点一 所以△ABC是直角三角形. 其他两边的平方和夹角的余弦乘积b2+c2一2 bccos A （2)证明：右边=2次.+c2-d2+2ac.。2+2-世+2ab b2+c2-a2 2bc 2ac a2+c2-2accos B a2+62-2abcos C 2bc a2+c2-b2a2+b2-c2 a2+#-2=b+2-a2+a2+2-+a2+-c2 2ab 2ab =a2+b2十2=左边.故等式成立. 思考提示：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定 变式训练 理是余弦定理的特例 3.解：依题意，设a=(3十1)x,b=√6x,c=2x, 预习自测 则a>b>c,.∠A最大，∠C最小 1.C[2=a2+6-2 abeosC=9+4-2X3×2x2=7. cos A=+-a2_-6z2+42-4+23r 2bc .=√7.] 2XV6x×2x 2.A [a2=62+c2-2bccos A _6-23>0.∠A为锐角， =36+16-2×6×4×号=36.∴a=6.] 46 3.D[,a=2,b=3,c=4,∴c>b>a, 六△ABC为锐角三角形.cosC-2+-c 2ab .C>B>A,∴∠C是最大角， osC-+2-纹82×-] =3+1)x2+6x2-4z2=2 2X(3+1)xX√6x2 2ab 2×2×3 课堂·互动学案 ∴∠C=45°.最小角C的大小为45°.] [例1][解](1)由余弦定理，得b2=a2+c2-2 accos B 随堂·步步夯实 =(2W3)2+(W6+√2)2-2×(W6+√2)×23×cos45°-8， 1.C[因为cosB=52+82-721 2X5X8=2,所以∠B=60°.] 所以b=2瓦.由cosA=2+c2-a2 2.D[由余弦定理得：c2=a2+b-2 abcos C 2bc 得0sA=2②)2+(6+2)2-(2③21 =16+36-2×4×6c0s120°=76，所以c=2√19.] 3.B[因为bcos A=acos B, 2×2√2×（√6+√2） 因为0°<A<180°，所以A=60° 所以6.+=a,2+-公 2bc 2ac (2)由余弦定理b2=a2+2-2 accos B, 所以b2十c2-a2=a2+c2-b2.所以a2=b2 得32=a2+(33)2-2X3√3a×cos30°， 所以a=b.故此三角形是等腰三角形.] 即a2-9a+18=0,所以a=6或a=3. 4.解析：因为c2=a2+b2-2 abcos C 变式训练 1.解：由余弦定理可得b2=a2+c2-2 accos B =22+32-2×2×3×}=9,所以c=3. 3 =62+82-2×6×8×c0s60° 答案：3 =100-48=52,所以b=2√13. 6.5三角计算的应用 [例2][解](1)cosA=AC+AB2-BC 课前·预习学案 2AB·AC 必备知识知识点一 =4+(3+1)2-2-区 a C 2×2×(5+1)21 1.sin A sin B sin C ,角A是三角形的一个内角，∠A=30° 2.a2=62+c2-26ccos A b2=a2+c2-2accos B (2)在△ABE中， c2=a2+62-2abcos C BE2=AB2+AE2-2·AB·AE·cosA =5+1D2+(侵}了-2x65+DX1Xeos0 3.absin Cesinacsin B 1 预习自测 =2+3,∴BE-√2+5=6+2 1.B[如图，因△ABC为等腰三角形，所 2 变式训练 以∠CBA=2(180°-80)=50， 2.解：因为在三角形中大边对大角，小边对小角，由于a<b 60°一50°=10°.故灯塔A在灯塔B的北 <c,所以∠C最大，∠A最小可得cosA=+c2-a 偏西10°.门 2bc 2.B[由题意知SM=20海里， =72+102-62 2X7X10≈0.8071， ∠SMB=15°，∠BMN=30°， ∠SNA=45°， c0sC=2+b2-c2_62+72-102 .∠NMS=45°，∠MNA=90°-∠BMN=60°， ≈-0.1786， 2ab 2×6×7 ∠SWM=105°，∴.∠MSN=30°， 所以∠A≈36°，∠C≈100°. ,sin105°=sin(60°+45) [例3][解](1)由余弦定理，得 a.+a2+6.2+a-=c.2+-正 =sin60'cos45°+c0s60°sin45°=6+2 4 2bc 2ca 2ab ∴.在△MNS中利用正弦定理可得， 所以a2(b2+c2-a2)+b2(c2+a2-b2) =c2(a2+b-c2), in30in105,解得MN=10(6-②)海里， MN 20 a2(b2-a2)+a2c2+b2(a2-b2)+b2c2 =c2a2+bc2-c,即(a2-b2)2=c, ÷货轮船行造度=10(6-②n mile/h.] 3 ·86· 参考答案 3.A[因为∠DAC=∠ACB-∠D=60°-30°=30°， [例3][解]因为∠NBC=45°，∠A=30°， 所以△ADC为等腰三角形.所以AC=DC=100m, 所以∠C=15.由题意知AB=36X0.5=18(海里)， 在Rt△ABC中，AB=ACsin60°=50W3m.] 利用两角差的正弦公式得出sin15°=sin(45°-30) 课堂·互动学案 -6一巨在△ABC中，利用正孩定理可得 4 [例1][解]设∠AOB=a,在△ABC中，由余弦定理， 得AB=12+22-2X2cosa=5-4cosa,a∈(0，)，于是， BC-AB·snA_18sin30=9/6+234.8(海里). sin C sin 15 四边形OACB的面积为 所以B处到灯塔C的距离约为34.8海里. S=Sae+Sac=号OA:0B·sina+9AB 变式训练 3.解：在△ABC中，利用余弦定理可得 =号×2X1Xme+96-4me） AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC =3502+4502-2×350×450×cos60 =167500.则得AB=√167500≈409(m). =a-5cosa+号B=2sm(e-若）十号5 所以隧道AB的长度约为409m. [例4幻[解]如图所示，设预报时台风北D 国为0。<，所以当。一号-号0-名 中心为B,开始影响基地时台风中心为 C,基地刚好不受影响时台风中心为D, 即∠AOB=名元时，四边形OACB面积最大. 则B,C,D在一条直线上， AD=20 n mile,AC=20 n mile. 609 变式训练 由题意得AB=20(W3+1)n mile. 1.解：在△ABC中，由已知设AB=7x,AC=8x,x>0, DC=20√2 n mile,BC=10,√2(3+1)n mile. 由正孩定理得7红=8虹 在△ADC中，DC2=AD2+AC2,∴.∠DAC=90°， sin C sin B' ∠ADC=45°.在△ABC中，由余弦定理，得 mC-7zB名×4y5-9 coS∠BAC 8x 7 21 AC+AB-BC3 .C=60°(C=120°舍去，否则由8x>7x,知B也为钝角， 2AC·AB ,∠BAC=30 不合要求) ,B位于A的南偏东60°方向，60°+30°+90°-180 由余弦定理得(7x)2=(8x)2+152-2X8x×15cos60°， D位于A的正北方向.：∠ADC=45°， .x2-8.x+15=0,解得x=3或x=5. ∴台风移动的方向为向量C市的方向，即北偏西45方向 .AB=21或AB=35. 故台风的移动方向为北偏西45°方向. 变式训练 在△ABD中，AD=ABsin B=4y5AB, 4.解：在△ABC中，∠ABC=155°-125°=30°，∠BCA= 180°-155°+80°=105°，∠BAC=180°-30°-105°=45°， .AD=123或20√3. BC= 号×50=25（海里），由正孩定现，得S= [例2][解]如图，作OE=F,将F沿A到O,O到B两个方 5,解得AC=25(年卫.即比时货格与灯琴同的 BC 向进行分解，即作□OCED,则OD=CE-F1,OC=一F2: 2 70 死商为5拳卫 随堂·步步夯实 50 1.D[由题意知，在△ABC中， 509 AB=10(n mile),A=60°，B=75°， 则C=180°-A-B=45° B 由正孩定理，得BC=ABsin A_10sin60 sin C sin45° 由题设条件可知，1OE引-10，∠OCE-50°，∠OEC-70°， =5√6(n mile).] 所以∠C0E=180°-50°-70°=60°， 2.A[根据实际情况，a,3都是不易测量的数据，在△ABC 在△OCE中，由正孩定理，得F=IEL,FL 中，a,b可以测得，角Y也可测得，根据余弦定理能直接求 sin50°sin60'sin50° 出AB的长.门 3.D[由余弦定理得AC2=AB2十BC2-2AB· s5in0因此E=10in80≈11.3，/F/=0n70° sin50° sin50° BCcos∠ABC=102+202-2×10×20×cos120°=700， ≈12.3，故杆OA所受的拉力为11.3N,杆OB所受的压 所以AC=10√7(km).] 力为12.3N. 4解析：将1=代入关系式，得到1=5sin(100+弩) 变式训练 2.解：F3应和F1,F2的合力F平衡，所以F3 =5sin(10x×20+号）=2.5，即1=2.5A 和F在同一直线上，并且大小相等，方向 答案：2.5A 相反。 第7章数列 如图，在△OFF中，由余弦定理，得 7.1数列的概念 F=/302+502-2×30×50cos120°-70(N). 课前·预习学案 再由正孩定理，得sin∠F1OF=50sin120 必备知识知识点一 70 次序项 {an}首项项数 -,所以∠ROF≈38.2 知识点二 有限的无限的常数列 从而∠F1OF3≈141.8. 知识点三 am=f(n)通项公式函数正整数集N+ ·87·世数学拓展膜快（©J下 题型三 余弦定理的应用 通法通性 例3(1)在△ABC中，已知acos A+bcos B (1)判断三角形形状的基本思想要从“统 =ccos C,试判断△ABC的形状， 一”入手，化边为角或化角为边，体现转 (2)在△ABC中，求证：a2+b+c2 化思想 =2(bccos A++cacos B+abcos C) (2)利用余弦定理证明三角恒等式的关键 配思路点拨](1)根据余弦定理，把角化为 证明三角恒等式关键是消除等号两端 边即可判断 三角函数式差异.形式上一般有左→ (2)根据余弦定理，从右向左证明 右、右之左或左之中←右三种： ⊙[变式训练] 3.在△ABC中，a:b:c=(3+1):√6：2，判断 △ABC的形状并求出三角形的最小角， 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基因本 1.在△ABC中，已知a=5,b=7,c=8,则∠B A.等边三角形 B.等腰三角形 等于 ( C.直角三角形 D.锐角三角形 A.30°B.45 C.60° D.90° 2.在△ABC中，已知a=4,b=6,∠C=120°， 4.在△ABC中，已知a=2,b=3,cosC= 则 则边c的值是 边c长为 A.8 B.217 C.62 D.2√19 C温馨提西 3.在△ABC中，若bcos A=acos B,则△ABC是 学习至此，请完成配套训练 课时作业9 ( 6.5 三角计算的应用 课程标准 素养解读 通过本节实例的学习，学会将实际问题转化为数学 运用三角计算公式、正弦定理、余弦定 问题，实现数学建模.通过学习逐步提升数学抽象、 理解决生产生活中的实际问题 数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 必备知识 三角计算广泛应用于生活、生产实践和科 [知识点一]三角形中的几何计算的有关知识 学研究等诸多方面，能帮助人们解决很多实际 1.正弦定理 问题.本节将介绍三角计算在面积问题交流电 =2R(R 的电压问题、测量与计算问题等方面的应用 为△ABC的外接圆半径). ·22· 第6章三角计算 2.余弦定理 名称 定义 图示 北 →c0sA= 2+c2-a2 从指定方向线到 西 2bc 目标方向线的水 目标方向线 609 →c0sB=a2+2-6 平角（指定方向 多 方 2ac 线是指正北或正 南偏西60°（指 南或正东或正 以正南方向为 始边，转向目标 →cosC= a2+b2-c2 西，方向角小 2ab 于90). 方向线形成 3.三角形的面积公式 的角) S 预习自测 1.已知两座灯塔A,B与海洋观察站C的距离 4.重要结论 相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯 (1)在△ABC中，若∠A,∠B,∠C所对的边 塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在 分别是a,b,c,则sinA:sinB:sinC 灯塔B的 A.北偏东10 B.北偏西10 -a:b:c. C.南偏东10° D.南偏西10 (2)在△ABC中，若∠A,∠B,∠C所对的边 2.一货轮航行到M处，测得灯 分别是a,b,c,且∠A>∠B>∠C,则a> 塔S在货轮的北偏东15°，与 b>c. 灯塔S相距20 n mile,随 0 (3)在△ABC中，给定∠A,∠B的正弦或余弦 后货轮按北偏西30°的方 值，则∠C有解的充要条件是cosA+ 向航行3h后，又测得灯塔 cos B>0. 在货轮的东北方向，则货 (4)在△ABC中，sin(A+B)=sin(π-C) 轮的速度为 A6+②nmie/h [知识点二] 实际测量中的有关名称、术语 B.(6-2)n mile/h 名称 定义 图示 cg,6+③n mile//h 在同一铅垂平面 内，视线在水平 视线 D.3)n mile/h 仰角 铅 仰角 线上方时与水平 水平线 3.如图，D,C,B三点在地面 线的夹角 同一直线上，DC=100m, 从C,D两点测得A点仰 在同一铅垂平面 角分别是60°，30°，则A点 30 A60° 内，视线在水平 俯角 铅俯角水平线 离地面的高度AB= ( 线下方时与水平 视线 A.503 m B.1003m 线的夹角. C.50m D.100m ·23· 数学拓展膜快(d下时 》 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型一正、余弦定理在九何中的应用 题型二正、余弦定理在力学中的应用 例1如图所示，半圆O的直径为2，A为直 例2如图，墙上有一个三角形 径延长线上的一点，OA=2,B为半圆上任 灯架OAB,灯所受的重力为 a70 50 0 意一点，以AB为一边作等边三角形ABC, 10N,且OA、OB都是细杆， 问：点B在什么位置时，四边形OACB的面 只受沿杆方向的力.试求杆 B 积最大？ OA、OB所受的力. 汇思路点拨了作出示意图，根据力的平衡性 构造三角形，利用正余弦定理求解 思路点拨]在△ABC中，利用余弦定理 求AB,Sg地带OACB=S△OB十S△ABC,利用三 角形的面积公式求解， …通法通性 在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成 与分解问题时，通常涉及到平行四边形，根 据题意，选择一个或几个三角形，然后通 通法通性 过解这些三角形，得出实际问题的解。 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学 ◇[变式训练] 会审题及根据题意画示意图，要懂得从所 2.作用于同一点的三个力F1,F2,F3平衡.已 给的背景资料中进行加工、抽取主要因素， 知F1=30N,F2=50N,F与F2之间的夹 进行适当的简化， 角是60°，求F,的大小与方向（精确到0.1）. ⊙[变式训练] 1.如图所示，在△ABC中，已知 BC=15,AB AC=7:8,sin B =4,求BC边上的商AD 的长 ·24· 第6章三角计算 题型三 测量距离问题 ⊙[变式训练] 例3一艘船以每小时36海里的N1 3.修筑道路需挖掘隧道， 速度向正北方向航行，在A处 在山的两侧是隧道口A 459 观察到灯塔C在船的北偏东 B 和B,在平地上选择适合 30°方向，0.5小时后船行驶到 309 测量的点C,如图所示， 人60 B处，此时灯塔C在船的北偏 如果已知∠C=60°， 东45°方向，如图所示，求B处到灯塔C的 AC=350m,BC=450m,试计算隧道AB 距离. 的长度（精确到1m). 汇思路点拔]应用正余弦定理解决实际问 题时要找准所对应的边和角. 题型四 测量角度问题 例4某海上养殖基地A接到气象部门预报， 位于基地南偏东60°方向，相距20(+1)n mile的海面上有一个台风中心，影响半径为 20 n mile,正以l0√2 n mile/h的速度沿某 一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基 地东北方向刮过且(3+1)h后开始影响基 地，持续2h.求台风移动的方向， 汇思路点拔了“正确做出图形构造三角形 求解。 …通法通性 测量距离问题的解题思路 测量距离问题一般分为三种类型：两点间 不可达又不可视，两点间可视但不可达，两 点都不可达.解决此类问题的方法是选择 合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转 化为求某个三角形的边长问题，从而利用 正、余弦定理求解，构建数字模型时，尽量 把已知元素放在同一个三角形中， ·25· 世数学拓展模快（创） -通法通性 点处，观测到灯塔A的方位 北 125 155 解决测量角度问题的基本思路 角为80°.求此时货轮与灯塔 之间的距离（得数保留最简 (1)首先明确题中所给各个角的含义，然后 80 分析题意，分析已知与所求，再根据题 根号). 意画出正确的示意图，这是最关键、最 主要的一步。 (2)将实际问题转化为可用数学方法解决 的问题后，要正确使用正弦、余弦定理 解决问题。 ⊙[变式训练] 4.如图，货轮在海上以50海里每小时的速度 沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向 线的水平角)为155°的方向航行.为了确定 船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为 125°.半小时后，货轮到达C 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.海上有A、B两个小岛相距10 n mile,从A 3.已知A,B两地的距离为10km,B,C两地 岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C 的距离为20km,现测得∠ABC=120°，则 岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 A,C两地的距离为 ( A.10√3 n mile B.106 A.10 km B.√3km 3 n mile C.5√2 n mile D.5√6 n mile C.10√5km D.10√7km 2.如图，为了测量隧 4.电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的关 道两口A,B之间 的长度，对给出的 系式是I=5sin C 100u+，则当1=200 四组数据，计算时要求最简便，测量时要求 时，电流I为 最容易，应当采用的一组是 ( A.a,b,Y B.a,b,a C温提西 学习至此，请完成配套训练 课时作业10 C.a,b,B D.a,B,a ·26·