6.4.3 余弦定理-2024-2025学年中职高二数学同步（高教版2021·拓展模块一下册）

世数学右辰模快a时 6.4.3余弦定理 所以a2-b=c2或a2-b2=-2, 课前·预习学案 即b2+e2=a2或a2+c2=2 必备知识知识点 所以△ABC是直角三角形. 其他两边的平方和夹角的余弦乘积2+c2一2 bccos A （2)证明：右边=2%.+2d2+2ac.42+-+2ab· 2 a2+c2-2accos B a2+62-2abcos C b2+c2-a2 2ac 2be a2+2-b2a2+2-2 a2+f-c=b+e2-a2+a2+c2-2+a2+2-e 2ab 2ac 2ab =a2+2十e2=左边.故等式成立. 思考提示：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定 变式训练 理是余弦定理的特例. 3.解：依题意，设a=(3十1).x,b=√6.x,c=2.x, 预习自测 则a>b>e,∠A最大，∠C最小 1.C[2=a2+-2 aeosC=9+4-2X3×2x号=7. cosA-+c2-a2_6r2+42-4+25x2 2be .c=7.] 2×√6.x×2x 2.A [a2=62+c2-2bccos A _6-23>0.∠A为锐角， =36+16-2×6×4×号=36.a=6.] 4√6 3.D[:a=2,b=3,c=4.∴c>b>a, 六△ABC为锐角三角形.cosC=a2+-正 2ab .C>B>A,∠C是最大角， sc-+C-缺2×9-】 -3+1)x2+62-4x2-2 2ab 2×2×3 2X(3+1)xX6x2 课堂·互动学案 ∠C=45.最小角C的大小为45.] [例1][解](1)由余孩定理，得2=a2+c2-2 accos B 随堂·步步夯实 =(23)2+(W6+2)2-2×(6+2)×25×c0s45°=8， 1.C[因为cosB= 52+82-721 2X5X8=2,所以∠B=60°.] 所以b=22.由cosA=+c2-a 2.D[由余弦定理得：c2-a2+b-2 abcos C 2be 得0sA=22)2+(6+22-(23)2 -16+36-2×4×6cos120°-76，所以c-2√19.] 3.B[因为beos A=acos B, 2×22×(√6+2) 2. 因为0°A<180°，所以A=60 所以.+a=a,心+- 2bc 2ac (2)由余弦定理b2=a2+c2-2 accos B, 所以b2+c2-a2=a2+c2-2所以a2=b2. 得32=a2+(33)2-2×3√3a×c0s30°， 所以a=b.故此三角形是等腰三角形.] 即a2-9a+18=0,所以a=6或a=3. 4.解析：因为c2=a2+b2-2 abeos C 变式训练 1.解：由余弦定理可得=a2+c2-2 accos B =2+32-2×2×3×号=9，所以c=3. 3 =62+82-2×6X8×cos60 答案：3 =100-48=52,所以b=2√/13. 6.5三角计算的应用 [例2][解](1)cosA=AC+AB2-BC 课前·预习学案 2AB·AC 必备知识知识点一 =4+(3+1)2-2-3 b C 2×2×(3+1)21 1.sin A sin B sin C :角A是三角形的一个内角，∠A=30° 2.a2=62+c2-2bccos A b2=a2+c2-2accos B (2)在△ABE中， e2=a2+b2-2abcos C BE2=AB2+AE2-2·AB·AE·cosA 1 =5+1+(侵 2 -2×(W3+1)×1×cos30 3.asin Cesin Asin B 预习自测 =2+3∴BE=√2+5=6+2 1.B[如图，因△ABC为等腰三角形，所 2 变式训练 以∠CBA=2(180°-809)=50， 2.解：因为在三角形中大边对大角，小边对小角，由于<b 60°一50°=10°.故灯塔A在灯塔B的北 <c,所以∠C最大，∠A最小.可得cosA=士2-a 偏西10°.门 2bc 2.B[由题意知SM=20海里， =72+102-62 2×7×10≈0.8071. ∠SMB=15,∠BMN=30°， ∠SNA=45°， osC2+c_6+72102≈-0.1786， ∴.∠NMS=45°，∠MNA=90°-∠BMN=60°.， 2ab 2×6×7 ,.∠SNM=105°，..∠MSN=30°， 所以∠A≈36°，∠C≈100°. .sin105°=sin(60°+45) [例3][解](1)由余孩定理，得 a.+-a+b.2+a2- =c·g2+2-c2 =sin60'cos45+cos60°sin45°=6+2 2bc 2ca 2ab .在△MNS中利用正弦定理可得， 所以a2(62+2-a2)+b2(c2+a2-b2) n30=sin105·解得MN=10(,6-2)海里， MN 20 =c2(a2+b2-c2), a2(b2-a2)+a2c2+b2(a2-b2)+e2 =c2r2+b2c2-c4,即(a2-b2)2=c, 货轮船行速度=106，-2 mile/h.] 3 ·86·世政学右辰模快（时 6.4.3 余弦定理 课程标准 素养解读 L.通过推导余弦定理、主要培养逻辑推理核心 1.掌握余弦定理及证明余弦定理的方法， 素养 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形 2.通过运用余弦定理解三角形，主要提升数学 问题 运算核心素养 》 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 ?思考 余弦定理与勾股定理之间有何 △ABC中常用∠A、 联系？ ∠B、∠C表示三个角，用a、 b、c分别表示这三个角的对 边.根据已知条件求三角形 的边和角的过程称为解三角形， 在生产实践和科学研究中，经常会遇到解 三角形的问题.余弦定理反映了任意三角形中 边和角之间的数量关系，是解三角形的重要工 具.下面我们来看，已知三角形的两边及其夹 [知识点二]余弦定理的应用 角，如何求第三边。 L.已知三角形的两边及其夹角（或一边的对 必备知识 角)，求第三边和其余两角. [知识点一] 余弦定理及其变形 2.已知三角形的三边，求三个角. 3.判断三角形形状。 三角形任何一边的平方等于 预习自测 文字 减去这两边与 1.在△ABC中，若a=3,b=2,∠C=60°，则c 表述 它们 的 等于 () 两倍 A.2 B.2√2 C.7 D.27 a2= 公式 2.在△ABC中，若b=6,c=4,cosA= 则a b2= 表达 等于 () c2- A.6 B.4 C.6 D.8 cos A= 3.已知△ABC的三边a=2,b=3,c=4,则最 变形 cos B= 大角的余弦值为 ) cos C= A.i c.- 2 D.- ·20· 第6章三角计算 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型一己知两边及二角解三角形 题型三 范知三角形的兰边求角 例1 在△ABC中， 例2 如图所示，在△ABC (1)已知a=2√3，c=√6+2，B=45°，求b 中，AB=3+1,AC=2, 及A: BC=2,求： (2)已知b=3,c=3√3，B=30°，求边a. (1)三角形的内角A: 汇思路点拨](1)直接利用余弦定理求解. (2)AC边上的中线BE的长， (2)利用余弦定理，构造关于a的一元二次 汇思路点拨]已知三边的长度，根据余弦定 方程 理可以求出三边所对应的角；在△ABE中， 由AB,AE和∠A可以求BE的长. 通法通性 已知三角形的两边及一角解三角形的方 法，已知三角形的两边及一角解三角形，必 通法通性 须先判断该角是给出两边中一边的对角， 已知三边求解三角形策略 还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹 (1)已知三边求角的基本思路是利用余弦 角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两 定理的推论求出相应角的余弦值，值为 边中一边的对角，可以利用余弦定理建立 正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思 一元二次方程，解方程求出第三边， 路清晰，结果唯一 ⊙[变式训练] (2)若已知三角形的三边的关系或比例关 1.已知在△ABC中，∠B=60°，a=6,c=8, 系，常根据边的关系直接代入化简或利 求b的值. 用比例性质，转化为已知三边求解. ⊙[变式训练] 2.在△ABC中，a=6,b=7,c=10,求△ABC 中的最大角和最小角（精确到1）. ·21· 世数学拓辰候快(G时 题型 余弦定理的应用 通法通性 例3(1)在△ABC中，已知acos A+bcos B (1)判断三角形形状的基本思想要从“统 =ccos C,试判断△ABC的形状. 一”入手，化边为角或化角为边，体现转 (2)在△ABC中，求证：a2+b+c 化思想 =2(bccos A+cacos B+abcos C). (2)利用余弦定理证明三角恒等式的关键 [思路点拨](1)根据余弦定理，把角化为 证明三角恒等式关键是消除等号两端 边即可判断， 三角函数式差异.形式上一般有左→ (2)根据余弦定理，从右向左证明 右、右之左或左→中←右三种. ⊙[变式训练] 3.在△ABC中，a:b:c=(3+1):√6：2，判断 △ABC的形状并求出三角形的最小角. 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.在△ABC中，已知a=5,b=7,c=8,则∠B A.等边三角形 B.等腰三角形 等于 ( C.直角三角形 D.锐角三角形 A.30°B.45 C.60 D.90 2.在△ABC中，已知a=4,b=6,∠C=120°， 4在△ABC中，已知a=2,b=3,0sC=3则 则边c的值是 边c长为 A.8 B.217 C.62 D.2/19 3.在△ABC中，若bcos A=acos B,则△ABC是 ©温器提西 学习至此，请完成配套训练 课时作业9 ( 6.5 三角计算的应用 课程标准 素养解读 通过本节实例的学习，学会将实际问题转化为数学 运用三角计算公式、正弦定理、余弦定 问题，实现数学建模.通过学习逐步提升数学抽象、 理解决生产生活中的实际问题 数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 必备知识 三角计算广泛应用于生活、生产实践和科 [知识点一]三角形中的几何计算的有关知识 学研究等诸多方面，能帮助人们解决很多实际 1.正弦定理 问题.本节将介绍三角计算在面积问题交流电 =2R(R 的电压问题、测量与计算问题等方面的应用 为△ABC的外接圆半径). ·22·