6.4.2 正弦定理-2024-2025学年中职高二数学同步（高教版2021·拓展模块一下册）

第6章 三角计算 随堂·步步夯实 夯基因 1.在△ABC中,a=2,c=③,B=60{*,则$ 3.在△ABC中,C=60*,a=4,S c=63, ) 则b一 ( ( △ABC的面积为 ) A# A.3 B.4 B. C.} C.5 D.6 D.1 4.在△ABC中,若 B=45{*,a三4,此三角形 3。 2.在△ABC中,a=3,b=2,cosC= 面积 。,则 S-16/②,则c的值为 ( AABC的面积为 ) .1 C D. -温攀提示 B2 学习至此,请完成配套训练 课时作业7 6.4.2 正弦定理 课程标准 素养解读 1.了解正弦定理的推导过程,掌握正弦定理 1.通过正弦定理的推导过程(特殊到一般),主 及其变形. 要培养逻辑推理的核心素养 2.会用正弦定理解决两类基本的解三角形 2.通过综合应用正、余弦定理解三角形,主要提 问题. 升数学运算核心素养. ) 课前·预习学案 盘点新知 情境引A 2.正弦定理的常见变形 (1)a-2R 无线电测向运动是 ,b-2R C-2R 利用无线电信号迅 速、准确地测定出隐 ,sinC-C 2R 蔽电台方位,并寻找 A45。 (3)a:b:c- 出隐蔽电台的一种 100m a十b十C 体育竞技运动,也称 (4)- 测向机1 测向机2 sin A+sin B士sinC 无线电“猎狐”.如图 所示,运动员在A、B两点使用测向机分别 ②思考 在△ABC中,若已知a>b,如何利 测得隐蔽电台的方向,这两个方向的交点C 用正弦定理得到sinA>sinB? 就是目标所在的位置,即隐蔽电台的位置, 若测得AB-100m, A-45^{*},B-60{*},怎样$$ 计算AC和BC的长度呢?(精确到0.01m) 必备 知识 [知识点一] 正弦定理 1.在一个三角形中,各边与其所对角的正弦之 [知识点二正弦定理的应用 比相等,即在任意△ABC中,用A,B, 1.已知三角形的两角和一条边,求另一角和其 C分别表示三角形的三个角,用a,6,c分 他两条边. 别表示这三个角的对边,则 2.已知三角形的两边和其中一边的对角,求另 一2R(R为三角形外接圆 一边和其他两角. 的半径). 3.判断三角形形状 .17. 数学16模快(ao下) 预习自测 1.在△ABC中,已知$a=8,B=60^{*},$C= ) 75{},则等于 ( 3.在△ABC中,若 B=45*,C=60{*},c=1 C.4/6 则最短边的边长是 A.4/2 B.4③ D.16 B.## 2$. 在△ABC中,已知a =3,6=2,A=6 0^{*}, C. 则sinB- C 击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题里一已知两角和一边解三角形. 题里二 已知两边和其中一边对角解三角形 例1 在△ABC中,B=45^{, C=15{,a=5, 例2 在△ABC中,a-1,b-/2. 求b. (1)若 A-30{*,求C; [思路点拨]先求 A,再根据正弦定理求b. (2)若 B=135*,求 C [思路点拨] 已知三角形的两边和其中一 边的对角,利用正弦定理求另一边的对角 时,要讨论这个角的取值范围,避免发生 错误。 通法通性 已知两角及一边解三角形的一般步骤 根据三角形内角和定理求第三个角 根据正弦定理求另外两条边的长度 [变式训练] 1.在/ABC中,已知6=14,A=30^{},B 120*,求a. .18. 第6章 三角计算 通法通性 题重三 正弦定理的应用 已知两边和其中一边对角解三角形的方法 例3 在△ABC中,(a^②}十b)sin(A-B)= (1)用余弦定理列出关于另一边的一元二 (}-^)·sin(A+B),试判断△ABC的 次方程求解(上节课已讲) 形状. (2)用正弦定理求解,其步骤为 [思路点拨 先化简,然后利用正弦定理把 ①由正弦定理求出另一边对角的正 边转化为角,应用角之间的关系判断 弦值. ②如果已知角为大边所对的角时,由三 角形中大边对大角,大角对大边的法则 能判断另一边所对的角为锐角,由正弦 值可求锐角唯一. ③如果已知角为小边所对的角时,则不 能判断另一边所对的角为锐角,这时由 通法通性 正弦值可求两个角,要分类讨论 三角形形状判断的常用方法 [变式训练] 1.利用正弦定理把角转化为边,根据边之 2.已知在△ABC中,A=30{,a=15/② 间的关系判断, b-30,求 B 2.利用正弦定理把边转化为角,根据角之 间的关系判断. [变式训练] 3.在△ABC中,sin}A+sin}B=sinC,求证; △ABC为直角三角形。 随堂·步步夯实 基因 1.在△ABC中,a-5,b=3,C=120*,则 3.在△ABC中,a=bsinA,则△ABC一定是 ( ) ( sinA:sinB的值是 ) 7 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.在△ABC中,已知a=/5,sinC=2sinA 则c一 AC- C ) c温提示 A.③ B.3/2 C.2③ D.3③ 学习至此,请完成配套训练 课时作业8 .19.参考答案 [例2][解]由三角形的面积公式可得， 变式训练 Sac=2 sinB=-号×4X22xsi如B. 1.解：根据正孩定理有品A品B b 于是42nB=4,即血B=盟 所以a=6sinA_14sin30°_14V5 sin B sin 120 3 又因为0°<∠B<180°，故∠B=45°或135° 变式训练 [例2】[解]（1)由正弦定理可知，in A sin B' 2.解：由三角形的面积公式可得， S8A版=之snA 于是，mB-细A-2X0-Ex名-号 a 又因为0°<∠B<180°，所以∠B=45°或135. 2=×8××mA 当∠B=45时，∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-45 =105°.当∠B=135°时，∠C=180°-∠A-∠B=180° 部程血A鸟 30°-135°=15°.图此，∠C=105°或∠C=15. a b 因为∠A为锐角，所以∠A=60°， (2)由正孩定理可知in A sin B' 随堂·步步夯实 1.C[由三角形的面积公式可得，S△ABC 子是，血AB必E- b 2 -含acsinB-=7×2x5×9-.] 又因为0°<∠A<180°，所以∠A=30°或150 当∠A=150°时，∠A+∠B=150°+135°=285>180°， 2A[osC=gnC-号 不合题意.因此，∠A=30°.从而∠C=180°-∠A-∠B =180°-30°-135°=15°. SAAC= 7 bsin C-=号×3x2x专-号] 变式训练 3.Din C. 2解：根据正孩定理有A品B b 65=号×ax6xsin60, 所以sinB=bsinA=30Xsin30°-2 a 15√2 2 即65=号×4X6X号，解得6=6] 再由b>a知∠B>∠A,故30°<∠B<180°， 所以∠B=45°或∠B=135°. 4.解折：因为S=162=之sinB=×4csin至， [例3][解]因为(a2+b2)sin(A-B) =(a2-62)sin(A+B), 所以c=16. 所以a2[sin(A一B)一sin(A+B) 答案：16 =-62[sin(A-B)+sin(A+B)] 6.4.2正弦定理 Epa2(sin Acos B-cos Asin B+sin Acos B++cos Asin B) 课前·预习学案 =-62(sin Acos B-cos Asin B+sin Acos B-+cos Asin B), 必备知识知识点一 所以a2(-2 cos Asin B)=-b·2 sin Acos B, hA品B益c2a)sin A sin B sinc 由正弦定理得sin2 Acos Asin B=sin2 Bsin Acos B. 因为0<A<π，0<B<r,所以sinA≠0，sinB≠0. (2条(3)snA:snB:snC(④品A2R .'sin Acos A=sin Bcos B. 思考提示：由a>b,且a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,可得 即sin2A=sin2B,∴.2A=2B或2A+2B=π， 2Rsin A>2Rsin B,sin A>sin B. 预习自测 A=B或A+B=受 1.C[在△ABC中，∠A=180°-（∠B+∠C)=45°，由正 所以△ABC为直角三角形或等腰三角形. 变式训练 孩定理品AB解得6=46.] 3.证明：，sin2A+sin2B=sin2C, 2X3 2.DT因为a云=sB,所以sinB=a=3之 2 由正孩定理可得（员）+（负）-（示）， 即a2+b2=c2. △ABC为直角三角形 随堂·步步夯实 3.A[由已知得∠A=75°，所以∠B最小，故最短边是五.由 c的B将6=密-5] 1.A[根据正弦定显得品合号-号] c 课堂·互动学案 2.A[由正孩定理可得AC。=AB, sinsin n2π [例1][解]在△ABC中，由∠A十∠B+∠C=180°，得 ∠A=180°-∠B-∠C=180°-45°-15°=120°.由正弦 得AC=√3.] 定理知，品A品6千是6-盟月-5 b sin A sin120° 3.B[由题老有品A-b-B则血B=1,即角B为直 角，故△ABC是直角三角形.] 256 33 4解析：由正孩定里，得c一知只=2a=25 2 答案：2√5 ·85·