6.4.1 三角形面积公式-2024-2025学年中职高二数学同步（高教版2021·拓展模块一下册）

第6章三角计算 通法通性 ⊙[变式训练] 给出y=Asin(w.x十o)的图像的一部分，确 3.已知函数y=Asin(wx十p)的一段图像，如 定A,w,9的方法 (1)逐一定参法：如果从图像可直接确定A 图所示，则它的解析式为 和w,则选取“五点法”中的“第一零点” y 的数据代入“.x十g=0”(要注意正确 判断哪一点是“第一零点”)求得中或选 取最值点代入公式证十9=kx十受， k∈Z,求9. (2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数 式，可以求得相关待定系数A,w,②.这里 A.y-2sin B.y-2sin 需要注意的是，要认清所选择的点属于五 个点中的哪一点，并能正确代入列式. Cy=2sin2x+）D.y=2sn- 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.函数y=3sin 的最小正周期是 A.该函数为偶函数 2.x+ B.该函数的最大值为1 ( C.该函数的最小正周期是4π B.π C.2π D.5π D.9的值是一子 2.函数y=4sin 22+ 不的最大值为 ( 4.已知函数y=sin(ux十p)(w>0,一π≤<π)的 图像如图所示，则” A.-4B.4 c D.-2 3.函数y=Asin(wx+9 (A>0,m>0,p<)的 2知 部分图像如图所示，则下 C温攀提 列说法正确的是() 学习至此，请完成配套训练课时作业6 6.4解三角形 6.4.1三角形面积公式 课程标准 素养解读 初步掌握用三角函数求三角形面积的 通过三角形的面积求解，提升逻辑推理，数学 方法 运算等核心素养. 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 为迎接国庆节，某职业学校对校园重新 进行修整.园林工人计划利用一夹角成60° 4 m 的墙角修建一个三角形花固（如图），若墙角 的两面墙的长度分别为4m和6m,问所建花 60 固的面积是多少平方米（不考虑其他因素）？ 6m ·15· E数学拓展膜快(a下时 必备知识 预习自测 [知识点]三角形面积公式 1.在△ABC中，已知a=1,c=2,∠B=5,则 在任意△ABC中，用∠A,∠B,∠C分别表 △ABC的面积等于 ( ) 示三角形的三个角，用a,b,c分别表示这三 A 以 C.1 D.3 个角的对边，则可得： 2.在△ABC中，已知=3，c=2,snA=号，则 三角形面积公式：S= 2absin C= △ABC的面积等于 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 3.已知等边三角形的边长为2，则它的面积为 即三角形的面积等于它的任意两边及其夹 ( 角的正弦乘积的一半. A.1 B.5 9 D.2 》 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型】 求三角形的面积 题型二三角形的面积公式的应用 例1 在△ABC中，∠C=60°，b=6,a=4,求 例2在△ABC中，a=4,c=22,S△Bc=4, S△Ac的值. 求∠B. [思路点拨]根据已知条件，先求出∠C的 正弦值，再根据三角形的面积公式即可 [思路点拨]根据面积公式Sx= 2acsin B, 求解。 求sinB的值，注意角的取值范围 通法通性 三角形的面积公式S△ABC= 2absin C= 2 -besin A=2 acsin B.根据题设寻求两边 通法通性 利用面积公式求角时，要注意根据角的正 及其夹角是解题的关键 弦值，讨论角的取值范围。 ◇[变式训练] ⊙[变式训练] 1.在△ABC中，b=5,c=8,∠A=135°，求 △ABC的面积S AAHC. 2.在锐角△ABC中，b=8,=,S2 求∠A. ·16 第6章三角计算 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.在△ABC中，a=2,c=√3，∠B=60°，则 3.在△ABC中，∠C=60°，a=4,S么=6√3， △ABC的面积为 ( 则b= ( c A.3 B.4 C.5 D.6 D.1 4.在△ABC中，若∠B=45°，a=4,此三角形 2.在△ABC中，a=3,b=2,c0sC=号，则 3 面积 S=16√2，则c的值为 △ABC的面积为 ( A号 B.23 C温弊提西 C. D. 学习至此，请完成配套训练 课时作业7 5 6.4.2 正弦定理 课程标准 素养解读 1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理1.通过正弦定理的推导过程（特殊到一般），主 及其变形 要培养逻辑推理的核心素养 2.会用正弦定理解决两类基本的解三角形2.通过综合应用正、余弦定理解三角形，主要提 问题 升数学运算核心素养 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 2.正弦定理的常见变形 无线电测向运动是 (1)a=2R ,b=2R 利用无线电信号迅 C c=2R 速、准确地测定出隐 609 (2)sinA= 2R'sin B= ,sin C=c 2R 蔽电台方位，并寻找 】45e B (3)a:b:c= 出隐蔽电台的一种 100m (4) a+b+c 体育竞技运动，也称 测向机1 测向机2 sin A+sin B+sin C 无线电“猎狐”.如图 所示，运动员在A、B两点使用测向机分别 2思考 在△ABC中，若已知a>b,如何利 测得隐蔽电台的方向，这两个方向的交点C 用正弦定理得到sinA>sinB? 就是目标所在的位置，即隐蔽电台的位置. 若测得AB=100m,∠A=45°，∠B=60°，怎样 计算AC和BC的长度呢？（精确到0.01m) 必备知识 [知识点一]正弦定理 1.在一个三角形中，各边与其所对角的正弦之 [知识点二]正弦定理的应用 比相等.即在任意△ABC中，用∠A,∠B, 1.已知三角形的两角和一条边，求另一角和其 ∠C分别表示三角形的三个角，用a,b,c分 他两条边. 别表示这三个角的对边，则 2.已知三角形的两边和其中一边的对角，求另 =2R(R为三角形外接圆 一边和其他两角 的半径). 3.判断三角形形状. ·17·数学拓展膜快（©的下时 课堂·互动学案 变式训练 [例1[解](1)最小正周期T=2红=2元 1 3C[易知A=2,号=号T=,则=2，于是汤载解折式 （②)最小正同期T一经-元 初步荆定为：y=2si血(2x+p.将点（是2）代入解析 (3)最小正周期T=2红=8元 1 式，得2=2si如（看+9小即-吾+g=受+2，k∈乙， N 变式训练 于是9一3 T+2kr,k∈乙.然后选择恰当的k值，使9最 1.解析：T-2红=2，w=元 小，显然k=0时，9=经周此，画兼的解新式为 答案：元 [例2】[解】函载的周期为T-经-元 y-2in2x+）门 设=2十看则=音一品 随堂·步步夯实 当8=2kx十受，即x=kx+晋（∈Z)时，函量y=2n:有 LB[调期T-受-x] 最大值，最大值为2当：=2x+要即红=x+要k∈刀时 2.B[y=4sin(2x+)的最大值为4.] 3.C[由图像可知，该函数不关于原点、y轴对称，为非奇 函数y=2sin之有最小值，最小值为一2.所以，当x=kπ十 晋∈0时，函数y=2n(2+晋)取得最大值2：当 非份西数，最大推为2胃-音-（等)：所以最小正 kx+受∈刀时，画教y=2sim(2r+晋)取得最小值-2。 月期是坛因为经=，所以。=之个号×晋十p=0: 变式训练 得g=] 2.解析：1)：T=2红周期为元 4.解析：由因像知函数y=si血ur十g)的网期为2(2x一) (2)当in(2x-看）=1时y=4, -要=当=时y有最小值-1 光时2x-看=受+2k,k∈7， 则x的取值集合是{x=吾+，k∈乙 9π :-π≤g<π，9=10 (3)当im(2x-看）=-1时ym=-4,此时2x-看 答案： - 受十2，是∈么，则x的取值集合 6.4解三角形 是{红x=一君+x,keZ} 6.4.1三角形面积公式 课前·预习学案 答案：x(2)4{r=晋+x∈Z 必备知识知识点 (3)-4{xx=- 吾+k,k∈Z 2acsin B sin A [例3][解〕法一：逐一定参法 预习自测 由图像知A=3, T-晋-()F 1.B[根据三角形面积公式得S△=4 esin B w-=2.y=3sn(2r十g以 :点（合0）在画数图像上， 2A[SAr=besin A-×3X2x号-=2.] 3 0=3sin(-吾×2+e 3B[等造三商形的面软为S-号×2×2Xm60 六-吾×2+9=，k∈Z,得g=号+∈D. =2×号-原.] :lp<受g=登 课堂·互动学案 [例1][解]由三角形的面积公式可得， .y-3sim SAbsin C6 sin 60 法二：待定系数法 由国像知A=3.“国像过点(50)和（紧0） =4X6×=6. 变式训练 te-x. w=2, 1.解：由三角形的面积公式，可得 ,解得 p=3 Saw=be sinA=号×5×8Xsn135 y=3sin(2x+3)} =×5x8×-=102 2 ·84 参考答案 [例2][解]由三角形的面积公式可得， 变式训练 Saw=7 csinB=合×4X2 sin B. b 1.解：根据正孩定理有AB 于是，②血B=4,脚血B=号 所以a-bsin A-14sin30°_145 sin B sin 120 3 又因为0°<∠B<180°，故∠B=45或135. 变式训练 [例2)[解]①由正孩定理可知·品入B 2.解：由三角形的面积公式可得， 5ovesin 于是如B-A②X中D-x号-号 又因为0°<∠B<180°，所以∠B=45或135. 当∠B=45°时，∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-45 =105°.当∠B=135°时，∠C=180°-∠A-∠B=180° 部移如A=号 30°-135°=15°.图此，∠C=105浅∠C=15. 因为∠A为锐角，所以∠A=60° (2)由正孩定理可知in A sin B' b 随堂·步步夯实 L.C[由三角形的面积公式可得，S△A 于是mA=中B-1区135-之 b 2 -2armB=×2xgxg-g] 又因为0°<∠A<180°，所以∠A=30°或150 当∠.A=150°时，∠A+∠B=150°+135°=285°>180°， 2A[msC-号mC=号 不合题意.因此，∠A=30°.从而∠C=180°-∠A-∠B =180°-30°-135°=15°. SAAC= 2 in C=×3x2x告-是.] 变式训练 b 3.D[S△u= 1 2absin C. 之解：根据正我定理有A品B 65=号Ka sin60 所以sinB=sinA_30×sin30°2 152 21 即6后-号×4XbX停解得6=6] 再由b>a知∠B>∠A,故30°<∠B<180°， 2 所以∠B=45或∠B=135°. 4解折：因为S=162=2 ecsin B=号×4csin行 [例3][解]因为(a2+b2)sin(A-B) =(a2-62)sin(A+B), 所以c=16. 所以a2[sin(A一B)一sin(A+B) 答案：16 =-62[sin(A-B)+sin(A+B)] 6.4.2正弦定理 Ep a2(sin Acos B-cos Asin B++sin Acos B+cos Asin B) 课前·预习学案 =b2(sin Acos B-cos Asin B+sin Acos B+cos Asin B), 必备知识知识点一 所以a2(-2 cos Asin B)=-b2·2 sin Acos B. 1.sinsinB sinC2.(1)sin A sin B sinc b 由正弦定理得sin2 Acos Asin B=sin2 Bsin Acos B. 因为0<A<π，0<B<π，所以sinA≠0，sinB≠0. （2泉 (3)sin A sin B:sin C (4)4 sin A 2R .'sin Acos A=sin Bcos B. 思考提示：由a>b,且a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,可得 即sin2A=sin2B,∴.2A=2B或2A+2B=π， 2Rsin A>2Rsin B.sin A>sin B. A=B或A+B=受 预习自测 1.C[在△ABC中，∠A=180°-（∠B+∠C)=45°，由正 所以△ABC为直角三角形或等腰三角形. 变式训练 孩定理品AB解得6=46.] 3.证明：，sin2A+sin2B=sin2C, 2D因为4=B所以nB=nA=32 b 由正孩定理可得（员）+（余）=（尿） 即a2+b2=c2. ∴△ABC为直角三角形. 随堂·步步夯实 3.A[由已知得∠A=75°，所以∠B最小，故最短边是h.由 Cg得6是5] LΛ[株据正弦交理将品合公=亭】 课堂·互动学案 2.A[由正孩定理可得AC。=AB, [例1门[解]在△ABC中，由∠A+∠B+∠C=180°，得 ∠A=180°-∠B-∠C=180°-45°-15°=120°.由正孩 得AC-3.] 定理知A品B于是6=m-5X sin A sin 120" sinA== 3.B[由题意有“ 一品B则血B=1,脚角B为直 √2 角，故△ABC是直角三角形.] 5×_56 3 4解析：由正贫定理，得一曲只=2a=2, 2 答案：25 ·85