6.3 第1课时 正弦型函数的图像和性质(1)-2024-2025学年中职高二数学同步（高教版2021·拓展模块一下册）

数学拓展快(cJ下) 6.3 正弦型函数的图像和性质 第一课时 正弦型函数的图像和性质(一) 课程标准 素养解读 1. 了解正弦型函数与正弦函数之间的关系 1.通过、、A的意义,提升数学抽象的核心素养 2.初步掌握在一个周期上画正弦型函数简 2.通过函数-sinx与-Asin(x十)图像间的变 图的“五点法” 换关系,提升直观想象和逻辑推理等核心素养 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引A --+π n- 3π2π- 2 2 2m 匀速转动的摩天轮的半径为R,转动的角 _① 3 ax十 速度为.以摩天轮的中心为坐标原点建立坐 2r 标系,如图所示,若点P。表示座椅的初始位 y-Asin 0 A (ax十q) 0 置,MOP。一,问点P的纵坐标y与时间t 之间有怎样的函数关系? [知识点三]A、、对y=Asin(x+) (A>0,>0)图像的影响 1.A对y=Asinx(A>0且A关1)图像的影 纵坐标变为原来的A倍 响.y一sinx的图像 横坐标不变 y-Asinx. 2.w对y=sinx(>o且w≠1)图像的影响 横坐标变为原来的一倍 y-sinx- “→y-sinax. 必备 知识 纵坐标不变 [知识点一] 正弦型函数的概念 3.对y=sin(x十q)(q≠0)图像的影响 向左(q>o时)或向右(q<0时) 1.定义 y-sinx- 平移gl个单位 形如y三Asin(x十)的函数称为正弦型函 y-sin(x十q). 数,其中A,,是常数,且A去0,去0. 注意:对A,,的三点说明(A>0,>0) 2.函数y=Asin(ux十c),A>0,>0中各参 (1)A越大,函数图像的最大值越大,最大值 数的物理意义 与A是正比例关系, 振幅是A (2)越大,函数图像的周期越小,越小, y=Asin 是相位 周期越大,周期与为反比例关系。 周期T-2 (a十) 二 (3)大于0时,函数图像向左平移,小于 A>0. 称为 0时,函数图像向右平移,即“左加右减”. 频率f一 _ a>0 T2π 初相 ?思考 函数y=sinwx(>0)的图像是否 [知识点二] 用五点法画y=Asin(x十q) 可以通过v一sinx的图像得到? (A去0,去0)一个周期内的简图 用五点法画y三Asin(x十)(A去0,去0) 一个周期内的简图时,要找五个关键点,如 下表所示: .10. 第6章 三角计算 4. 函数-sinx的图像经变换得到y-Asin(ax+q) 预习自测 (A>0,0)的图像的两种途径 1.要得到函数y三3sinx的图像,只需将函数 y-sinx的图像 途径一 途径二 步 →画出y=sinx的图像 画出y=sinx的图像. A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位 向左或向右平移q个 横坐标变为原来的倍 单位 C.横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍 2 得到y=sin(x+)的图像 D.纵坐标不变,横坐标变为原来的3倍 →得到y-sinmx的图像 向左或向右平移{个 2.要得到函数y一sin 3{的图像,只需将 横坐标变为原来的倍 单位 y=sinx的图像 C 得到y-sin(ox+)的. 得到y-sin(x+q)的 ) A.横坐标不变,纵坐标变为原来的倍 图像 #3 # 纵坐标变为 原来的A倍 纵坐标变为原来的A倍 得到y-Asin(o-x+) 得到y-Asin(x+) B.横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍 的图像 4的图像 C.纵坐标不变,横坐标变为原来的3倍 D.纵坐标不变,横坐标变为原来的倍 ?思考 由y一sinox的图像怎样得到 y-sin(x十)的图像 函数y一sinx的图像 ( ) B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 #去题犁 课堂·互动学案 通法悟道 题型一用“五点法”画y=Asin(r十)的图像 -通法通性 例1 利用“五点法”作出正弦型函数y一 (1)用“五点法”作图时,五点的确定,应先令 sin(2x+]在一个周期内的简图. 从而确定这五点, [思路点拨]由“五点法”的原则可知点的 (2)作给定区间上-Asin(x十)的图像 序号与式子的关系是:“第一点”为x十-0; 时,若x[m,n],则应先求出x十 “第二点”(即图像曲线的最高点)为x十 的相应范围,在求出的范围内确定关键 点,再确定x,v的值,描点、连线并作 出函数的图像. [变式训练] 1.利用五点法作出函数y-3sin(1])在 点”为x十-2π. 一个周期内的草图. .11. 数学16展快(o下) 题型二 平移变换 左平移个单位 由三sinx的图像经过怎样的变换而得 到的? D.向左平移个单位,再将横坐标变为原来 [思路点拨] 利用“左加右减”规律平移. [思路点拨] 分清平移和伸缩变换的先后 过顺序。 [尝试解答] 通法通性 三角函数图像的伸缩变换 (1)横向伸缩;已知0,横向伸缩规律为 “伸缩倍数乘倒数”:将函数y三sin 图像上各点的横坐标伸长(当0 1 通法通性 对平移变换应先观察函数名是否相同,若 (纵坐标不变),得到的函数图像的解析 函数名不同则先化为同名函数,再观察。 式为y-sinax. 前系数,当x前系数不为1时,应提取系数确 (2)纵向伸缩:已知A>0,纵向伸缩规律为 定平移的单位和方向,方向遵循左加右减,且 “伸缩倍数乘倍数”:将函数y三sin工 个单位. 图像上各点的纵坐标伸长(当A>1 从x→ax十c的平移量为 时)或缩短(当0<A<1时)到原来的 [变式训练] A倍(横坐标不变),得到的函数图像的 2.要得到函数y-sin2x+]的图像,只要将 解析式为y一Asinx. [变式训练] ( 函数-sin2x的图像 ) 3.由三sinx的图像作怎样的变换得到 #2sin(是一的图像? B.向右平移{个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 题型三 三角函数图像的伸缩变换 例3 有下列四种变换方式,其中能将正弦函 图像的是 ( ) A.向左平移个单位,再将横坐标变为原 来的(纵坐标不变) B.横坐标变为原来的2(纵坐标不变),再向 左平移个单位 .12. 第6章 三角计算 #学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.要得到函数一sin(x十1)的图像,只需将函 ( 数y一sinx的图像上所有的点 ) ( 函数y-sin4x的图像 ~ A.向左平行移动1个单位 A.向左平移个单位 B. 向右平行移动1个单位 C.向左平行移动x个单位 B.向有平移个单位 D.向右平行移动x个单位 2.将函数 y-2sin2x+吾]的图像上各点的横 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 坐标不变,纵坐标缩短为原来的 4.函数 y-sin0x十(go>o)的率是 _ 函数的图像为 ~ A.y-2sin(+) B.2;in0) 则-___. C.y-sin(2x+) D.y-4sin(2+) -e温馨提示 学习至此,请完成配套训练 课时作业5 第二课时 正弦型函数的图像和性质(二) 课程标准 素养解读 1.理解正弦型函数的图像和性质 通过学习,逐步提升直观想象 2.能根据一Asin(x十c)的部分图像求其解析式 和逻辑推理等核心素养 ) 课前·预习学案 落实双 盘点新知 情境引入 预习自测 在物理学,电工和工程技术中,经常会遇 1.函数y-sin(2x+)的最小正周期为 到形如y=Asin(ax十)(其中A,,都是常 ( 数)的函数,它与和角公式、二倍角公式以及正 A. B. C.2π D 弦函数y一sin工等三角知识有着密切的联系. 下面来研究这类函数的性质 2.已知函数f(c)一2sin(x+(>0)的最 必备 知识 小正周期是,则 [知识点]正弦型函数y=Asin(x十q)(A>0, ( 0)主要有以下性质 A. B.6 C.3 D.2 1.定义域为 3.函数y--2sin3x是 2.最小正周期为T一 ( 3.值域为 ,最 A.奇函数 ,即最大值为 B.偶函数 小值为 C.即奇又偶函数 D.非奇非偶函数 .13·世数学拓展模块(J下 6.2二倍角公式 课前·预习学案 由受（受x小可知∈（学，受} 必备知识知识点一 2sin acos a 2cos2a-1 1-2sin2a 2tan a 所以coe2 1+s受_1+号) 1-tan a 2 2 5 思考提示：倍角公式中的倍角是相对的，a是受的二倍， 51 2a是a的二倍. 变式训练 预习自测 1cam2a=a品。-浮-亭打 3.解：由0E(x,2),可知2∈（登x小 2.B1-2sim22.5-os(2×2.5-os45°-9] 3.解析：原式=c0s(2×750)=cos1500 国光s血9=2mos号=2x2g×(）】 0 =c0s(4X360+60)=c0s60°-2 答案： =-4go0=2m号-1=2x←}-1=- 9 [例4](1)[解]原式 课堂·互动学案 2sin acos a+sin a [例1][解]因为a是第二象限角， 2(cos2a-sin2a)+2sin2a+cos a 所以=一a=（传- =sin a(2cos a+1) cos a(2cos a+1) =tan a. 5 于是：有血2么-2如m。-2X×（号） (2)[证明]右边=1-cos20_1-(1-2sin2) sin 20 2sin dcos 6 s2a=1-2ima=1-2x()广=- 7 2sin20 sin0 一2nc0s0c0s9tan0=左边，所以原等式成立. 变式训练 又周为tana=sing= 4 cos a 3 31 4,证明：左边=2 sin acos十2sin2g cos a(sin a+cos a) 2×)-24 _2sina(cosa十sina=2tana=右边. cos a(sin a+cos a) 所以tan2a 2tan a 随堂·步步夯实 1-tan2a 1-() 2π 变式训练 1B[2os2最-1=co登-ms吾-9J 1.解：因为a∈ (经所以na=1-osa 2.D [''sin a+cosa 1 1 /1- 12125 (sin a+cos a)2=sin2a+cos2a+2sin acos a=- 4 】 13 利用公式可得 即2 sin acosa=- 立n2a=2n6os6=-是] sin2a=2 sin acosa=2×是×() 12 120 1691 3.D[当x=危时，cos2x-im2z=cos2 cos2a=2cos2a-1=2× 1212 119 ）-1=169 则tan2a-sin2a=-120 cos 2a 1191 2tan75° [例2】[解]a)os受-sin受 4解析：1an7行=tan150=-tan30-- 3 -(os2号-sim受）·(eos受+sin2号)）cosa 答案： 6.3正弦型函数的图像和性质 1 (2)原式=2sin202sin20'c0s20°cos40'c0s80 第一课时正弦型函数的图像和性质（一） 1 课前·预习学案 -2sin 20sin 40'cos 40'cos 80 必备知识 1 1 sin 20sin 8'co8si 20i 160 思考提示：可以，只要模向“伸”或“缩”倍y=s加x的图 sin20° 1 像即可， 23sin20=8, 变式训练 思考提示：图为y=sin(mr十p)=sin[a(r+号）门，所以 2新所品 2-1十c0s20=2X3-c0s20 _3-sin70° 3-c0920=2. 由y=sinr的图像向左或向右平移lg个单位长度得到 2 y=sin(awx十p)的图像. 答案：2 预习自测 1.C[函数y=sinx的图像的所有，点的横坐标不变，纵坐 [例3][解]由a(,2)可知受∈（经 标变为原来的3倍，可得y=3six的图像.] 所以血号-o2号1-()-台 之C[函数y=血了x的周像，由y=血：的图缘上所有 m=2号os号-2X号×（） 点的纵坐标不变，横坐标支为原来的士=3倍得到.] ·82· 参考答案 3.A[将画数y=s加x的国像上所有点向左平移号个单 变式训练 位，就可得到画数y=m+号)的图像] 2.c[因为y=sim(2z+5)=sm[(e+)川 课堂·互动学案 所以将函数y=sin2x的图像向左平移答个单位，就可得 [例1】[解]在画数y=sin(（2红+)中，w=2, 到函数y=si血(2x+)的图像.] 因此周期为T=2红=2 w 2 =元 [例3][解析]A中向左平移牙个单位，再将横坐标变为 为求出图像上的五个关键点的横坐标，令=2x十号，分 原来的之（纵坐标不变），则正孩函数y=snx的图像支 别取x=0,受x,受，2x,我们找出一个周期元内五个特 为y=si血(2红+于）的国像；B中横坐标变为原来的2（纵 殊的点，求出对应的工的值与函数y的值，如下表所示。 坐标不变)，再向左平移答个单位，正孩画数y=sinx的 x 7π 6 12 3 1 6 =2红+骨 0 3π 2x 图像支为y=血(+餐)血（合+）的圈像： 2 2 y=m2x+骨）】 0 1 0 一1 0 C中横坐标变为原来的之（纵坐标不变），再向左平移牙 以表中每组（工，y)为坐标描点，如图所示，在直角坐标系 个单位，正弦函数y=si血x的图像变为y=si血2x+) 中比较精确地描出对应的五个关能点：（仁吾，0 =si加(2江+)的图像；D中向左平移个单位，再将横 （造（导以(-小（警 坐标变为原来的合（纵坐标不变），正孩函数y=加工的 国像变为y=i血(2x+)的图像.因此只有A符合 题意. [答案]A 变式训练 向右平移开个单 用光滑的曲线连接各点，得到函数y=sin(2红+)在一 3.解：y=sinx y=im(x-） 个周期内的图像，如图所示， 纵坐标不变 Y 横生林种装到来的2份y=加（仔一晋） 标种长到原来的2y=2s如（合一）】 横坐标不变 随堂·步步夯实 l.A[只需把函数y=sinx的图像上所有的，点向左平行移 动1个单位，便得函数y=sin(x十1)的图像.] 2.C[起y=2sn(2x+吾)的图像上各点的横坐标不支， 变式训练 织坐标缩短为原来的专倍，得到y=s如(2红+晋)的 1解：依次令受-哥=0，受，经，2x,列出下表 图像.] 3 3.A[=si加(4z+骨）=sim4(+登)故只需将 0 3π 2π y=血4红的因像向左平移登个单位.] 5π 8π 11元 14元 1 3 3 3 3 4解析：由题可知会-衣。=宁 y 0 3 0 -3 0 描点作图，如图所示 答案：日 第二课时正弦型函数的图像和性质（二） y3sin(货- e臀4到 课前·预习学案 必备知识知识点 1.R2.23.[-A,A]A-A 0 预习自测 -3 1B[最小正周期T-受=] [例2】[解]函量y=sm(红-晋)的图像，可以看作是起 2.B[最小正周期T-经-子解得w=6.] 3.A[x∈R,令f(x)=-2sin3x 曲线y=sinx上所有的点向右平移石个单位而得到的。 .f(-x)=-2sin(-3x)=2sin3x=-f(x）. y=-2sin3x是奇函数.] ·83·