6.2 二倍角公式-2024-2025学年中职高二数学同步（高教版2021·拓展模块一下册）

第6章三角计算 > 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.若tana=2,tan3= 则ana一》 3.若an+a =2,则tana的值为( A号 B.- 1 3 A.- c D.- 3 C.3 4.若a,e(0,且ana=tan月=3，则 1 tan48°-tan18 1+tan48°tan18° a+8- A B.3 ©温蓉提店 C. 9 D.5 学习至此，请完成配套训练 课时作业3 6.2二倍角公式 课程标准 素养解读 1.会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式 通过倍角公式的综合运用，掌握有关技巧， 推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式， 提高分析问题、解决问题的能力；通过学习， 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等 逐步提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 变换，并能灵活地将公式变形应用 》 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 2思考 角2a是a的二倍角，那么角a是 二倍角公式是三角计算中常用的一组公 式.用角a的三角函数值表示其二倍角2a的 号的倍角吗？ 三角函数值，在化简、求值、证明及工程中有着 广泛的运用. 在两角和的余弦、正弦和正切公式中，当 a=B时，我们能得到什么结果呢？ 必备知识 [知识点二] 倍角公式的常用变形 知识点一] 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.倍角公式的逆用 三角函数 公式 简记 (1)S2:2sin acos a=sin 2a. (2)C2:cos'a-sin'a=2cos'a-1=1-2sin'a 正弦 cos 2a. sin 2a= 52e 2tan a (3)Tx:]-tan'a -=tan 2a, cos 2a=cos a-sin'a 2tan a=tan 2a(1-tan'a). 余弦 2.升幂公式 (1)1+cos 2a=2cos'a. (2)1-cos 2a=2sin'a. 正切 tan 2a= 3.降幂公式 1-cos 2a 以上这些公式都叫作倍角公式，倍角公式给出 (1)sina= 2 了a的三角函数与2a的三角函数之间的 关系 (2)cos'a=1+cos 2a 2 。7· 世数学拓辰模快（时 预习自测 2.计算1-2sin222.5的结果等于 l.已知tana=2,则tan2a的值为 A.t B号 c.5 3 D.2 A.- B.5 c.-3 0.3 3.1-2sin2750° 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型一】 三倍角公式的直接应用 通法通性 应用二倍角公式化简求值的三个关注点 例1 已知sina= 5a是第二象限角，求sin2a, 4 (1)当单角为非特殊角，而倍角为特殊角 cos2a和tan2a的值 时，常利用倍角公式及其变形公式化为 [思路点拨]因为2a是a的二倍角，所以 特殊角求值， 直接套用公式求解， (2)当式子中涉及的角较多，要先变角，化 异角为同角 (3)对根式形式的化简，以去根号为目的， 化简时注意角的范围 ⊙[变式训练] 通法通性 2. 3-sin 70 应用二倍角公式解题，求sina和cosa时 2-cos210° 要注意角a所在的象限. 题里三 给值求值问题 ◇[变式训练] 例3 已知cos =一 2 且aE(2求ma 1.已知cosa= 最且a（求sn2a cos cos2a,tan2a的值. 的值 思路点拨] 受与，与之间都是具有 二倍关系的角，故可以使用二倍角公式来 计算. 题型二 三倍角公式的逆向运用 例2 求下列各式的值： cos'号-sin'受 (2)c0s20°·cos40°·cos80° [思路点拨]利用倍角公式的常用变形逐 一求解 通法通性 解决给值求值问题的方法 (1)有方向地将已知式或未知式化筒，使关 系明朗化：寻找角之间的关系，看是否 适合相关公式的使用，注意常见角的变 换和角之间的二倍关系 (2)当遇到于士x这样的角时，可利用互余 角的关系和诱导公式，将条件与结论 沟通。 8 第6章三角计算 ⊙[变式训练] 通法通性 3已知os号-3，且0e(,2).求sin0和 1.三角函数式的化简原则 三角函数式的化简原则：一是统一角，二 cos0的值. 是统一函数名，能求值的求值，必要时切 化弦，更易通分、约分 2.证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式两端的结构形状，处理原则 是从复杂到简单，高次降低，复角化单 角，如果两端都比较复杂，就将两端都 化简，即采用“两头凑”的思想 (2)证明恒等式的一般步骤 题型四三倍角公式的综合运用 ①先观察，找出角、函数名称、式子结构 例4 sin 2a+sin a (1)化简：2cos2a+2sima+cosa 等方面的差异： ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变 汇思路点拨] 利用倍角公式展开，再合并同 换式子结构”“变量集中”等原则，设法 类项即可. 消除差异，达到证明的目的 ◇[变式训练] 4.证明：sin2a十2sin2a =2tan a. cosa(sina十cosa) (2)证明：tan0=1一cos20 sin 20 [思路点拨了统一角，把倍角化为单角，从 右向左证明. 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.2cos2石-1的值等于 12 ( 3.若=登则cos一sinx的值等于( A司 2 n号 A 9 2,则sin2a= 4. 2tan 75 2.已知sina十cosa= 1-tan275 A.i c D.-3 C温馨提西 4 学习至此，请完成配套训练 课时作业4 。9世数学拓展模块(J下 6.2二倍角公式 课前·预习学案 由受（受x小可知∈（学，受} 必备知识知识点一 2sin acos a 2cos2a-1 1-2sin2a 2tan a 所以coe2 1+s受_1+号) 1-tan a 2 2 5 思考提示：倍角公式中的倍角是相对的，a是受的二倍， 51 2a是a的二倍. 变式训练 预习自测 1cam2a=a品。-浮-亭打 3.解：由0E(x,2),可知2∈（登x小 2.B1-2sim22.5-os(2×2.5-os45°-9] 3.解析：原式=c0s(2×750)=cos1500 国光s血9=2mos号=2x2g×(）】 0 =c0s(4X360+60)=c0s60°-2 答案： =-4go0=2m号-1=2x←}-1=- 9 [例4](1)[解]原式 课堂·互动学案 2sin acos a+sin a [例1][解]因为a是第二象限角， 2(cos2a-sin2a)+2sin2a+cos a 所以=一a=（传- =sin a(2cos a+1) cos a(2cos a+1) =tan a. 5 于是：有血2么-2如m。-2X×（号） (2)[证明]右边=1-cos20_1-(1-2sin2) sin 20 2sin dcos 6 s2a=1-2ima=1-2x()广=- 7 2sin20 sin0 一2nc0s0c0s9tan0=左边，所以原等式成立. 变式训练 又周为tana=sing= 4 cos a 3 31 4,证明：左边=2 sin acos十2sin2g cos a(sin a+cos a) 2×)-24 _2sina(cosa十sina=2tana=右边. cos a(sin a+cos a) 所以tan2a 2tan a 随堂·步步夯实 1-tan2a 1-() 2π 变式训练 1B[2os2最-1=co登-ms吾-9J 1.解：因为a∈ (经所以na=1-osa 2.D [''sin a+cosa 1 1 /1- 12125 (sin a+cos a)2=sin2a+cos2a+2sin acos a=- 4 】 13 利用公式可得 即2 sin acosa=- 立n2a=2n6os6=-是] sin2a=2 sin acosa=2×是×() 12 120 1691 3.D[当x=危时，cos2x-im2z=cos2 cos2a=2cos2a-1=2× 1212 119 ）-1=169 则tan2a-sin2a=-120 cos 2a 1191 2tan75° [例2】[解]a)os受-sin受 4解析：1an7行=tan150=-tan30-- 3 -(os2号-sim受）·(eos受+sin2号)）cosa 答案： 6.3正弦型函数的图像和性质 1 (2)原式=2sin202sin20'c0s20°cos40'c0s80 第一课时正弦型函数的图像和性质（一） 1 课前·预习学案 -2sin 20sin 40'cos 40'cos 80 必备知识 1 1 sin 20sin 8'co8si 20i 160 思考提示：可以，只要模向“伸”或“缩”倍y=s加x的图 sin20° 1 像即可， 23sin20=8, 变式训练 思考提示：图为y=sin(mr十p)=sin[a(r+号）门，所以 2新所品 2-1十c0s20=2X3-c0s20 _3-sin70° 3-c0920=2. 由y=sinr的图像向左或向右平移lg个单位长度得到 2 y=sin(awx十p)的图像. 答案：2 预习自测 1.C[函数y=sinx的图像的所有，点的横坐标不变，纵坐 [例3][解]由a(,2)可知受∈（经 标变为原来的3倍，可得y=3six的图像.] 所以血号-o2号1-()-台 之C[函数y=血了x的周像，由y=血：的图缘上所有 m=2号os号-2X号×（） 点的纵坐标不变，横坐标支为原来的士=3倍得到.] ·82·