6.1.3 两角和与差的正切公式-2024-2025学年中职高二数学同步（高教版2021·拓展模块一下册）

第6章 三角计算 ①当条件中有两角时,一般把“所求角” [变式训练] 5 表示为已知两角的和或差; ②当条件中只有一个已知角时,可利用 是第二象限角,求sin(a十③)的值 诱导公式把所求角转化为已知角, (2)此类问题中,角的范围不容忽视,解题 时往往需要根据三角函数值缩小角的 范围. # 随堂·步步夯实 夯基因 1.计算sin43}cos13*-cos43*sin13*的结果 3. sin(a-85{*)cos(35*+a)-cos(a-85*)· 一 sin(35*十a)的值为 ( 等于 ( ) C.# A# B## A D## 4.已知sin -,({,),则sin(g+ 2.cos(a十15)sin(45{}-a)+cos(a+15)· sin(45*-a)- ) #A B. A .-# -温提示 学习至此,请完成配套训练 课时作业2 6.1.3 两角和与差的正切公式 课程标准 素养解读 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差 从公式间的联系入手,引导学生 的正切公式. 对公式变形,感悟数学抽象、逻辑 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明 推理、数学运算素养 盘点新知 课前·预习学案 精境引A [知识点二] 两角和与差的正切公式的变形 1.T的变形: 我们知道,a士B的正弦、余弦都可以用a、 (1)tana十tan3- (2)tan a十tan 3+tan atan {tan(a十③) B的正弦与余弦表示,那么a士B的正切,即 -tan(a十③). tan(a士③),能否用g、③的正切来表示呢? (3)tan atan}=1-tana+tan3 必备 知识 tan(g十③)· [知识点一] 2.T。的变形: 两角和与差的正切公式 (1)tana-tan3- 简记符号 公式 名称 使用条件 (2)tana-tan3-tan atan {tan(a-③) ,a十 两角和的 tan(a十)- T B.a- 正切公式 :{ (3)tanatanB一 ##n十 预习白测 (E乙) 1. tan75。- 且. tana A.2-3 两角差的 tan(a-)- T。一 B.2十3 正切公式 · tanB 2十3 C./3-2 右士1 D *2 .5. 数学16展模快(3o下) 2. tan() C 3.若tana=- 1 ) ( B.2+3 A.2-3 ) 2+③ B.1 C.3-2 C.-1 D. 25 》 直击题型 课堂·互动学案 题里一利用两角和与差的正切公式求值 [变式训练] 例1 计算tan15*. 2.求值:(1)tan10*+tan35*+tan10tan35*; [思路点拨]15{*}=45^*}-30{*,利用公式直接 (2)(1+tan18)(1+tan27). 过求解。 通法通性 在求值的过程中要特别注意所求角与特殊 角(如30{,45^{},60{})之间的关系,还要注意 角之间的互余、互补等 题到二 [变式训练] 给值求值问题 3 已知tan(a十g)1 tan(-)-,则 1.计算tan105的值 1an#)一 题里二 和与差的正切公式的变形及其应用 [尝试解答] 例2 化简下列各式 通法通性 (1)3-tan 150 1+3tan150; 给值求值问题的两种变换 (1)式子的变换:分析已知式子的结构特 (2) tan50*+tan 70*-/3tan 50{tan70* 点,结合两角和与差的三角函数公式, [思路点拨]观察两角和的正切公式,当a十B 通过变形,建立与待求式间的联系以实 为特殊角时可得到一个含tana十tanB和 现求值, tanatan3的等式,利用这个等式可进行 (2)角的变换;首先从角间的关系入手,分 tana+tanB与tanatanB之间的转换. 析已知角与待求角间的关系,如用a B-(B-a),2a=(a十③)+(a-B)等关 系,把待求的三角函数与已知三角函数 巧妙地建立等量关系,从而求值. [变式训练] 通法通性 灵活运用两角和与差的正切公式的变形解 题公式T。,T。是变形较多的两个公式 公式中有tan atanB,tana十tanB(或tana tan③),tan(a十③)或tan(a-③),三者知 二可表示或求出第三个. .6. 第6章 三角计算 ## 即甲## 随堂·步步夯实 夯基固本 3.若tan4→a-2,则 tana的值为 1.若tana=2,tan$- #△_ ) A.3 B 3 D. C.3 4.若a(ntan -则 2. tan 48-tan 18* ( _ a+B= BB# C -温攀提示 D.③ 学习至此,请完成配套训练 课时作业3 6.2 二倍角公式 课程标准 素养解读 1.会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式 通过倍角公式的综合运用,掌握有关技巧 推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式 提高分析问题、解决问题的能力;通过学习 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等 逐步提升逻辑推理和数学运算的核心素养 变换,并能灵活地将公式变形应用 ) 课前·预习学案 落实双 盘点新知 情境引A ?思考 角2a是g的二倍角,那么角g是 二倍角公式是三角计算中常用的一组公 的倍角吗? 式,用角x的三角函数值表示其二倍角2a的 三角函数值,在化简、求值、证明及工程中有着 广泛的运用. 在两角和的余弦、正弦和正切公式中,当 a一时,我们能得到什么结果呢? 必备 知识 [知识点二] 倍角公式的常用变形 [知识点一]二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.倍角公式的逆用 (1)S.:2sin acos a-sin 2a. 三角函数 公式 简记 (2)C :cos^{}a-sin{2a=2co^{}a-1-1-2sin}$ -cos2a. 正弦 sin 2a- S (3)T21-tan{g 2tang-tan 2a. cos 2a=cos{a-sina 2tang-tan 2a(1-tang). 余弦 C2 2.升寡公式 (1)1+cos2a-2cos*g. (2)1-cos2a-2sing. 正切 tan2a- T 3.降寡公式 以上这些公式都叫作倍角公式,倍角公式给出 (1)sin{1-cos 2a 。 了“的三角函数与2的三角函数之间的 1十cos2a (2)cos2Q- 关系. . .7.参考答案 [例3)[解]由于cs。=号∈（受0小 课堂·互动学案 所以。=一小-o=-(=- 4 [例1】[解]tan15°=tan(45°-30)=an45°-an30 1+tan45°tan30 对sin(e+子）=sin号+in号 1、3 3=2-3. 1+ 10 变式训练 变式训练 3.解：周为ina=部0s月=一号，并且a和月都是第二象 1解，am10s=um5+60)=6:a0 限角，所以6asa=一一云=-最血月=小一cosB 1+5-2-5. 1-√3 =子.周此sina+0=sin计osi =最×（号十(）×号=器 例解】0原式=留动 =tan(60°-15)=tan45°-1. 随堂·步步夯实 (2)原式=tan120°(1-tan50°tan70)-√3tan50tan70° 1.A[:sin43cos13°-cos43°sin13 =-√3+√3tan50°tan70°-√5tan50°tan70°=-√5. =sin(43°-13)=in30=2.] 变式训练 2.C[原式=sin[(a+15)+(45°-a)] 2.解：(1)，tan10°+tan35°=tan45(1-tan10tan35)= -血60-] 1-tan10°tan35°，所以tan10°+tan35°+tan10°tan35 =1. 3.D[原式=sim[(a-85)-(35°+a)] (2)(1+tan18)(1+tan27) =轴(-120)=-sm120=-sh60=-g] =1十tan18°+tan27°+tan18°tan27 =1+tan45(1-tan18°tan27)+tan18°·tan27°=2. 4解析：sim(+a=sincosa十cossnz [例3】[解析]am(+号)-tam[a+》-(e-号)】 -号×()+×- tan(a+8)-tan(-) 答案号 1+ana+ae-爱）1+1x号 6.1.3 两角和与差的正切公式 课前·预习学案 [答案] 必备知识知识点一 变式训练 tana十tanB tan a-tan B 1-tan atan B 1+tan atan 8 3.解：an(+a） tan至+tana 知识点二 1.(1)tan(a++B)(1-tan atan B) 1-tan子tana 2.(1)tan(a-B)(1+tan atan B)(2)tan(a-B) (3)tan o tan里-1 7 tan(a-B) 预习自测 1-1x号 1.B[tan75°=tan(45°+30) an45+an30°1+ 随堂·步步夯实 =一 3=2+5.] 1 1-tan 45tan 30 1 3 1.B [tan(a-B)= tan a-tan B 22 1十tan atan B -i.] 2.c[m(任-） tan 元一tan3 1+2×2 4 1+antan号 2e学8品-mg-18)-m0-停 -1-3=5-2.] 3A[am(+o）}H8-2, 1+3 3.C[:ana=-7,tang=-&, 解得m。=子打 13 11 anet段-" -74 tan attan8=23=1. 1-（)() 4.解析：tan(a十)=一tan atan 1 1- 6 25 28 ia+月=草 25 =-1.] 答案：开 ·81·