课时作业28 抛物线的标准方程&课时作业29 抛物线的几何性质-2024-2025学年中职高二数学同步（人教版2021·拓展模块一）

　　课时作业２８　抛物线的标准方程 [基础过关] １．若动点P 到定点F(０,－２,)的距离与 到直线y＝２的距离相等,则P 点的轨 迹是 (　　 ) A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线 ２．抛物线y＝２x２ 的焦点到准线的距离是 (　　) A．２ B．１ C．１４ D． １ ２ ３．抛物线x＝４y２ 的准线方程是 (　　 ) A．y＝１２ B．y＝－１ C．x＝－１１６ D．x＝ １ ８ ４．已知抛物线关于y 轴对称,顶点在原 点,且经过(２,４),则抛物线方程是 (　　) A．y２＝８x B．x２＝y C．y２＝－８x D．x２＝－１４y ５．若抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标 轴,且焦点到准线的距离为６,则该抛物 线的标准方程是 (　　) A．y２＝±６x B．x２＝±６y C．y２＝±６x或x２＝±６y D．y２＝±１２x或x２＝±１２y ６．抛物线y２＝－４x的准线方程为　　　 　　　　　　． ７．焦点为F(０,－２)的抛物线标准方程为 　　　　　　　　　． ８．若抛物线y２＝４x上的点M 到焦点的距 离为 １０,则 M 到y 轴的距离是 　 　 　　． ９．(１)已知抛物线的方程是y＝－１６x２,求 它的焦点坐标和准线方程; (２)已知抛物线的标准方程是y２＝６x, 求它的焦点坐标和准线方程． [能力提升] １０．已知抛物线y２＝２px(p＞０)的准线经 过点(－１,１),则该抛物线焦点坐标为 (　　) A．(－１,０) B．(１,０) C．(０,－１) D．(０,１) １１．抛物线１６y＋x２＝０的焦点坐标是 (　　) A．(－２,０) B．(０,－４) C．(０,－２) D．(２,０) １２．已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x轴,焦点在双曲线x ２ ４－ y２ ２＝１ 上,则 抛物线方程为 (　　 ) A．y２＝８x B．y２＝４x C．y２＝２x D．y２＝±８x １３．抛物线y２＝４x 上的点P 到焦点的距 离为５,则点P 的坐标为　　　　． １４．若点P 到直线y＝－１的距离比它到 点(０,３)的距离小２,则点P 的轨迹方 程是　　　　　　　　　． １５．根据下列条件求抛物线的标准方程． (１)焦点为F(０,－３); (２)准线方程是x＝５２ ; (３)经过点P(－２,－４)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３２􀅰 第四章　圆锥曲线 　　课时作业２９　抛物线的几何性质 [基础过关] １．若点 M 到点(０,２)和直线y＝－２的距 离相等,则点 M 的轨迹方程是 (　　) A．y２＝４x B．y２＝８x C．x２＝４y D．x２＝８y ２．若抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标 轴,且焦点在直线x＋y＋２＝０上,则抛 物线的标准方程是 (　　) A．y２＝４x或x２＝－４y B．y２＝－４x或x２＝４y C．y２＝８x或x２＝－８y D．y２＝－８x或x２＝－８y ３．已知抛物线y＝mx２ 的准线方程为y＝ －１,则m＝ (　　) A．－４ B．４ C．－１４ D． １ ４ ４．若抛物线y２＝４x上一点P 到x 轴的距 离为２ ３,则点P 到抛物线的焦点F 的 距离为 (　　) A．４ B．５ C．６ D．７ ５．若抛物线y２＝－２px(p＞０)的焦点与 椭圆x ２ ５＋y ２＝１的左焦点重合,则p 的 值为 (　　) A．８ B．６ C．４ D．２ ６．若直线ax－y＋１＝０经过抛物线y２＝ ４x的焦点,则实数a＝　　　　． ７．以双曲线x ２ ３－ y２ ６＝１ 的右焦点为焦点的 抛物线方程为　　　　　　　　． ８．已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在直线３x－４y－１２＝０上,则 此抛物线的方程是　　　　　　　　． ９．求符合下列条件的抛物线的标准方程． (１)对称轴为y轴,并经过点(－６,－３); (２)以圆x２＋y２－１０y＝０ 的圆心为 焦点; (３)顶点在原点,准线方程为x＝４． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６３２􀅰 [能力提升] １０．顶点在原点,并且以圆(x－２)２＋y２＝ ９的圆心为焦点的抛物线的方程为 (　　) A．y２＝８x B．y２＝４x C．x２＝８y D．x２＝４y １１．已知抛物线y２＝２px(p＞０)的准线与 圆(x－４)２＋y２＝２５相切,则p的值为 (　　 ) A．１２ B．１ C．２ D．４ １２．为响应国家“节能减 排,开发清洁能源” 的号召,小华制作了 一个太阳灶,如图所 示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴 旋转得到)形的反光镜构成,已知镜口 圆的直径为２m,镜深０．２５m,为达到 最佳吸收太阳光的效果,容器灶圈应 距离集光板顶点 (　　 ) A．０􀆰５米 B．１米 C．１􀆰５米 D．２米 １３．抛物线y２＝x上到其准线和顶点距离 相等的点的坐标为　　　　． １４．中国古代桥梁的建筑 艺术,有不少是世界桥 梁史上的创举,充分显示了中国劳动 人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥, 当水面离拱顶２m 时,水面宽８m．若 水面下降１m,则水面宽度为　　　． １５．已知抛物线y２＝８x． (１)求出该抛物线的顶点、焦点、准线 方程、对称轴、变量x的范围; (２)以坐标原点O 为顶点,作抛物线的 内接等腰三角形OAB,|OA|＝|OB|, 若焦点F 是△OAB 的重心,求△OAB 的周长． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７３２􀅰 第四章　圆锥曲线 课时作业２８　抛物线的标准方程 １．A　[动点P 的条件满足抛物线的定义．] ２．C　[抛物线y＝２x２ 化为x２＝１２y ,∴焦点到准线的 距离为１ ４． ] ３．C　 [由 x＝４y２ 得 y２＝ １４x ,故 准 线 方 程 为 x＝ －１１６． ] ４．B　[设抛物线方程为x２＝２py(p＞０),将(２,４)代入 方程,２２＝２p×４,解得p＝１２ ,故所求抛物线方程为 x２＝y．] ５．D　[由已知,p＝６,焦点可分别在x 轴正半轴、负半 轴,y轴正半轴、负半轴,故选 D．] ６．解析:∵y２＝－４x,∴p＝２焦点在x 轴负半轴上,∴ 准线方程为x＝１． 答案:x＝１ ７．解析:由已知p２＝２．∴p＝４． 焦点在y轴负半轴上,∴ 抛物线方程为x２＝－８y． 答案:x２＝－８y ８．解析:抛物线y２＝４x的焦点F(１,０),准线为x＝－１．由 M 到焦点的距离为１０,可知 M 到准线x＝－１的距离 也为１０,故 M 的横坐标满足xM＋１＝１０,解得xM＝ ９,所以点 M 到y 轴的距离为９． 答案:９ ９．解析:(１)方程化为标准方程为x２＝－１１６y ,其焦点在 y轴的负半轴上,由－２p＝－１１６ ,可知p ２＝ １ ６４ ,所以抛 物线的焦点坐标为 ０,－１６４( ),准线方程为y＝ １ ６４． (２)由题给条件可知p＝３,故所求抛物线的焦点坐标 为 ３ ２ ,０( ),准线方程为x＝－３２． 答案:(１)０,－１６４( )　y＝ １ ６４　 (２) ３２ ,０( )　x＝－３２ １０．B　[由于抛物线y２＝２px(p＞０)的准线方程为x＝ －p２ ,由题意得－p２ ＝－１ ,p＝２,焦点坐标为(１, ０)．] １１．B　[抛物线１６y＋x２＝０化成标准方程为x２＝－１６y, 知其焦点在y轴负半轴上且p＝８,所以焦点坐标为 ０,－p２( ),即焦点坐标为(０,－４)．] １２．D　[由题意知抛物线的焦点为双曲线x ２ ４－ y２ ２＝１ 的 顶点,即为(－２,０)或(２,０),所以抛物线的方程为y２ ＝８x或y２＝－８x．] １３．解析:设焦点为F,则|PF|＝５,所以点P 的横坐标 为４,点P 的坐标是(４,４)或(４,－４)． 答案:(４,４)或(４,－４) １４．解析:设P(x,y),根据点到直线的距离和两点间距 离得 y－ (－１)＝ (y－３)２＋x２ －２ 整 理 得 x２ ＝１２y． 答案:x２＝１２y １５．解析:(１)由已知,p２＝３ ,∴p＝６,故抛物线的标准方 程为x２＝－１２y． (２)因 为 准 线 方 程 是 x＝ ５２ ,所 以 其 焦 点 坐 标 为 F －５２ ,０( ),故抛物线的方程为y２＝－１０x． (３)若焦点在x轴上,可设抛物线的方程为y２＝ax, 将点P 的坐标代入得(－４)２＝(－２)a,求得a＝－８, 所以抛物线的方程为y２＝－８x．若焦点在y轴上,则 可设抛物线的方程为x２＝by,将点P 的坐标代入,求 得b＝－１,故所求的抛物线方程为x２＝－y．综上, 抛物线的标准方程为y２＝－８x或x２＝－y． 答案:(１)x２＝－１２y　(２,０)　(２)y２－－１０x (３)y２＝－８x或x２＝－y 课时作业２９　抛物线的几何性质 １．D　[点 M 的轨迹为抛物线,p２＝２ ,p＝４,焦点在y轴 正半轴上,故轨迹方程为x２＝８y．] ２．D　[抛物线的焦点分别为(－２,０)或(０,－２),故抛物 线方程分别为y２＝－８x或x２＝－８y．] ３．D　[抛物线标准方程为x２＝１my ,２p＝１m ,p ２＝ １ ４m＝ １,故m＝１４． ] ４．A　[由题意,知抛物线y２＝４x 的准线方程为x＝ －１,∵抛物线y２＝４x上一点P 到x 轴的距离为２ ３, 则P ３,±２ ３( ),∴点P到抛物线的准线的距离为３＋１ ＝４,∴点P到抛物线的焦点F的距离为４．] ５．C　[在椭圆方程中,a２＝５,b２＝１,则c２＝a２－b２＝４, ∴c＝２,即在抛物线中,p２＝２ ,∴p＝４．] ６．解析:抛物线y２＝４x的焦点为(１,０),则a×１－０＋１ ＝０,解得a＝－１． 答案:－１ ７．解析:双曲线x ２ ３－ y２ ６＝１ 的右焦点为(３,０),则p２＝３ , 则p ２＝３ ,p＝６,故抛物线方程为y２＝１２x． 答案:y２＝１２x ８．解析:直线３x－４y－１２＝０与x轴的交点为(４,０),所 以p ２＝４ ,p＝８,所求抛物线方程为y２＝１６x． ９．解析:(１)因为抛物线对称轴为y 轴且经过点(－６, －３),所以设抛物线方程为x２＝－２py(p＞０),将点 (－６,－３)代入,解得p＝６．故抛物线方程 为x２＝ －１２y． (２)由题可知,圆心坐标为(０,５),即p２＝５ ,解得p＝ １０,故抛物线方程为x２＝２０y． (３)设抛物线方程为y２＝－２px(p＞０),因为准线方 程为x＝４,所以p＝８,故抛物线方程为y２＝－１６x． 答案:(１)x２＝－１２y　(２)x２＝２０y　(３)y２＝－１６x １０．A　[由圆心坐标为(２,０),则p２＝２ ,p＝４,得抛物线 标准方程为y２＝８x．] １１．C　[由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－p２． 因为准线与圆相切,圆的方程为(x－４)２＋y２＝２５, 所以４＋p２＝５ ,所以p＝２．] １２．B　[若使吸收太阳光的效果最好,容器灶圈应在抛 物面对应轴截面的抛物线的焦点处,如图,画出抛物 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９９２􀅰 参考答案 面的轴截面,并建立平面直角坐 标系,设抛物线方程x２＝２py(p＞ ０),集光板端点A(１,０．２５),代入抛 物线方程可得２p＝４,所以抛物 线方程x２＝４y,故焦点坐标是F(０,１)．所以容器灶 圈应距离集光板顶点１m．] １３．解析:在抛物线y２＝x中,p＝１２． ∴准线方程为x＝－１４ , 设抛物线上点的坐标为(x,y), 则有 x＋１４＝ x ２＋y２ y２＝x { , 解得 x＝１８ y＝± ２４． ì î í ï ï ïï 即所求点的坐标为 １ ８ ,± ２４ æ è ç ö ø ÷ 答案: １ ８ ,± ２４ æ è ç ö ø ÷ １４．解析:由题意,以拱桥顶点 为原点,建立平面直角坐标 系,设 抛 物 线 方 程 为x２＝ －２py(p＞０),由 题 意 知, 抛物线经过点A(－４,－２) 和点B(４,２),代入抛物线 方程,解得p＝４, 所以抛物线方程为x２＝－８y,水面下降１米,即y＝ －３,解得x１＝２ ６,x２＝－２ ６, 所以此时水面宽度d＝２x１＝４ ６． 答案:４ ６m １５．解析:(１)抛物线y２＝８x的顶点、 焦点、准线方程、对称轴、变量x 的范围分别为(０,０),(２,０),x＝ －２,x轴,x≥０． (２)如图所示,由|OA|＝|OB|可知 AB⊥x 轴,垂足为点 M,又焦点 F 是△OAB 的重心,则|OF|＝２３|OM|． 因为F(２, ０),所以|OM|＝３２|OF|＝３ ,所以 M(３,０)．故设A (３,m),代入y２＝８x得m２＝２４;所以m＝２ ６或m＝ －２６,所以A ３,２ ６( ),B ３,－２ ６( ),所以|OA|＝ |OB|＝ ３３,所以△OAB 的周长为２ ３３＋４ ６． 答案:(１)(０,０)　(２,０)　x＝－２　x轴　x≥０ (２)２ ３３＋４ ６ 课时作业３０　平面的基本性质 １．D　[根据公理３可知,两个不重合的平面若有一个公 共点.则这两个平面有且只有一条经过该点的公共 直线．] ２．D　[A错误,不共线的三点可以确定一个平面．B错 误,一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．C 错误,四边形不一定是平面图形．D正确,两条相交直 线可以确定一个平面．] ３．A　[因为A∈平面α,B∈平面α,所以AB⊂α,又因为 C∈直线AB,所以C∈α．] ４．C　[如图,(１)当A,B,C 与l共面时,可 确定一个平面; (２)当A,B,C与l不共面时,①当A,B,C中只有两点 连线与l平行时,这样可确定３个平面;②当A,B,C 中任意两点连线不与l平行时,可确定４个平面．] ５．D　[在选项 A,B,C中,由棱柱、正六边形、中位线的 性质,知均有PS∥QR,即在此三个图形中P,Q,R,S 共面．] ６．解析:平面α与平面β有一条公共直线l,记作α∩β＝ l,直线m 在平面β内,记作m⊂β． 答案:α∩β＝l,且m⊂β ７．解析:两个相交平面的公共点都在一条直线,故①错; 由公理１及其推论知②③正确． 答案:②③ ８．解析:其中三个点可确定唯一的平面,当第四个点在 此平面内时,可确定１个平面,当第四个点不在此平 面内时,则可确定４个平面． 答案:１或４ ９．证明:延长AA１,BB１, 设 AA１ ∩BB１ ＝P,又 BB１ ⊂ 平 面 BCC１B１,所以 P∈平面BCC１B１,因为 AA１⊂平面ACC１A１, 所以P∈平面ACC１A１,所以P 为平面 BCC１B１ 和平面ACC１A１ 的公共点, 又因为平面BCC１B１∩平面ACC１A１＝CC１,所以P∈ CC１,即AA１,BB１,CC１ 延长后交于一点P． １０．D　[画两个相交平面时,被遮住的部分作虚线表示, 并画出两平面的交线．] １１．B　[如图所示,因为B１C１∥A１D１,所 以选B．] １２．A　[由题意,易知A,M,O 三点在平 面AB１D１ 与 平 面 CC１A１A 的 交 线 上,易验证B、C、D均不正确．] １３．．解析:①错误．若直线a与平面α有 公共点,则a与α相交或a⊂α; ②正确．由公理３知该命题正确; ③如图,两个相交平面有三个公共点A、B、C,但A、 B、C、D、E 不共面． 答案:② １４．解析:易知①⑤正确;②错误,因为在空间中,这两条 直线可能是异面直线;③错误,如正方体中,具有同 一顶点的三条棱不在同一平面内;④错误,三个不同 的公共点可在两平面的交线上．所以正确命题的个 数为２． 答案:２ １５．证明∵AB∩α＝P,CD∩α＝P,∴AB∩CD＝P,∴ AB,CD 可确定一个平面,设为β．∵A∈AB,C∈CD, B∈AB,D∈CD,∴A∈β,C∈β,B∈β,D∈β．∴AC⊂ β,BD⊂β,平面α,β相交．∵AB∩α＝P,AC∩α＝Q, BD∩α＝R, ∴P,Q,R 三点是平面α与平面β的公共点． ∴P,Q,R 都在α与β的交线上． 故P,Q,R 三点共线． 课时作业３１　平行直线 １．A　[B、C、D均正确．] ２．C　[如图所示,连接BD,EF,FG,GH, HE,EG,HF,由E,F,G,H 是空间四边形 ABCD四边中点,有EH􀱀１２BD ,FG􀱀１２ BD,∴EH􀱀FG,∴四边形EFGH 是平行四边形,EG与 FH 是对角线．∴选C．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰００３􀅰