课时作业10 数列&课时作业11 等差数列的概念-2024-2025学年中职高二数学同步（人教版2021·拓展模块一）

　　课时作业１０　数列 [基础过关] １．下列说法中,正确的是 (　　) A．数列{n(n－２)}中的第１０项是７０ B．１,－１,１,－１,１,－１,􀆺是有穷数列 C．数列中的项可以相等 D．数列a,b,c和数列c,b,a一定不是同 一数列 ２．在数列{an}中,若an＝(－１)n＋１n,则a１０ ＝ (　　) A．９ B．－９ C．１０ D．－１０ ３．已知数列{an}的通项公式为an＝n２－ ８n＋１５,则３ (　　) A．不是数列{an}中的项 B．只是数列{an}的第２项 C．只是数列{an}的第６项 D．是数列{an}的第２项或第６项 ４．数列的通项公式为an＝ ３n＋１,n为奇数, ２n－２,n为偶数,{ 则a２􀅰a３ 等于 (　　) A．７０ B．２８ C．２０ D．８ ５．数列１,３,６,１０,􀆺的一个通项公式是 (　　) A．an＝n２－n＋１(n∈N＋) B．an＝ n(n－１) ２ (n∈N＋) C．an＝ n(n＋１) ２ (n∈N＋) D．an＝n２＋１(n∈N＋) ６．若数列{an}的通项公式an＝ １ n－ １ n＋１ , 则a４＋a５＝　　　　． ７．若数列{an}的通项公式an＝２n＋３,则 an＋１＝　　　　． ８．数列０,－１３ ,１ ２ ,－３５ ,２ ３ ,􀆺的通项公式 为　　　　． ９．已知数列{an}的通项公式为an＝３n２ －２８n． (１)写出数列的第４项和第６项; (２)－４９和６８是该数列的项吗? 若是, 是第几项? 若不是,请说明理由． [能力提升] １０．数列１,－４,９,－１６,２５,􀆺的一个通项 公式是 (　　) A．an＝n２ B．an＝(－１)n􀅰n２ C．an＝(－１)n＋１􀅰n２ D．an＝(－１)n􀅰(n＋１)２ １１．已知数列 ３,３,１５,􀆺,３(２n－１),􀆺,那 么９在此数列中的项数是 (　　) A．１２ B．１３ C．１４ D．１５ １２．已知数列{an}中,an＋１＝an＋２＋an,a１＝ ２,a２＝５,则a６＝ (　　) A．－３B．－４ C．－５ D．２ １３．观察数列的特点,用一个适当的数填 空:１,３,５,７,　　　　,１１,􀆺． １４．－ １１×２ ,１ ２×３ ,－ １３×４ ,１ ４×５ ,􀆺一个通 项公式为　　　　． １５．已知在数列{an}中,a１＝２,且an＋１＝ ２an．请写出数列的前４项,并写出数列 {an}的一个通项公式． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１２􀅰 第二章　数列 　　课时作业１１　等差数列的概念 [基础过关] １．若数列{an}的通项公式是an＝４n－１, 则此数列是 (　　) A．公差为－１的等差数列 B．公差为４的等差数列 C．首项为－１的等差数列 D．首项为４的等差数列 ２．设数列{an}(n∈N＋)是公差为d的等差 数列,若a２＝４,a４＝６,则d等于 (　　) A．４ B．３ C．２ D．１ ３．若a＝ １ ３＋ ２ ,b＝ １ ３－ ２ ,则a,b的等 差中项为 (　　) A．３ B．２ C．３２ D． ２ ２ ４．已知{an}为等差数列,且a７－２a４＝－１, a３＝０,则公差d＝ (　　) A．－２ B．－１２ C． １ ２ D．２ ５．等差数列前三项为x－１,x＋１,２x＋３, 则这个数列的通项公式为 (　　) A．an＝２n＋１ B．an＝２n－１ C．an＝２n－３ D．an＝２n－５ ６．在等差数列{an}中,若a１＝３,a２＋a５＝ １０,则a６＝　　　　． ７．已知等差数列－８,－３,２,７,􀆺,则该数 列的第１００项为　　　　． ８．现有一根９节的竹子,自上而下各节的 容积成等差数列,上面４节的容积共３ 升,下面３节的容积共４升,则第５节的 容积为　　　　升． ９．判断８３是否为等差数列－１,３,７,１１, 􀆺中的项,如果是,请指出是第几项． [能力提升] １０．等差数列１,－１,－３,－５,􀆺,－８９,它 的项数为 (　　) A．９２ B．４７ C．４６ D．４５ １１．等差数列２０,１７,１４,１１,􀆺中第一个负 数项是 (　　) A．第７项 B．第８项 C．第９项 D．第１０项 １２．等差数列{an}中,a５＝３３,a４５＝１５３,则 ２０１是该数列的第(　　)项 A．６０ B．６１ C．６２ D．６３ １３．假设某市２０２０年新建住房４００万平方 米,预计在今后的若干年内,该市每年新 建住房面积均比上一年增加５０万平方 米．那么该市在　　　　年新建住房的 面积开始大于８２０万平方米． １４．已知x≠y,m,n∈N＋,且两个数列x,a１, a２,􀆺,am,y与x,b１,b２,􀆺,bn,y各自都 成等差数列,则a２－a１ b２－b１ ＝　　　　． １５．在等差数列{an}中, (１)若a５＝１５,a１７＝３９,试判断９１是否 为此数列中的项． (２)若a２＝１１,a８＝５,求a１０． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２１２􀅰 ３．B　[如图,因为OA＝２ ３km,OB＝４ ３km,∠AOB＝１２０°,所以∠OAC＝ ６０°,OC＝ ２ ３( )２＋ ４ ３( )２－２×２ ３×４ ３cos６０° ＝６km．] ４．A　[如图所示,在△PMN 中,PM sin４５°＝ MN sin１２０° ,所 以 MN＝６８ ３ ２ ＝３４ ６(海里),所以v＝MN４ ＝ １７ ６ ２ (海 里/小时)．] ５．C　 [在 △ABC 中 根 据 题 意 可 得,∠ABC＝３０°, ∠ACB＝７５°,∠BAC＝７５°,BC＝２０km,根据正弦定 理得, BC sin∠BAC＝ AC sin∠ABC． 所以AC＝ BCsin∠BAC 􀅰 sin∠ABC＝ ２０sin７５° 􀅰sin３０°＝１０ ６－ ２( )(km)．] ６．解析:由已知,得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝３０°．又 ∠PBA＝∠PBQ＝６０°,∴∠AQB＝３０°,∴AB＝BQ． 又PB 为公共边,∴△PAB≌△PQB,∴PQ＝PA．在 Rt△PAB 中,AP＝AB􀅰tan６０°＝９００(m),故PQ＝ ９００m,∴P,Q 两点间的距离为９００m． 答案:９００ ７．解析:在△ABC 中,AB＝BC＝４００米,∠ABC＝ π３ , 所以AC＝AB＝４００米,∠BAC＝π３ ,所以∠CAD＝ ∠BAD－∠BAC＝２π３－ π ３＝ π ３． 所以在△CAD 中, 由余弦 定 理,得 CD２＝AC２＋AD２－２AC􀅰AD􀅰 cos∠CAD＝４００２＋２５０２－２×４００×２５０×cosπ３ ＝ １２２５００,所以CD＝３５０(米)． 答案:３５０ ８．解析:过点A 作AH⊥BC 于点 H,由 图 易 知 ∠BAH ＝４５°, ∠CAH＝６０°,AH＝２００m,则 BH＝AH＝２００m,CH＝AH􀅰 tan６０°＝２００ ３ m．故 两 船 距 离 BC＝BH＋CH＝ ２００ ３＋１( )m． 答案:２００ ３＋１( ) ９．解析:I＝I１＋I２＋I３ ＝８sinωt＋１２sin(ωt－４５°)＋１０sin(ωt＋３０°) ＝８sinωt＋１２(sinωtcos４５°－cosωtsin４５°)＋ １０(sinωtcos３０°＋cosωtsin３０°) ＝８sinωt＋１２(２２sinωt－ ２ ２cosωt )＋１０(３２sinωt＋ １ ２cosωt ) ＝(８＋６ ２＋５ ３)sinωt＋(６－６ ２)cosωt 答案:(８＋６ ２＋５ ３)sinωt＋(６－６ ２)cosωt １０．A　[设树的高度为h,由正弦定理可得 ６０sin(４５°－３０°) ＝ PBsin３０° ,PB＝ ６０×１２ sin１５°＝ ３０ sin１５°．h＝PB 􀅰sin４５°＝ ３０ sin１５° 􀅰sin４５°＝ ３０＋３０ ３( )m．] １１．B　[由题可知∠ABC＝５０°,A,B,C 位 置关系如图,则灯塔A 在灯塔B 的北 偏西１０°．] １２．B　 [在 △ABC 中,AC＝１５ m,AB＝ ５ １９m,BC＝１０ m,由 余 弦 定 理 得 cos∠ACB＝AC ２＋BC２－AB２ ２×AC×BC ＝ １５２＋１０２－ ５１９( )２ ２×１５×１０ ＝ －１２ ,所 以 sin∠ACB＝ ３２． 又 ∠ACB＋∠ACD＝ １８０°,所以sin∠ACD＝sin∠ACB＝ ３２． 在 Rt△ACD 中,AD＝ACsin∠ACD＝１５× ３２＝ １５ ３ ２ m． ] １３．解析:由题意得A＝３,T＝２７π ,φ＝ π ６ ,则ω＝２πT＝７ , 故所求函数解析式为y＝３sin ７t＋π６( )． 答案:y＝３sin ７t＋π６( ) １４．解析:依题意,∠BAC＝３０°,∠ABC＝１０５°．在△ABC 中,因 为 ∠ABC＋ ∠BAC＋ ∠ACB＝１８０°,所 以 ∠ACB＝４５°,因 为 AB＝６００ m,由 正 弦 定 理 可 得 ６００ sin４５°＝ BC sin３０° ,即BC＝３００ ２m．在 Rt△BCD 中, 因为∠CBD＝３０°,BC＝３００ ２m,所以tan３０°＝CDBC ＝ CD ３００ ２ ,所以CD＝１００ ６m． 答案:１００ ６ １５．解:(１)依题意知,∠CAB＝１２０°,AB＝１００×２＝２００ (海里),AC＝１２０(海里),∠ACB＝α,在△ABC 中, 由余 弦 定 理,得 BC２ ＝AB２ ＋AC２ －２AB􀅰AC cos∠CAB＝２００２＋１２０２－２×２００×１２０cos１２０°＝ ７８４００,解得BC＝２８０(海里)．所以该军舰艇的速度 为２８０÷２＝１４０(海里/小时)． (２)在△ABC 中,由正弦定理,得 ABsinα＝ BC sin１２０° ,即 sinα＝ABsin１２０°BC ＝ ２００× ３２ ２８０ ＝ ５ ３ １４ ． 答案:(１)１４０(海里/小时)　(２)５ ３１４ 课时作业１０　数列 １．C　[数列{n(n－２)}中的第１０项是１０×８＝８０,故 A错 误;数列１,－１,１,－１,１,－１,􀆺是无穷数列,故B错误;D 中,当a＝c时,数列a,b,c和数列c,b,a表示同一数列,故 D错误;数列中的项可以相等,故C正确．] ２．D　[a１０＝(－１)１０＋１􀅰１０＝－１０．] ３．D　[令n２－８n＋１５＝３,解 此 方 程 可 得n＝２ 或 n＝６,所以３可以是该数列的第２项,也可以是该数列 的第６项．] ４．C　[由an＝ ３n＋１,n为奇数, ２n－２,n为偶数,{ 得a２＝２,a３＝１０,所以 a２􀅰a３＝２０．] ５．解析:C　[令n＝１,２,３,４,代入 A,B,C,D检验,A,B, D项不符合,C项符合．] ６．解析:a４＋a５＝ １ ４－ １ ５( )＋ １ ５－ １ ６( )＝ １ １２． 答案:１ １２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７８２􀅰 参考答案 ７．解析:由an＝２n＋３,得an＋１＝２(n＋１)＋３＝２n＋５． 答案:２n＋５ ８．解 析:[由 题 意 可 知,偶 数 项 为 负,各 项 为１－１１＋１ , －２－１２＋１ ,３－１ ３＋１ 􀆺,故an＝(－１)n－１􀅰 n－１ n＋１． ] 答案:an＝(－１)n－１􀅰 n－１ n＋１ ９．解析:(１)∵an＝３n２－２８n,∴a４＝３×４２－２８×４＝ －６４,a６＝３×６２－２８×６＝－６０． (２)令３n２－２８n＝－４９,即３n２－２８n＋４９＝０,∴n＝７ 或n＝７３ (舍)．∴－４９是该数列的第７项,即a７＝ －４９．令３n２－２８n＝６８,即３n２－２８n－６８＝０,∴n＝ －２或n＝３４３．∵－２∉N＋ ,３４ ３∉N＋ ,∴６８不是该数列 的项． 答案:(１)－６４　－６０　(２)见解析 １０．C　[因为每一项的绝对值是该项序号的平方,奇数 项符号为正,偶数项符号为负,所以an＝(－１)n＋１ 􀅰n２．] １１．C　[易知数列的通项公式为an＝ ３(２n－１)(n∈ N＋),令 ３(２n－１)＝９,解得n＝１４．] １２．A　[由an＋１＝an＋２＋an,得a３＝３,a４＝－２,a５＝ －５,a６＝－３．] １３．解析:由于数列的前几项中根号下的数都是由小到 大的奇数,所以需要填空的数为 ９＝３． 答案:３ １４．解析:这个数列的前４项的绝对值都等于序号与序 号加１的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正, 故它的一个通项公式an＝(－１)n􀅰 １ n(n＋１)． 答案:an＝(－１)n􀅰 １ n(n＋１) １５．解:根据题意,a１＝２,a２＝２a１＝２×２＝４,a３＝２a２＝２ ×４＝８,a４＝２a３＝２×８＝１６,所以an＝２n． 答案:２　４　８　１６　２n 课时作业１１　等差数列的概念 １．B　[由an＝４n－１,得a１＝４×１－１＝３,d＝an＋１－an ＝[４(n＋１)－１]－(４n－１)＝４,所以数列{an}是首项 为３、公差为４的等差数列．] ２．D　[由a２＝a１＋d＝４,a４＝a１＋３d＝６,解得d＝１．] ３．A　[由题知a,b的等差中项为 １ ２ １ ３＋ ２ ＋ １ ３－ ２ æ è ç ö ø ÷＝１２ ３－ ２＋ ３＋ ２( )＝３． ] ４．B　[由条件得 a１＋６d－２(a１＋３d)＝－１, a１＋２d＝０,{ 解得 a１＝１, d＝－１２．{ ] ５．C　[由条件知,２(x＋１)＝(x－１)＋(２x＋３),∴x＝ ０,∴此等差数列的首项a１＝－１,公差d＝２,∴an＝２n －３．] ６．解析:[因为{an}是等差数列,所以a２＋a５＝a１＋d＋ a１＋４d＝１０,解得d＝ ４ ５ ,所以a６＝a１＋５d＝３＋５× ４ ５＝７． ] 答案:７ ７．解析:依题意得,该数列的首项为－８,公差为５,设该 等差数列为{an},则a１００＝－８＋９９×５＝４８７． 答案:４８７ ８．解析:设此等差数列为{an},公差为d,最上一节为a１, 则 a１＋a２＋a３＋a４＝３, a７＋a８＋a９＝４,{ ∴ ４a１＋６d＝３, ３a１＋２１d＝４,{ 解得 a１＝ １３ ２２ , d＝７６６ , ì î í ïï ï ∴a５＝a１＋４d＝ １３ ２２ ＋４×７６６＝ ６７ ６６． 答案:６７ ６６ ９．解析:数列－１,３,７,１１,􀆺是首项为－１、公差为４的 等差数列,其通项公式为an＝４(n－１)－１＝４n－５．令 ４n－５＝８３,解得n＝２２∈N＋,所以 ８３是数列的第 ２２项． 答案:８３是数列的第２２项 １０．C　[a１＝１,d＝－１－１＝－２,∴an＝１＋(n－１)(－２)＝ －２n＋３,由－８９＝－２n＋３,得n＝４６．] １１．B　[∵a１＝２０,d＝－３,∴an＝２０＋(n－１)×(－３) ＝２３－３n,∴a７＝２＞０,a８＝－１＜０．故数列中第一个 负数项是第８项．] １２．B　[设公差为d,由题意,得 a１＋４d＝３３ a１＋４４d＝１５３{ ,解 得 a１＝２１ d＝３{ ．∴an＝a１＋(n－１)d＝２１＋３(n－１)＝３n＋ １８．令２０１＝３n＋１８,∴n＝６１．] １３．解析:设n年后该市新建住房的面积为an 万平方米． 由题意,得{an}是等差数列,首项a１＝４５０,公差d＝ ５０,所以an＝a１＋(n－１)d＝４００＋５０n．令４００＋５０n ＞８２０,解得n＞４２５． 由于n∈N＋,则n≥９．所以该市 在２０２９年新建住房的面积开始大于８２０万平方米． 答案:２０２９ １４．解析:设这两个等差数列公差分别是d１,d２,则a２－ a１＝d１,b２－b１＝d２．第一个数列共(m＋２)项,∴d１ ＝y－xm＋１ ;第二个数列共(n＋２)项,∴d２＝y －x n＋１ ,∴ a２－a１ b２－b１ ＝ d１ d２ ＝n＋１m＋１． 答案:n＋１ m＋１ １５．解:(１)因为 a１＋４d＝１５, a１＋１６d＝３９,{ 解得 a１＝７, d＝２,{ 所以an＝７ ＋２(n－１)＝２n＋５(n∈N＋ )．令２n＋５＝９１,得n＝ ４３．因为４３为正整数,所以９１是此数列中的项． (２)由a２＝１１,a８＝５, 得 a１＋d＝１１, a１＋７d＝５,{ 解得 a１＝１２, d＝－１．{ ∴an＝１２＋(n－１)× (－１)＝１３－n(n∈N＋),所以a１０＝１３－１０＝３． 答案:(１)９１是此数列的项　(２)３ 课时作业１２　等差数列的前n项和 １．C　[a６＝S６－S５＝(３＋２６)－(３＋２５)＝３２．] ２．A　[由a１＋a３＋a５＝３a３＝３,得a３＝１,又 S５＝ ５(a１＋a５) ２ ＝５a３＝５． ] ３．C　[因为S７＝ ７(a１＋a７) ２ ＝７a４ ,所以a４＝ S７ ７＝１０． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８８２􀅰