课时作业9 三角计算的应用-2024-2025学年中职高二数学同步（人教版2021·拓展模块一）

课时作业８　三角形的面积及正弦定理 １．D　[因为S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ ３ ２ ,所以１ ２×２× ３sinA ＝３２ ,所以sinA＝ ３２． 所以∠A＝６０°或１２０°．] ２．B　 [由 正 弦 定 理 得 BCsinA ＝ AC sinB ,所 以 AC ＝ BC􀅰sinB sinA ＝ ３ ２×sin４５° sin６０° ＝２ ３． ] ３．D　 [因 为 a＝ ２,b＝２,∠B＝４５°,所 以 ２sinA＝ ２ sin４５° ,可得sinA＝ ２２sin４５°＝ １ ２ ,又a＜b,可得∠A ＜∠B,所以∠A＝３０°．] ４．C　[由sinC＝１,∴C＝π２ ,由A∶B＝１∶２,故A＋B ＝３A＝π２ ,得A＝π６ ,B＝π３ ,由正弦定理得,a∶b∶c ＝sinA∶sinB∶sinC＝１２∶ ３ ２∶１＝１∶ ３∶２． ] ５．B　 [由 a＝２RsinA,b＝２RsinB,c＝２RsinC 得 a＋b＋c sinA＋sinB＋sinC＝２R＝ a sinA＝ １３ ３ ２ ＝２ ３９３ ． ] ６．解析:等边三角形的面积为S＝１２×４×４×sin６０° ＝８× ３２＝４ ３． 答案:４ ３ ７．解析:依题意,由正弦定理知 １ sin π６ ＝ ３sinB ,得出sinB ＝ ３２．∵b＞a ,∴B＞π６ ,所以B＝π３ 或２π ３． 答案:π ３ 或２π ３ ８．解析:∵在△ABC 中,∠A＝６０°,a＝４ ３,b＝４ ２,∴ 由 a sinA＝ b sinB ,得sinB＝ ２２． 又a＝４ ３＞b＝４ ２,∴ ６０°＝A＞B,∴∠B＝４５°． 答案:４５° ９．解析:由三角形的内角和为１８０°可知∠A＋∠B＋∠C＝ １８０°,则∠A＝１８０°－∠B－∠C＝１８０°－６０°－１５°＝１０５°． 根据正弦定理 a sinA＝ b sinB＝ c sinC ,可得 b＝asinBsinA ＝ ３＋１( )sin６０° sin１０５° ＝ ６ ; c＝asinCsinA ＝ ３＋１( )sin１５° sin１０５° ＝ ３－１ ,所以三角形的 面 积 为 S△ABC ＝ １ ２acsin B ＝ １ ２ × ３＋１( ) × ３－１( )× ３ ２＝ ３ ２． 答案:６　 ３－１　 ３２ １０．D　[由正弦定理得 asinA＝ b sinB ,所以a＝bsinAsinB ＝ １２×１２ １ ＝６． ] １１．A　[利用正弦定理可得 ２sin４５°＝ ２ sinC ,从而sinC＝ １ ２． 又AB＜BC,且∠A＝４５°,∴∠C＝３０°．] １２．D　[对于 A 项,∠B＝１８０°－∠A－∠C＝６５°,由正 弦定理知只有一解;对于 B项,因为a＞b,所以∠A ＞∠B,又∠A＝１５０°,所以只有一解;对于C项,因为 a＜b,所以∠A＜∠B,而∠A＝９８°,所以无解;对于 D 项,sinB＝bsinAa ＝ １６sin４５° １４ ＝ ４ ２ ７ ＜１ ,且bsinA＜ a＜b,所以有两解．] １３．解析:在△ABC 中,因为cosA＝ ３２ ,所以sinA＝ １ ２ ,在 △ABC 中,a＝１,c＝ ３,由 正 弦 定 理 可 得: sinC＝ ３×１２ １ ＝ ３ ２ ,因为a＜c,可得:∠A＝３０°,∠C ＝１２０°,所以∠B＝３０°,所以b＝a＝１． 答案:１ １４．解析:因为 asinA＝ b sinB ,所以 a sin６０°＝ b sin４５° ,所以 ３ ２b＝ ２ ２a ① ,又 因 为 a＋b＝１２ ②,由 ① ② 可 知a＝１２ ３－ ６( )． 答案:１２ ３－ ６( ) １５．解析:(１)∠A,∠B,∠C 为△ABC 的内角,且∠B＝ π ３ ,cosA＝４５ ,可得∠C＝２π３－∠A ,sinA＝３５ ,则 sinC＝sin ２π３－A( )＝ ３ ２cosA＋ １ ２sinA＝ ３＋４ ３ １０ ． (２)由(１)知sinA＝３５ ,sinC＝３＋４ ３１０ ,且∠B＝π３ , b＝ ３,因此在△ABC中,由正弦定理得a＝bsinAsinB ＝ ６ ５． 则△ABC的面积S＝１２absinC＝ １ ２× ６ ５× ３× ３＋４ ３ １０ ＝ ３６＋９ ３ ５０ ． 答案:(１)３＋４ ３１０ 　 (２)３６＋９ ３５０ 课时作业９　三角计算的应用 １．C　[f(x)＝２cos２x＋２ ３sinxcosx ＝cos２x＋１＋ ３sin２x ＝２ ３ ２sin２x＋ １ ２cos２x æ è ç ö ø ÷＋１ ＝２ sin２x􀅰cosπ６＋cos２x 􀅰sin π６( )＋１ ＝２sin ２x＋π６( )＋１所以周期T＝ ２π ２＝π． 最大值为２ ＋１＝３．] ２．A　[如图,设树干底部为O,树尖着 地处为 B,折断点为 A,则 ∠ABO＝ ４５°,∠AOB＝７５°,所以∠OAB＝６０°． 由正弦定理知,AO sin４５°＝ ２０ sin６０° ,解得 AO＝２０ ６３ m． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６８２􀅰 ３．B　[如图,因为OA＝２ ３km,OB＝４ ３km,∠AOB＝１２０°,所以∠OAC＝ ６０°,OC＝ ２ ３( )２＋ ４ ３( )２－２×２ ３×４ ３cos６０° ＝６km．] ４．A　[如图所示,在△PMN 中,PM sin４５°＝ MN sin１２０° ,所 以 MN＝６８ ３ ２ ＝３４ ６(海里),所以v＝MN４ ＝ １７ ６ ２ (海 里/小时)．] ５．C　 [在 △ABC 中 根 据 题 意 可 得,∠ABC＝３０°, ∠ACB＝７５°,∠BAC＝７５°,BC＝２０km,根据正弦定 理得, BC sin∠BAC＝ AC sin∠ABC． 所以AC＝ BCsin∠BAC 􀅰 sin∠ABC＝ ２０sin７５° 􀅰sin３０°＝１０ ６－ ２( )(km)．] ６．解析:由已知,得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝３０°．又 ∠PBA＝∠PBQ＝６０°,∴∠AQB＝３０°,∴AB＝BQ． 又PB 为公共边,∴△PAB≌△PQB,∴PQ＝PA．在 Rt△PAB 中,AP＝AB􀅰tan６０°＝９００(m),故PQ＝ ９００m,∴P,Q 两点间的距离为９００m． 答案:９００ ７．解析:在△ABC 中,AB＝BC＝４００米,∠ABC＝ π３ , 所以AC＝AB＝４００米,∠BAC＝π３ ,所以∠CAD＝ ∠BAD－∠BAC＝２π３－ π ３＝ π ３． 所以在△CAD 中, 由余弦 定 理,得 CD２＝AC２＋AD２－２AC􀅰AD􀅰 cos∠CAD＝４００２＋２５０２－２×４００×２５０×cosπ３ ＝ １２２５００,所以CD＝３５０(米)． 答案:３５０ ８．解析:过点A 作AH⊥BC 于点 H,由 图 易 知 ∠BAH ＝４５°, ∠CAH＝６０°,AH＝２００m,则 BH＝AH＝２００m,CH＝AH􀅰 tan６０°＝２００ ３ m．故 两 船 距 离 BC＝BH＋CH＝ ２００ ３＋１( )m． 答案:２００ ３＋１( ) ９．解析:I＝I１＋I２＋I３ ＝８sinωt＋１２sin(ωt－４５°)＋１０sin(ωt＋３０°) ＝８sinωt＋１２(sinωtcos４５°－cosωtsin４５°)＋ １０(sinωtcos３０°＋cosωtsin３０°) ＝８sinωt＋１２(２２sinωt－ ２ ２cosωt )＋１０(３２sinωt＋ １ ２cosωt ) ＝(８＋６ ２＋５ ３)sinωt＋(６－６ ２)cosωt 答案:(８＋６ ２＋５ ３)sinωt＋(６－６ ２)cosωt １０．A　[设树的高度为h,由正弦定理可得 ６０sin(４５°－３０°) ＝ PBsin３０° ,PB＝ ６０×１２ sin１５°＝ ３０ sin１５°．h＝PB 􀅰sin４５°＝ ３０ sin１５° 􀅰sin４５°＝ ３０＋３０ ３( )m．] １１．B　[由题可知∠ABC＝５０°,A,B,C 位 置关系如图,则灯塔A 在灯塔B 的北 偏西１０°．] １２．B　 [在 △ABC 中,AC＝１５ m,AB＝ ５ １９m,BC＝１０ m,由 余 弦 定 理 得 cos∠ACB＝AC ２＋BC２－AB２ ２×AC×BC ＝ １５２＋１０２－ ５１９( )２ ２×１５×１０ ＝ －１２ ,所 以 sin∠ACB＝ ３２． 又 ∠ACB＋∠ACD＝ １８０°,所以sin∠ACD＝sin∠ACB＝ ３２． 在 Rt△ACD 中,AD＝ACsin∠ACD＝１５× ３２＝ １５ ３ ２ m． ] １３．解析:由题意得A＝３,T＝２７π ,φ＝ π ６ ,则ω＝２πT＝７ , 故所求函数解析式为y＝３sin ７t＋π６( )． 答案:y＝３sin ７t＋π６( ) １４．解析:依题意,∠BAC＝３０°,∠ABC＝１０５°．在△ABC 中,因 为 ∠ABC＋ ∠BAC＋ ∠ACB＝１８０°,所 以 ∠ACB＝４５°,因 为 AB＝６００ m,由 正 弦 定 理 可 得 ６００ sin４５°＝ BC sin３０° ,即BC＝３００ ２m．在 Rt△BCD 中, 因为∠CBD＝３０°,BC＝３００ ２m,所以tan３０°＝CDBC ＝ CD ３００ ２ ,所以CD＝１００ ６m． 答案:１００ ６ １５．解:(１)依题意知,∠CAB＝１２０°,AB＝１００×２＝２００ (海里),AC＝１２０(海里),∠ACB＝α,在△ABC 中, 由余 弦 定 理,得 BC２ ＝AB２ ＋AC２ －２AB􀅰AC cos∠CAB＝２００２＋１２０２－２×２００×１２０cos１２０°＝ ７８４００,解得BC＝２８０(海里)．所以该军舰艇的速度 为２８０÷２＝１４０(海里/小时)． (２)在△ABC 中,由正弦定理,得 ABsinα＝ BC sin１２０° ,即 sinα＝ABsin１２０°BC ＝ ２００× ３２ ２８０ ＝ ５ ３ １４ ． 答案:(１)１４０(海里/小时)　(２)５ ３１４ 课时作业１０　数列 １．C　[数列{n(n－２)}中的第１０项是１０×８＝８０,故 A错 误;数列１,－１,１,－１,１,－１,􀆺是无穷数列,故B错误;D 中,当a＝c时,数列a,b,c和数列c,b,a表示同一数列,故 D错误;数列中的项可以相等,故C正确．] ２．D　[a１０＝(－１)１０＋１􀅰１０＝－１０．] ３．D　[令n２－８n＋１５＝３,解 此 方 程 可 得n＝２ 或 n＝６,所以３可以是该数列的第２项,也可以是该数列 的第６项．] ４．C　[由an＝ ３n＋１,n为奇数, ２n－２,n为偶数,{ 得a２＝２,a３＝１０,所以 a２􀅰a３＝２０．] ５．解析:C　[令n＝１,２,３,４,代入 A,B,C,D检验,A,B, D项不符合,C项符合．] ６．解析:a４＋a５＝ １ ４－ １ ５( )＋ １ ５－ １ ６( )＝ １ １２． 答案:１ １２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７８２􀅰 参考答案 　　课时作业９　三角计算的应用 [基础过关] １．函数f(x)＝２cos２x＋２ ３sinxcosx的 最大值和最小正周期为 (　　) A．１,π B．１,２π C．３,π D．３,２π ２．已知某路边一树干被台风吹断后,树尖 与地面成４５°角,树干也倾斜为与地面 成７５°角,树干底部与树尖着地处相距 ２０m,则折断点与树干底部的距离是 (　　) A．２０ ６３ m B．１０ ６m C．１０ ６３ m D．２０ ２m ３．已知一艘船以４km/h的速度与水流方 向成１２０°的方向航行,已知河水流速为 ２km/h,则经过 ３h,该船实际航程为 (　　) A．２ １５km B．６km C．２ ２１km D．８km ４．一船自西向东匀速航行,上午１０时到 达一座灯塔P 的南偏西７５°距塔６８海 里的M 处,下午２时到达这座灯塔的东 南方向的N 处,则这只船的航行速度为 (　　) A．１７ ６２ 海里/小时 B．３４ ６海里/小时 C．１７ ２２ 海里/小时 D．３４ ２海里/小时 ５．如图,货轮在海上以４０ km/h的速度由 B 向C 航 行,航 行 的 方 位 角 ∠NBC＝１４０°,A 处 有 灯塔,方位角∠NBA＝１１０°,在C 处观 察灯塔A 的方位角∠N′CA＝３５°,由B 到C 需要航行半小时,则C 到灯塔A 的距离是 (　　) A．１０ ６km B．１０ ２km C．１０ ６－ ２( )km D．１０ ６＋ ２( )km ６．如图,为了测量两座 山峰上P,Q两个之间 的距离,选择山坡上 一段长度为３００ ３m 且和P,Q 两点在同一平面内的路段 AB 的两个端 点 作 为 观 测 点,现 测 得 ∠PAB ＝ ９０°,∠PAQ ＝ ∠PBA ＝ ∠PBQ＝６０°,则P,Q 两点间的距离为 　　　　m． ７．如图,CD 是京九铁路 线上 的 一 条 穿 山 隧 道,开凿前,在CD 所 在水平面上的山体外 取点A,B,并测得四边形 ABCD 中, ∠ABC＝π３ ,∠BAD＝２π３ ,AB＝BC＝ ４００米,AD＝２５０米,则应开凿的隧道 CD 的长为　　　　米． ８．在高出海平面２００m的小岛顶点A 处, 测得位于正西和正东方向的两船的俯 角分别是４５°与３０°,此时两船间的距离 为　　　　m． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 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