课时作业7 余弦定理&课时作业8 三角形的面积及正弦定理-2024-2025学年中职高二数学同步（人教版2021·拓展模块一）

　　课时作业７　余弦定理 [基础过关] １．在△ABC 中,a＝ ３,b＝１,∠C＝１５０°, 那么c等于 (　　) A．４９　　B．７　　C．１３　　D．１３ ２．在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分 别为a,b,c,若a２＋c２－b２＝ ３ac,则 ∠B 的值为 (　　) A．π６ B． π ３ C．π６ 或５π ６ D． π ３ 或２π ３ ３．在△ABC 中,已知a＝２,则bcosC＋ ccosB 等于 (　　) A．１ B．２ C．２ D．４ ４．已知△ABC 三边满足a２＋b２＝c２－ ３ ab,则此三角形的最大角为 (　　) A．６０° B．９０° C．１２０° D．１５０° ５．在△ABC中,若a＝８,b＝７,cosC＝１３１４ , 则最大角的余弦值是 (　　) A．－１５ B．－ １ ６ C．－ １ ７ D．－ １ ８ ６．在△ABC 中,a＝３,b＝４,c＝ ３７,则最 大角的度数为　　　　; ７．在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若３b２＋３c２－３a２＝４ ２bc,则cosA 的值为　　　　． ８．在 △ABC 中,∠B＝６０°,b２ ＝ac,则 △ABC的形状为　　　　． ９．在△ABC 中,已知a＝３,c＝ ３,∠A＝ １２０°,求b和∠C的值． [能力提升] １０．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为 a,b,c,若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c),则 A＝ (　　) A．９０° B．６０° C．１２０° D．１５０° １１．△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c．已知b＝c,a２＝２b２(１－sinA), 则A＝ (　　) A．３π４ B． π ３ C． π ４ D． π ６ １２．若△ABC的内角A,B,C 所对边a,b, c满足(a＋b)２－c２＝４,且C＝６０°则ab 的值为 (　　) A．４３ B．８－４ ３ C．１ D．２３ １３．若△ABC的三条边a,b,c满足(a＋b) ∶(b＋c)∶(c＋a)＝７∶９∶１０,则cosC 值为　　　　． １４．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为 a,b,c,若a＝３,b＝２,cos(A＋B)＝１３ , 则c等于　　　　． １５．在△ABC中,BC＝a,AC＝b,a,b是方 程x２ －２ ３x＋２＝０ 的两个根,且 ２cos(A＋B)＝１, (１)求∠C的度数; (２)求AB 的长度． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７０２􀅰 第一章　三角计算 　　课时作业８　三角形的面积及正弦定理 [基础过关] １．已知△ABC 的面积为３２ ,且b＝２,c＝ ３,则 (　　) A．∠A＝３０ B．∠A＝６０° C．∠A＝３０°或１５０° D．∠A＝６０°或１２０° ２．在△ABC 中,若∠A＝６０°,∠B＝４５°, BC＝３ ２,则AC等于 (　　) A．４ ３ B．２ ３ C．３ D．３２ ３．△ABC 中,已知a＝ ２,b＝２,∠B＝ ４５°,则角A 等于 (　　) A．３０°或１５０° B．６０°或１２０° C．６０° D．３０° ４．在△ABC 中,A∶B＝１∶２,sinC＝１, 则a∶b∶c＝ (　　) A．１∶２∶３ B．３∶２∶１ C．１∶ ３∶２ D．２∶ ３∶１ ５．在 △ABC 中,A ＝６０°,a＝ １３,则 a＋b＋c sinA＋sinB＋sinC 等于 (　　) A．８ ３３ B． ２ ３９ ３ C．２６ ３３ D．２ ３ ６．已知等边三角形的边长为４,则它的面 积为　　　　． ７．在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别 为a,b,c,已知A＝π６ ,a＝１,b＝ ３,则B ＝　　　　． ８．在△ABC中,∠A＝６０°,a＝４ ３,b＝４ ２, 则∠B 等于　　　　． ９．在△ABC中,已知∠B＝６０°,∠C＝１５°, a＝ ３＋１求b,c,S△ABC的值． [能力提升] １０．在△ABC中,若b＝１２,∠A＝３０°,∠B ＝９０°,则a＝ (　　) A．２ B．２ ３ C．４ D．６ １１．在△ABC中,已知∠A＝４５°,AB＝ ２, BC＝２,则∠C＝ (　　) A．３０° B．６０° C．１２０° D．３０°或１５０° １２．在△ABC中,根据下列条件解三角形, 其中有两解的是 (　　) A．b＝１０,∠A＝４５°,∠C＝７０° B．a＝３０,b＝２５,∠A＝１５０° C．a＝７,b＝８,∠A＝９８° D．a＝１４,b＝１６,∠A＝４５° １３．设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别 为a,b,c,若a＝１,c＝ ３,cosA＝ ３２ , 则b＝　　　　． １４．在△ABC中,A＝６０°,B＝４５°,a＋b＝ １２,则a＝　　　　． １５．在△ABC中,∠A,∠B,∠C 的对边分 别为a,b,c,∠B＝π３ ,cosA＝４５ ,b＝ ３．求:(１)sinC 的值;(２)△ABC 的 面积． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８０２􀅰 １４．解析:由题中各图象特点,知可选用－π２ 和π ６ 这两个 特殊值来断定．当x＝－π２ 时,y＝sin －４π３( ) ＝ ３ ２ , 当x＝π６ 时,y＝sin０＝０．符合的只有①． 答案:① １５．解析:(１)由表可知A＝３,T＝５π６－ － π ６( ) ＝π,因为 T＝２πω ,故２π ω＝π ,解得ω＝２,所以y＝３sin(２x＋φ)． 因为函数图象过点 π １２ ,３( ),则３＝３sin ２×π１２＋φ( ), 即sin π６＋φ( )＝１,所以 π ６＋φ＝２kπ＋ π ２ ,k∈Z,解 得φ＝２kπ＋ π ３ ,k∈Z,又因为|φ|＜ π ２ ,所以φ＝ π ３． (２)由(１)可知y＝３sin ２x＋π３( )．因为 ３π ４≤x≤ ５π ４ , 所以１１π ６ ≤２x＋ π ３≤ １７π ６ ,因此,当２x＋π３＝ １１π ６ 时, 即x＝３π４ 时,y＝－３２ ,当２x＋π３＝ １７π ６ 时,即x＝５π４ 时,y＝３２ ,当２x＋π３＝ ５π ２ 时,即x＝１３π１２ 时,y＝３,所 以该函数在区间 ３π ４ ,５π ４[ ] 上的最大值是３,最小值是 －３２． 答案:(１)３　２　π３　 (２)３　－３２ 课时作业７　余弦定理 １．B　[c２＝a２＋b２－２abcosC ＝３＋１－２􀅰 ３􀅰１􀅰 － ３２ æ è ç ö ø ÷＝７．∴c＝ ７．] ２．A　[因为cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac ＝ ３ac ２ac＝ ３ ２ ,所以∠B ＝π６． ] ３．C　[bcosC＋ccosB＝b􀅰a ２＋b２－c２ ２ab ＋c 􀅰a ２＋c２－b２ ２ac ＝２a ２ ２a＝a＝２． ] ４．D　[由余弦定理得cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＝c ２－ ３ab－c２ ２ab ＝－ ３ ２ ,∵０°＜C＜１８０°,∴C＝１５０°, 故三角形的最大角是１５０°．] ５．C　[由余弦定理,得c２＝a２＋b２－２abcosC＝８２＋７２ －２×８×７×１３１４＝９ ,所以c＝３,故a最大,所以最大角 的余 弦 值 为 cosA ＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝ ７２＋３２－８２ ２×７×３ ＝ －１７． ] ６．解析:∵c＞a,c＞b,∴角C 最大．由余弦定理,得c２＝ a２＋b２－２abcosC,即３７＝９＋１６－２４cosC,∴cosC＝ －１２ ,∵０°＜C＜１８０°,∴C＝１２０°．∴△ABC 的最大内 角为１２０°． 答案:１２０° ７．解析:由 ３b２＋３c２－３a２＝４ ２bc得b２＋c２－a２＝ ２􀅰２ ２３ 􀅰bc．而b２＋c２－a２＝２bccosA,所以cosA ＝２ ２３ ． 答案:２ ２ ３ ８．解析:由余弦定理得,b２＝a２＋c２－２accosB＝a２＋c２ －ac．又因为b２＝ac,所以ac＝a２＋c２－ac．即(a－c)２ ＝０,所以a＝c．又因为∠B＝６０°,所以△ABC 为等边 三角形． 答案:等边三角形 ９．解析:由余弦定理得a２＝b２＋c２－２bccosA,且a＝３, c＝ ３,∠A＝１２０°,代入得３２＝b２＋ ３( )２－２b× ３ cos１２０°,即得b２＋ ３b－６＝０,解得b１＝ ３,b２＝－２ ３(舍)．又因为c＝ ３,所以b＝c,即△ABC 为等腰三 角形,∠A＝１２０°,所以∠B＝∠C＝３０°． 答案:３　３０° １０．C　[由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)可得a２－c２＝b２＋ bc,即 a２ ＝c２ ＋b２ ＋bc．根 据 余 弦 定 理 得 cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝ －bc ２bc＝－ １ ２ ,因为A 为△ABC 的内角,所以A＝１２０°．] １１．C　[由余弦定理得a２＝b２＋c２－２bccosA＝２b２－ ２b２cosA,所以２b２(１－sinA)＝２b２(１－cosA),所以 sinA＝cosA,由正切函数的定义得tanA＝１,又０＜A ＜π,所以A＝π４． ] １２．A　[由(a＋b)２－c２＝４得a２＋b２－c２＝４－２ab,而 a２＋b２－c２＝２abcosC,且C＝６０°,则a２＋b２－c２＝ ab,所以ab＝４３． ] １３．解析:∵(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝７∶９∶１０,不妨 设a＋b＝７k,则b＋c＝９k,c＋a＝１０k,求得a＝４k,b ＝３k,c＝６k,再 利 用 余 弦 定 理 可 得 cosC ＝ a２＋b２－c２ ２ab ＝－ １１ ２４． 答案:－１１２４ １４．解析:cosC＝－cos(A＋B)＝－１３ ,所以c２＝a２＋b２ －２abcosC＝３２＋２２－２×３×２× －１３( ) ＝１７,所以 c＝ １７． 答案: １７ １５．解析:由题结合内角和为１８０°可知,cosC＝cos[π－ (A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－１２ ,所以∠C＝１２０°． (２)因为a,b是方程x２－２ ３x＋２＝０的两个根,所 以 a＋b＝２ ３, ab＝２{ 由余弦定理可得,AB ２＝AC２＋BC２ －２AC􀅰BC􀅰cosC ＝b２＋a２－２abcos１２０°＝a２＋b２＋ab ＝(a＋b)２－ab＝ ２ ３( )２－２＝１０,所以AB＝ １０． 答案:(１)１２０°　(２) １０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５８２􀅰 参考答案 课时作业８　三角形的面积及正弦定理 １．D　[因为S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ ３ ２ ,所以１ ２×２× ３sinA ＝３２ ,所以sinA＝ ３２． 所以∠A＝６０°或１２０°．] ２．B　 [由 正 弦 定 理 得 BCsinA ＝ AC sinB ,所 以 AC ＝ BC􀅰sinB sinA ＝ ３ ２×sin４５° sin６０° ＝２ ３． ] ３．D　 [因 为 a＝ ２,b＝２,∠B＝４５°,所 以 ２sinA＝ ２ sin４５° ,可得sinA＝ ２２sin４５°＝ １ ２ ,又a＜b,可得∠A ＜∠B,所以∠A＝３０°．] ４．C　[由sinC＝１,∴C＝π２ ,由A∶B＝１∶２,故A＋B ＝３A＝π２ ,得A＝π６ ,B＝π３ ,由正弦定理得,a∶b∶c ＝sinA∶sinB∶sinC＝１２∶ ３ ２∶１＝１∶ ３∶２． ] ５．B　 [由 a＝２RsinA,b＝２RsinB,c＝２RsinC 得 a＋b＋c sinA＋sinB＋sinC＝２R＝ a sinA＝ １３ ３ ２ ＝２ ３９３ ． ] ６．解析:等边三角形的面积为S＝１２×４×４×sin６０° ＝８× ３２＝４ ３． 答案:４ ３ ７．解析:依题意,由正弦定理知 １ sin π６ ＝ ３sinB ,得出sinB ＝ ３２．∵b＞a ,∴B＞π６ ,所以B＝π３ 或２π ３． 答案:π ３ 或２π ３ ８．解析:∵在△ABC 中,∠A＝６０°,a＝４ ３,b＝４ ２,∴ 由 a sinA＝ b sinB ,得sinB＝ ２２． 又a＝４ ３＞b＝４ ２,∴ ６０°＝A＞B,∴∠B＝４５°． 答案:４５° ９．解析:由三角形的内角和为１８０°可知∠A＋∠B＋∠C＝ １８０°,则∠A＝１８０°－∠B－∠C＝１８０°－６０°－１５°＝１０５°． 根据正弦定理 a sinA＝ b sinB＝ c sinC ,可得 b＝asinBsinA ＝ ３＋１( )sin６０° sin１０５° ＝ ６ ; c＝asinCsinA ＝ ３＋１( )sin１５° sin１０５° ＝ ３－１ ,所以三角形的 面 积 为 S△ABC ＝ １ ２acsin B ＝ １ ２ × ３＋１( ) × ３－１( )× ３ ２＝ ３ ２． 答案:６　 ３－１　 ３２ １０．D　[由正弦定理得 asinA＝ b sinB ,所以a＝bsinAsinB ＝ １２×１２ １ ＝６． ] １１．A　[利用正弦定理可得 ２sin４５°＝ ２ sinC ,从而sinC＝ １ ２． 又AB＜BC,且∠A＝４５°,∴∠C＝３０°．] １２．D　[对于 A 项,∠B＝１８０°－∠A－∠C＝６５°,由正 弦定理知只有一解;对于 B项,因为a＞b,所以∠A ＞∠B,又∠A＝１５０°,所以只有一解;对于C项,因为 a＜b,所以∠A＜∠B,而∠A＝９８°,所以无解;对于 D 项,sinB＝bsinAa ＝ １６sin４５° １４ ＝ ４ ２ ７ ＜１ ,且bsinA＜ a＜b,所以有两解．] １３．解析:在△ABC 中,因为cosA＝ ３２ ,所以sinA＝ １ ２ ,在 △ABC 中,a＝１,c＝ ３,由 正 弦 定 理 可 得: sinC＝ ３×１２ １ ＝ ３ ２ ,因为a＜c,可得:∠A＝３０°,∠C ＝１２０°,所以∠B＝３０°,所以b＝a＝１． 答案:１ １４．解析:因为 asinA＝ b sinB ,所以 a sin６０°＝ b sin４５° ,所以 ３ ２b＝ ２ ２a ① ,又 因 为 a＋b＝１２ ②,由 ① ② 可 知a＝１２ ３－ ６( )． 答案:１２ ３－ ６( ) １５．解析:(１)∠A,∠B,∠C 为△ABC 的内角,且∠B＝ π ３ ,cosA＝４５ ,可得∠C＝２π３－∠A ,sinA＝３５ ,则 sinC＝sin ２π３－A( )＝ ３ ２cosA＋ １ ２sinA＝ ３＋４ ３ １０ ． (２)由(１)知sinA＝３５ ,sinC＝３＋４ ３１０ ,且∠B＝π３ , b＝ ３,因此在△ABC中,由正弦定理得a＝bsinAsinB ＝ ６ ５． 则△ABC的面积S＝１２absinC＝ １ ２× ６ ５× ３× ３＋４ ３ １０ ＝ ３６＋９ ３ ５０ ． 答案:(１)３＋４ ３１０ 　 (２)３６＋９ ３５０ 课时作业９　三角计算的应用 １．C　[f(x)＝２cos２x＋２ ３sinxcosx ＝cos２x＋１＋ ３sin２x ＝２ ３ ２sin２x＋ １ ２cos２x æ è ç ö ø ÷＋１ ＝２ sin２x􀅰cosπ６＋cos２x 􀅰sin π６( )＋１ ＝２sin ２x＋π６( )＋１所以周期T＝ ２π ２＝π． 最大值为２ ＋１＝３．] ２．A　[如图,设树干底部为O,树尖着 地处为 B,折断点为 A,则 ∠ABO＝ ４５°,∠AOB＝７５°,所以∠OAB＝６０°． 由正弦定理知,AO sin４５°＝ ２０ sin６０° ,解得 AO＝２０ ６３ m． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６８２􀅰