2.2.1 等差数列的概念-2024-2025学年中职高二数学同步（人教版2021·拓展模块一）

第二章数列 ⊙[变式训练] 4.已知在数列{an}中，a1=2,且a+1=an十2. 请写出该数列的前4项，并写出数列{an}的 一个通项公式. 巩围即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.下列说法正确的是 3.数列一2,1,4,7，…的一个通项公式为 A-4,5,3不是数列 ( B.数列{a}的前4项为1,2,3,4，则第5项 A.a=n-3 B.a,=3n-5 一定是5 C.a,=n+3 D.an=3(n-2) C.一1,1,3,5是无穷数列 n 4.数列{a,}中，a,=n” 数列的第7项是 D.数列0,2,4,6，…是无穷数列 2.若数列{an}的通项公式a,=n(n+1),则它 的第4项是 C温举提 A.12B.20 C.21 D.30 学习至此，请完成配套训练课时作业10 2.2等差数列 2.2.1 等差数列的概念 课程标准 素养解读 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念 在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出 和通项公式的意义. 等差数列的通项公式的过程中，发展学生的 2.体会等差数列与一元一次函数的关系 数学抽象和逻辑推理素养. 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 石板以上层中心圆石为起点，第一圈为9 天坛集明清两代建筑技艺之大成，是古建 块，第二圈为18块，周围各圈直至底层，共9 筑珍品它以深刻的文化内涵、宏伟的建筑风 圈，均以9的倍数递增，如图所示.你能算出第 9圈共有多少块石板吗？ 格，成为中华民族古老文明的写照.圜丘坛是 举行冬至祭天大典的场所.圜丘为圆形，三层 坛制，每层四面出台阶各9级.上层中心为一 块圆石，外铺扇形石块9圈，内圈9块，以9的 倍数依次向外延展，栏板、望柱的数量也都是 9或9的倍数 ·29 世数学拓民膜快(R时 必，备知识 等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的 [知识点一]等差数列的概念 末项除外)都是它的前一项与后一项的等差 对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它 中项。 的 的差都是 ,那么称这样的 预习自测 数列为等差数列，称这个常数为等差数列的 1.给出下列数列 ,通常用字母 表示 ①0,0,0,0,0，…； ?思考数列2,2,2,2，…是等差数列吗？ ②1,11,111,1111，…； ③2,22,23,2，…： ④-5，-3，-1,1,3，… [知识点二]等差数列的通项公式 ⑤1,2,3,5,8… 若首项是a1,公差为d,则等差数列{a,}的通 其中是等差数列的有 项公式为an= A.1个B.2个 C.3个 D.4个 [知识点三]等差中项 2.等差数列{1-3}，n∈N+的公差d等于 如果在a与b之间插入一个数A,使a,A,b成 ( 等差数列，那么A叫做a与b的 .如 A.1 B.3 C.-3 D.n 果A是a与b的等差中项，那么A一a=b 3.3和7的等差中项是 A,所以A= 显然，在一个 A.4 B.5 C.10 D.6 》 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型 等差数列的概念 例1 下列命题中正确的是 A.数列6,4,2,0是公差为2的等差数列 B.数列a,a一1，a一2，a一3是公差为1的等 差数列 C.数列{2n十1}是等差数列 D.数列{an}中，a1=a2=1,am=am-1十2(n≥ 通法通性 3),则数列{a}是等差数列 判断一个数列是不是等差数列，就是判断 [思路点拨]依据等差数列的概念逐一判断. 该数列的每一项减去前一项的差是否为同 [听课记录] 一个常数，但当数列项数较多或是无穷数 列时，逐一验证显然不行，这时可以验证 a+1一an(n∈N+)是不是一个与n无关的 常数 ·30 第二章数列 ⊙[变式训练] ⊙[变式训练] 1.下列数列不是等差数列的是 2.在等差数列{am}中，已知a4=8,a1o=20,试 A.1,1,1.1,1 求公差d及ao· B.4,7,10,13,16 c号号1号 D.-3,-2,-1,1,2 题型等差数列的通项公式 例2 已知在等差数列{an}中，a=一20，a2o =一35.试求出数列的通项公式 [思路点拨]根据已知条件，可以利用等差 题型 等差中项及其应用 数列的通项公式列出方程组求出首项和公 例3在一1与7之间顺次插入三个数a,b,c, 差，然后再求解. 使这五个数成等差数列，求此数列， [听课记录] [思路点拨] 由已知b= -1+7 2 .a -1+bb+7 2 2 [听课记录] 通法通性 等差数列的通项公式及其应用 (1)已知am,a1,n,d中的任意三个量，求出 通法通性 第四个量 (1)由等差数列的定义知a+1一am=am (2)由等差数列的通项公式可以求出该数 am-1（n≥2，n∈N+）,即2an=am-1+a+1, 列中的任意项，也可以判断某一个数是不 从而由等差中项的定义可知，等差数列从 是该数列中的项。 第？项起的每一项都是它前一项与后一项 (3)根据等差数列的两个已知条件建立关 的等差中项 于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和 (2)在求等差数列的项时，可利用上述性 d,从而确定通项公式，求得所要求的项. 质，设相邻三项为a一d,a,a十d. ·31· 世数学拓辰模快R时 ⊙[变式训练] A.相邻两个节气晷长减少或增加的均量为 3.已知三个数成等差数列，其和为15，平方和 二尺 为83，求这三个数， B.春分的晷长比秋分的晷长长 C.小雪的晷长为一丈五寸 D.立春的晷长比立秋的晷长短 [思路点拨]由已知，由夏至到冬至的晷长 构成等差数列，由冬至到夏至的晷长也构成 等差数列， 通法通性 在实际问题中，若一组数依次成等量增长 或下降，则可考虑利用等差数列方法解决； 在利用数列方法解决实际问题时，一定要 题型四 等差数列的实际应用 确认首项、项数等关键因素 例4 我国天文学和 晷长逐浙变小 ◇[变式训练] 春分 数学著作《周髀算 陵款 4.小明、小明的爸爸和小明的爷爷三人的年龄 大30 经》中记载：一年有 0小渭 恰好构成一个等差数列，他们三人的年龄之 小寒 种 冬至270 0夏至 二十四个节气，每个 和为120岁，爷爷的年龄比小明的年龄的4 大雪 小异 小雪240 7120大书 节气的晷长损益相 京冬210 50立敌 倍还多5岁，求他们祖孙三人的年龄。 指降寒害*处若】 同（晷是按照日影测 秋分 林长逐渐变大 定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长 度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻 两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复 始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸， 夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一 尺等于十寸)，则下列说法正确的是( 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.数列0,2,4,6，…的通项公式是am=( 3.在等差数列{an}中，a2=2,a3=4,则a1n= A.2n B.2n+2 ( A.12 C.2n-2 B.14 C.16 D.18 D.2n+1 4.设{am}是等差数列，且a1=3,a2十a=36, 2.√2十1与√2-1的等差中项是 则{an}的通项公式为 A.1 B.-1 C温蓉提污 学习至此，请完成配套训练 课时作业11 C.2 D.士1第二章　数列 ２．１　数列的概念 课前预习学案 必备知识　知识点一 １．次序　an　首项　通项　 知识点二 有限的　无限的　 知识点三 an＝f(n)　函数　正整数集N＋ [思考] 提示:不是所有的数列都能写出通项公式,若数列有通项公式, 形式也不是唯一的． 预习自测 １．D　[A 错误,例如无穷个３构成的常数列３,３,􀆺,３,􀆺;B 错误,数列中的项与顺序有关;C 错误,数列０,２,４,６,􀆺的 首项为０,数列{２n},n∈N＋ 的首项为２,D正确．] ２．B　[∵an＝３n－７,∴首项a１＝３×１－７＝－４．] ３．B　[把n＝１,２,３,４分别代入an＝ １－(－１)n＋１ ２ 中,依次得到 ０,１,０,１．] 课堂互动学案 题型一　[例１]　[解]　B　[①错误,数列和集合是不同的概 念;②错误,数列－１,０,１与数列１,０,－１是不同的数列．] 变式训练　１．D　[对于 A 项,０,２,４,６,８,􀆺,２n是有穷数列, A错误;对于B项,数列通项公式应为an＝２n－１,n∈N＋ ,B 错误;对于 C项,两数列对应的各项不相同,故不是同一数 列,C错 误;对 于 D 项,an＝ n＋２０２５ n＋２０２４＝ n＋２０２４＋１ n＋２０２４ ＝１＋ １ n＋２０２４ ,故ak＝１＋ １ k＋２０２４ ,D正确．] 题型二　[例２]　[解]　(１)这个数列前５项中,每一项的分 子比分母少１,且分母依次为２１,２２,２３,２４,２５,所以它的一个 通项公式为an＝ ２n－１ ２n ,n∈N＋ ． (２)这个数列的前４项可写为６９ (１０－１),６９ (１０２－１),６９ (１０３ －１),６９ (１０４－１),所以它的一个通项公式为an＝ ６ ９ (１０n－ １)＝２３ (１０n－１),n∈N＋ ． (３)这个数列的奇数项为负,偶数项为正,前６项的绝对值可 看作分母依次为１,２,３,４,５,６,分子依次为１,３,１,３,１,３,所 以它的一个通项公式为 an＝ －１n ,n＝２k－１,k∈N＋ , ３ n ,n＝２k,k∈N＋ ． ì î í ïï ï (４)将数列变形为３２ ,５ ５ ,７ １０ ,９ １７ ,􀆺,对于分子３,５,７,９,􀆺, 可得分子的通项公式为bn＝２n＋１,对于分母２,５,１０,１７, 􀆺,联想到数列１,４,９,１６,􀆺,可得分母的通项公式为cn＝ n２＋１,所以原数列的一个通项公式为an＝ ２n＋１ n２＋１ (n∈N＋ )． 变式训练　２．解析:(１)观察可知数列的前４项都是偶数,且是 项数n的２倍,故数列的一个通项公式为an＝２n． (２)观察可知数列的前４项的绝对值是项数n,且奇数项为 负数,偶数项为正数,故数列的一个通项公式为an＝(－１)n 􀅰n． (３)观察可知数列的前４项都是２,为常数列,an＝２． (４)观察可知数列的前４项是项数n的倒数,故数列的一个 通项公式为an＝ １ n． 题型三　[例３]　[解]　(１)a１＝ １ １＋１＝ １ ２ ;a２＝ ２ ２＋１＝ ２ ３ ;a３ ＝ ３３＋１＝ ３ ４ ;a４＝ ４ ４＋１＝ ４ ５ ;a５＝ ５ ５＋１＝ ５ ６． (２)①∵an＝ １ n(n＋２) ,n∈N＋ ,∴a３＝ １ ３×５＝ １ １５ ,a４＝ １ ４×６ ＝１２４∴a３＋a４＝ １ １５＋ １ ２４＝ １３ １２０． ②若 １１２０ 为数列{an}中的项,则 １ n(n＋２)＝ １ １２０ ,∴n(n＋２)＝ １２０,∴n２＋２n－１２０＝０,∴n＝１０或n＝－１２(舍),即 １１２０ 是 数列{an}的第１０项． 变 式 训 练 　 ３．解:(１)设 an ＝ kn ＋ b (k ≠ ０), 则 a１＝k＋b＝２, a１７＝１７k＋b＝６６,{ 解得 k＝４, b＝－２,{ ∴an＝４n－２,n∈N＋ ． (２)令an＝８８,即４n－２＝８８,解得n＝２２．５∉N＋ ,∴８８不是 数列{an}中的项． 题型四　[例４]　[解]　a１＝１９８１,a２＝a１＋１２＝１９８１＋１２＝ １９９３,a３＝a２＋１２＝１９９３＋１２＝２００５,a４＝a３＋１２＝２００５ ＋１２＝２０１７,a５＝a４＋１２＝２０１７＋１２＝２０２９． 变式训练　４．解:根据题意,a１＝２,a２＝a１＋２＝２＋２＝４,a３＝ a２＋２＝４＋２＝６,a４＝a３＋２＝６＋２＝８,所以an＝２n． 随堂步步夯实 １．D　[A中－４,５,１２ ,３是数列;B中数列的第５项不一定为 ５;C中的数列是有穷数列,D显然正确．] ２．B　[a４＝４×(４＋１)＝４×５＝２０．] ３．B　[－２＝３×１－５, １＝３×２－５,４＝３×３－５, ７＝３×４－５,􀆺∴an＝３n－５．] ４．解析:a７＝ ７２ ７２＋１ ＝４９５０． 答案:４９ ５０ ２．２　等差数列 ２．２．１　等差数列的概念 课前预习学案 必备知识　知识点一 前一项　同一个常数　公差　d [思考] [提示]　２,２,２,２,,􀆺也是等差数列,它的公差为０．公差为０ 的数列称为常数列． 知识点二 a１＋(n－１)d　 知识点三 等差中项　a＋b２ 预习自测 １．B　[数列①,④是等差数列．] ２．C　[∵an＝１－３n,∴a１＝－２,a２＝－５,∴d＝a２－a１＝ －３．] ３．B　[３和７的等差中项为３＋７２ ＝５． ] 课堂互动学案 题型一　[例１]　[解]　C　[A 中,数列是公差为－２的等差 数列;B中,a－１－a＝a－２－(a－１)＝a－３－(a－２)＝－１, 是公差为－１的等差数列;C中,an＋１－an＝２(n＋１)＋１－２n －１＝２为常数,是等差数列;D中,a２－a１ ＝０,an－an－１＝２(n ≥３),数列{an}不是等差数列．] 变式训练　１．D　[由等差数列的定义得,A 项,d＝０,故是等 差数列;B项,d＝３,故是等差数列;C项,d＝ １３ ,故是等差 数列;D项,每一项与前一项的差不是同一个常数,故不是等 差数列．] 题型二　[例２]　[解]　设{an}的通项公式是an＝a１＋(n－ １)d(n∈N＋ ), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７６１􀅰 参考答案 由已知得 a５＝a１＋４d＝－２０, a２０＝a１＋１９d＝－３５,{ 解 得 a１＝－１６, d＝－１．{ 故 数 列 {an }的 通 项 公 式 为 an ＝ －１６＋(n－１)(－１)＝－１５－n,n∈N＋ ． 变式训练　２．解析:因为a４＝８,a１０＝２０,所以由an＝a１＋(n－１) d,可得a１＋３d＝８,a１＋９d＝２０,解得a１＝２,d＝２．所以a２０ ＝a１＋(２０－１)d＝４０． 题型三　[例３]　[解]　∵－１,a,b,c,７成等差数列,∴b是－ １与７的等差中项,∴b＝－１＋７２ ＝３． 又a是－１与b的等差 中项,∴a＝－１＋３２ ＝１． 又c是６与７的 等 差 中 项,∴c＝ ３＋７ ２ ＝５．∴ 该数列为－１,１,３,５,７． 变式训练　３．解:设这三个数依次是a－d,a,a＋d,根 据 题 意得 a－d＋a＋a＋d＝１５, (a－d)２＋a２＋(a＋d)２＝８３,{ 解得 a＝５, d＝±２．{ 因此这三个数 分别为３,５,７或７,５,３． 题型四　[例４]　[解]　A　[现以寸为单位,由题意可知,由 夏至到冬至的晷长构成等差数列{an},其中a１＝１５,a１３＝ １３５,公差d＝１３５－１５１２ ＝１０． 同理可得,由冬至到夏至的晷长 构成 等 差 数 列 {bn},其 中 b１ ＝１３５,b１３ ＝１５,公 差 d′＝ １５－１３５ １２ ＝－１０ ,故相邻两个节气晷长减少或增加的量为２０ 寸,即二尺,故选项 A正确;因为春分的晷长为b７,所以b７＝ b１＋６d′＝１３５－６０＝７５,因为秋分的晷长为a７,所以a７＝a１ ＋６d＝１５＋６０＝７５,故春分和秋分两个节气的晷长相同,故 选项B错误;因为小雪的晷长为a１１,则a１１＝a１＋１０d＝１５＋ １００＝１１５,即一丈一尺五寸,故小雪的晷长为一丈一尺五寸, 故选项 C错误;因为立春的晷长的和立秋的晷长分别为b４, a４,a４＝a１＋３d＝１５＋３０＝４５,b４＝b１＋３d′＝１３５－３０＝１０５, 所以b４ ＞a４,故 立 春 的 晷 长 比 立 秋 的 晷 长 长,故 选 项 D 错误．] 变式训练　解析:设祖孙三人的年龄分别为a－d,a,a＋d,根 据题意得 (a＋d)＋a＋(a＋d)＝１２０, a＋d＝４(a－d)＋５,{ 解得 a＝４０, d＝２５．{ 所 以 祖 孙 三 人 的 年 龄 分 别 为 １５ 岁、４０ 岁、 ６５岁． 随堂步步夯实 １．C　[题中数列是首项为０、公差为２的等差数列,其通项公 式为an＝２(n－１)＋０＝２n－２．] ２．C　 [设 等 差 中 项 为 x,由 等 差 中 项 的 定 义 知 x＝ (２＋１)＋(２－１) ２ ＝ ２． ] ３．D　[由a２＝２,a３＝４知d＝ ４－２ ３－２＝２． 所以a１０＝a２＋８d＝２ ＋８×２＝１８．] ４．解析:设等差数列{an}的公差为d,则a２＋a５＝a１＋d＋a１＋ ４d＝２a１＋５d＝６＋５d＝３６,∴d＝６,∴an＝a１＋(n－１)d＝３＋６ (n－１)＝６n－３． 答案:an＝６n－３ ２．２．２　等差数列的前n项和 课前预习学案 必备知识　知识点二 n(a１＋an) ２ 　na１＋ n(n－１)d ２ [思考] 提示　倒序相加法求和． Sn 表示前n 项和,则Sn＝a１＋a２＋a３＋􀆺＋an－１＋an, Sn＝an＋an－１＋an－２＋􀆺＋a２＋a１, ∴２Sn＝n(a１＋an),即Sn＝ n(a１＋an) ２ 预习自测 １．A　[前n个正整数构成等差数列{an},其中a１＝１,公差d＝ １,则an＝n,所以前n项和Sn＝ n(n＋１) ２ ． ] ２．B　[S１０＝ １０(a１＋a１０) ２ ＝５ (a１＋a１０)＝１２０,∴a１＋a１０＝２４．] ３．B　[法一　由 S２＝２a１＋d＝４, S４＝４a１＋６d＝２０,{ 解得d＝３． 法二　由S４－S２＝a３＋a４＝a１＋２d＋a２＋２d＝S２＋４d,所 以２０－４＝４＋４d,解得d＝３．] 课堂互动学案 题型一　[例１]　[解]　(１)因为a１＝１,a２０＝２０,n＝２０,所以 S２０＝ n(a１＋a２０) ２ ＝ ２０×(１＋２０) ２ ＝２１０． (２)因为a１＝２,d＝－２,n＝２０,所以S２０＝na１＋ n(n－１) ２ d＝ ２０×２＋２０× (２０－１) ２ × (－２)＝－３４０． 变式训练　１．(１)解:根据等差数列的前n 项和公式得S９＝ ９×(５＋８５) ２ ＝４０５． (２)解:设 该 数 列 的 前 n 项 和 等 于 ３０,由 于 a１ ＝ －６, d＝a２－a１＝(－４)－(－６)＝２,故由等差数列前n 项和公 式,得３０＝(－６)n＋n (n－１) ２ ×２ ,即n２－７n－３０＝０．解得n ＝１０或n＝－３(舍去)．因此,该数列的前１０项和是３０． 题型 二 　 [例 ２]　 [解]　 (１)法 一 　 由 已 知 条 件 得 a５＋a１０＝２a１＋１３d＝５８, a４＋a９＝２a１＋１１d＝５０,{ 解 得 a１＝３, d＝４．{ ∴S１０ ＝１０a１ ＋ １０×(１０－１) ２ d ＝１０×３＋１０×９２ ×４＝２１０． 法二　由已知条件得 a５＋a１０＝(a１＋a１０)＋４d＝５８, a４＋a９＝(a１＋a１０)＋２d＝５０,{ ∴a１ ＋a１０ ＝４２,∴S１０ ＝ １０(a１＋a１０) ２ ＝５×４２＝２１０． (２)S７＝ ７(a１＋a７) ２ ＝ ７(a１＋a１＋６d) ２ ＝７ (a１＋３d)＝７a４＝ ４２,∴a４＝６,∵a４＝a１＋３d,an－３＝a１＋(n－４)d,∴a４＋an－３ ＝a１ ＋a１ ＋ (n－１)d＝a１ ＋an,∴Sn ＝ n(a１＋an) ２ ＝ n(a４＋an－３) ２ ＝ n(６＋４５) ２ ＝５１０ ,∴n＝２０． 变式训练　２．解:由已知得方程组 (a１＋２d)＋(a１＋６d)－(a１＋９d)＝－１０, (a１＋３d)＋(a１＋１０d)＝１０,{ 解 得a１＝－８,d ＝２,因此S１３＝１３×(－８)＋ １ ２×１３×１２×２＝５２． 随堂步步夯实 １．B　[由S１０＝１０a１＋ １０×９ ２ d ,解得d＝２．] ２．C　[由 a２＋a４＝４, a３＋a５＝１０,{ 得 a１＋d＋a１＋３d＝４, a１＋２d＋a１＋４d＝１０{ ,解得 a＝－４, d＝３,{ 则S１０＝１０×(－４) ＋１２×１０×９×３＝９５． ] ３．D　[设等差数列{an}的公差为d,则１０a１＋４５d＝９５,a１＋ ７d＝１７,解得a１＝－４,d＝３,故an＝３n－７,Sn＝ ３n２－１１n ２ ． ] ４．解析:S６＝ ６(a１＋a６) ２ ＝３０． 答案:３０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８６１􀅰