1.4.2 三角形的面积及正弦定理-2024-2025学年中职高二数学同步（人教版2021·拓展模块一）

心数学拓展膜快R时 1.4.2三角形的面积及正弦定理 课程标准 素养解读 1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其1.通过正弦定理的推导过程（特殊到一 变形 般)，主要培养逻辑推理的核心素养。 2.会用正弦定理解决两类基本的解三角形问题 2.通过综合应用正、余弦定理解三角形，主 3.能综合应用正、余弦定理解三角形. 要提升数学运算核心素养。 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 (3)a:b:c= 为迎接国庆节，某职 a+b+c (4) 业学校对校园重新进行 4m sin A+sin B+sin C 修整.园林工人计划利用 60 一夹角成60°的墙角修建 6m ?思考在△ABC中，若已知a>b,如何利用 一个三角形花圃（如图） 若墙角的两面墙的长度分别为4m和6m,问 正弦定理得到sinA>sinB? 所建花圃的面积是多少平方米（不考虑其他因 素)？ [知识点三]正弦定理的应用 必备知识 1.已知三角形的两角和一条边，求另一角和其 [知识点一]三角形面积公式 他两条边。 在任意△ABC中，用∠A,∠B,∠C分别表示 2.已知三角形的两边和其中一边的对角，求 三角形的三个角，用a,b,c分别表示这三个角 的对边，则可得： 一边和其他两角。 3.判断三角形形状. 三角形面积公式：S= 2absin C= 预习自测 [知识点二]正弦定理 1.在△ABC中，已知a=8,∠B=60°，∠C 1.正弦定理：在一个三角形中，各边与其所对 75°，则b等于 角的正弦之比相等.即在任意△ABC中，用 A.42B.45 C.4√6 D.16 ∠A,∠B,∠C分别表示三角形的三个角， 用a,b,c分别表示这三个角的对边，则 2.在△ABC中，已知a=1,c=2,∠B=5,则 =2R(R为三 △ABC的面积等于 角形外接圆的半径). 2.正弦定理的常见变形 A号 B号 C.1 D.5 (1)a=2R ,b=2R c=2R 3.在△ABC中，已知a=3,b=2,∠A=60°，则 (2)sin A=7 a sin B= ( 2R'sin B= sin C A.-2 B.2,2 3 3 C.- 2R 3 ·20· 第一章三角计算 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型一三角形的面积公式的应用 例1 在△ABC中，∠C=60°，b=6,a=4,求 S△C的值. [思路点拨]根据已知条件，先求出∠C的 正弦值，再根据三角形的面积公式即可求解. 通法通性 [听课记录] 已知两角及一边解三角形的一般步骤 求角 根据三角形内角和定理求第三个角 求边 根据正弦定理求另外两条边的长度 ⊙[变式训练] 2.在△ABC中，已知b=14,∠A=30°，∠B= 120°，求a. 通法通性 三角形的面积公式 S△ABC= 2absin C-besin A-acsin B. 根据题设寻求两边及其夹角是解题的关键。 ⊙[变式训练] 1.在△ABC中，a=4,c=22,S△ABc=4, 求∠B. 题型三己知两边和其中二边对角解三角形 例3在△ABC中，a=1,b=2. (1)若∠A=30°，求∠C (2)若∠B=135°，求∠C. 题型二己知两角和二边解三角形 [思路点拨]已知三角形的两边和其中一 例2在△ABC中，∠B=45°，∠C=15°，a= 边的对角，利用正弦定理求另一边的对角 5,求b 时，要讨论这个角的取值范围，避免发生错误 [思路点拔了“先求∠A,再根据正弦定理 [听课记录] 求b. [听课记录] ·21· 心数学拓展膜快R心 通法通性 ⊙[变式训练] 已知两边和其中一边对角解三角形的方法 3.已知在△ABC中，∠A=30°，a=15√2，b (1)用余弦定理列出关于另一边的一元二 30,求∠B. 次方程求解（上节课已讲）. (2)用正弦定理求解，其步骤为 ①由正弦定理求出另一边对角的正弦值. ②如果已知角为大边所对的角时，由三角 形中大边对大角，大角对大边的法则能判 断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求 锐角唯一 ③如果已知角为小边所对的角时，则不能 判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦 值可求两个角，要分类讨论. 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.在△ABC中，已知b=3c=2,snA=号，则 3.已知△ABC的三个内角之比为∠A:∠B :∠C=3:2：1,那么，对应的三边之比a △ABC的面积等于 :b:c等于 A.2 B.3 C.4 D.6 A.3:2:1 B.5:2:1 2.在△ABC中，若∠B=45°，∠C=60°，c=1, 则最短边的边长是 () C.5:√2：1 D.2:3:1 A.6 4.在△ABC中，已知a=2,b=2√2，∠A= 3 2 30°，则∠B= c ©温蓉提窍 D 2 学习至此，请完成配套训练 课时作业8 1.5 三角计算的应用 课程标准 素养解读 运用三角计算公式、正弦定理、 通过本节实例的学习，学会将实际问题转化为数学问题，实 余弦定理解决生产生活中的实现数学建模.通过学习逐步提升数学抽象、数学建模、数学 际问题 运算、逻辑推理等核心素养. 》 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 问题.本节将介绍三角计算在面积问题交流电 三角计算广泛应用于生活、生产实践和科 的电压问题、测量与计算问题等方面的应用. 学研究等诸多方面，能帮助人们解决很多实际 ·22·课堂互动学案 题型一　[例１]　[解]　(１)由 余 弦 定 理,得b２＝a２＋c２－ ２accosB＝ ２ ３( ) ２ ＋ ６＋ ２( ) ２ －２× ６＋ ２( ) ×２ ３× cos４５°＝８,所以b＝２ ２．由cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ． 得cosA＝ ２ ２ ( ) ２＋ ６＋ ２( ) ２－ ２ ３( ) ２ ２×２ ２× ６＋ ２( ) ＝１２． 因为０°＜ A＜１８０°,所以A＝６０°． (２)由余弦定理b２＝a２＋c２－２accosB,得３２＝a２＋ ３ ３( ) ２ －２×３ ３a×cos３０°,即a２－９a＋１８＝０,所以a＝６或a＝３． 变式训练　１．解:由余弦定理可得b２＝a２＋c２－２accosB ＝６２＋８２－２×６×８×cos６０° ＝１００－４８＝５２,所以b＝２ １３． 题型二　 [例 ２]　 [解]　 (１)cosA＝AC ２＋AB２－BC２ ２AB􀅰AC ＝ ４＋ ３＋１( ) ２－２ ２×２× ３＋１( ) ＝ ３２ ,∵角A 是三角形的一个内角, ∴∠A＝３０°． (２)在△ABE 中,BE２＝AB２＋AE２－２􀅰AB􀅰AE􀅰cosA＝ ３＋１( ) ２＋ ２２( ) ２ －２× ３＋１( ) 􀅰１􀅰cos３０°＝２＋ ３ , ∴BE＝ ２＋ ３＝ ６＋ ２２ ． 变式训练　２．解:因为在三角形中大边对大角,小边对小角,由 于a＜b＜c,所 以 ∠C 最 大,∠A 最 小．可 得 cosA ＝ b２＋c２－a２ ２bc ＝ ７２＋１０２－６２ ２×７×１０ ≈０．８０７１ , cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＝ ６２＋７２－１０２ ２×６×７ ≈－０．１７８６ ,所以∠A≈ ３６°,∠C≈１００°． 题型三　[例３]　[解]　(１)由余弦定理,得a􀅰b ２＋c２－a２ ２bc ＋b 􀅰c ２＋a２－b２ ２ca ＝c 􀅰a ２＋b２－c２ ２ab ． 所以a２(b２＋c２－a２)＋b２(c２ ＋a２－b２)＝c２(a２＋b２－c２),a２(b２－a２)＋a２c２＋b２(a２－b２) ＋b２c２＝c２a２＋b２c２－c４,即(a２－b２)２＝c４,所以a２－b２＝c２ 或a２－b２＝－c２,即b２＋c２＝a２ 或a２＋c２＝b２．所以△ABC 是直角三角形． (２)右 边 ＝２bc􀅰b ２＋c２－a２ ２bc ＋２ac 􀅰a ２＋c２－b２ ２ac ＋２ab 􀅰 a２＋b２－c２ ２ab ＝b ２＋c２－a２＋a２＋c２－b２＋a２＋b２－c２＝a２＋b２ ＋c２＝左边．故等式成立． 变式训练　３．解:[依题意,设a＝ ３＋１( )x,b＝ ６x,c＝２x, 则a＞b＞c,∴∠A 最大,∠C最小．cosA＝ b２＋c２－a２ ２bc ＝ ６x２＋４x２－ ４＋２ ３( )x２ ２× ６x×２x ＝６－２ ３ ４ ６ ＞０．∴∠A 为锐角,∴△ABC为锐角三角形． cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＝ ３＋１( )x２＋６x２－４x２ ２􀅰 ３＋１( )x􀅰 ６x ＝ ２２． ∴∠C＝４５°∴最小角C的大小为４５°．] 随堂步步夯实 １．C　[因为cosB＝５ ２＋８２－７２ ２×５×８ ＝ １ ２ ,所以∠B＝６０°．] ２．D　[由余弦定理得:c２＝a２＋b２－２abcosC＝１６＋３６－２×４ ×６cos１２０°＝７６,所以c＝２ １９．] ３．B　[因为bcosA＝acosB,所以b􀅰 b２＋c２－a２ ２bc ＝a 􀅰a ２＋c２－b２ ２ac 􀅰所以b２＋c２－a２＝a２＋c２－ b２．所以a２＝b２．所以a＝b．故此三角形是等腰三角形．] ４．[因为c２＝a２＋b２－２abcosC＝２２＋３２－２×２×３×１３＝９ ,所 以c＝３．] 答案:３ １．４．２　三角形的面积及正弦定理 课前预习学案 必备知识　知识点一 １．１２acsinB　 １ ２bcsinA 知识点二 １．asinA　 b sinB　 c sinC ２．(１)sinA　sinB　sinC　(２)b２R　 (３)sinA∶sinB∶sinC 　(４) asinA　２R [思考] 提示:由 a ＞b,且 a ＝ ２Rsin A,b ＝ ２Rsin B,可 得 ２RsinA＞２RsinB,即sinA＞sinB． 预习自测 １．C　[在△ABC 中,∠A＝１８０°－(∠B＋∠C)＝４５°,由正弦 定理 a sinA＝ b sinB ,得b＝４ ６．] ２．B　[根据三角形面积公式得S△ABC＝ １ ２acsinB＝ １ ２×１×２× sin π３＝ ３ ２． ] ３．D　[由正弦定理 asinA＝ b sinB ,所以sinB＝bsinAa ＝ ２× ３２ ３ ＝ ３３． ] 课堂互动学案 题型一　[例１]　[解]　由三角形的面积公式可得, S△ABC＝ １ ２absinC＝ １ ２×４×６×sin６０° ＝１２×４×６× ３ ２＝６ ３． 变式训练　１．解:由三角形的面积公式可得, S△ABC＝ １ ２acsinB＝ １ ２×４×２ ２×sinB． 于是,４ ２sinB＝ ４,即sinB＝ ２２． 又因为０°＜∠B＜１８０°,故∠B＝４５°或１３５°． 题型二　[例２]　[解]　在△ABC 中,由∠A＋∠B＋∠C＝ １８０°,得∠A＝１８０°－∠B－C＝１８０°－４５°－１５°＝１２０°．由正 弦定理 知, a sinA＝ b sinB． 于 是,b＝asinBsinA ＝ ５×sin４５° sin１２０° ＝ ５× ２２ ３ ２ ＝５ ６３ ． 因此,b＝５ ６３ ． 变式训练　２．解析:根据正弦定理有 asinA＝ b sinB ,所以a＝ bsinA sinB ＝ １４sin３０° sin１２０°＝ １４ ３ ３ ． 题型三　[例３]　[解]　(１)由正弦定理可知, asinA＝ b sinB． 于是,sinB＝bsinAa ＝ ２×sin３０° １ ＝ ２× １ ２＝ ２ ２． 又因为０° ＜∠B＜１８０°,所以∠B＝４５°或１３５°．当∠B＝４５°时,∠C＝ １８０°－∠A－∠B＝１８０°－３０°－４５°＝１０５°．当∠B＝１３５°时, ∠C＝１８０°－∠A－∠B＝１８０°－３０°－１３５°＝１５°．因此,∠C ＝１０５°或∠C＝１５°． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５６１􀅰 参考答案 (１)由正弦定理可知, asinA＝ b sinB． 于是,sinA＝asinBb ＝ １×sin１３５° ２ ＝１２． 又因为０°＜∠A＜１８０°,所以∠A＝３０°或 １５０°．当 ∠A＝１５０°时,∠A＋ ∠B＝１５０°＋１３５°＝２８５°＞ １８０°,不 合 题 意．因 此,∠A＝３０°．从 而 ∠C＝１８０°－∠A－ ∠B＝１８０°－３０°－１３５°＝１５°． 变式训练　３．解析:根据正弦定理有 asinA＝ b sinB ,所以sinB ＝bsinAa ＝ ３０×sin３０° １５ ２ ＝ ２２． 再由b＞a知∠B＞∠A,故３０° ＜∠B＜１８０°,所以∠B＝４５°或∠B＝１３５°． 随堂步步夯实 １．A　[S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ １ ２×３×２× ２ ３＝２． ] ２．A　[由已知得∠A＝７５°,所以∠B 最小,故最短边是b．由 c sinC＝ b sinB ,得b＝csinBsinC＝ ６ ３． ] ３．D　[因为∠A∶∠B∶∠C＝３∶２∶１,∠A＋∠B＋∠C＝ １８０°,所以∠A＝９０°,∠B＝６０°,∠C＝３０°,所以a∶b∶c＝ sin９０°∶sin６０°∶sin３０°＝１∶ ３２∶ １ ２＝２∶ ３∶１． ] ４．解析:由正弦定理,可得sinB＝ ２２． 因为b＞a,所以∠B＞ ∠A＝３０°,所以∠B＝４５°或１３５°． 答案:４５°或１３５° １．５　三角计算的应用 课前预习学案 必备知识　知识点一 a２＋b２sin(x＋θ) 知识点二 １．asinA　 b sinB　 C sinC　 ２．a２＝b２＋c２－２bccosA　b２＝a２＋c２－２accosB　c２＝a２＋b２ －２abcosC ３．１２absinC　 １ ２bcsinA　 １ ２acsinB　 预习自测 １．B　[y＝１２sinx＋ ３ ２cosx ＝sinx􀅰cos π３＋cosx 􀅰sin π３ ＝sin x＋π３( ) ∴最大值为１．] ２．B[由 题 意 知 SM＝２０ 海 里,∠SMB＝１５°,∠BMN＝３０°, ∠SNA＝４５°,∴∠NMS＝４５°,∠MNA＝９０°－∠BMN＝ ６０°,∴∠SNM＝１０５°,∴∠MSN＝３０°,∵sin１０５°＝sin(６０° ＋４５°)＝sin６０°cos４５°＋cos６０°sin４５°＝ ６＋ ２４ ,∴△在 MNS中利用正弦定理可得,MNsin３０°＝ ２０ sin１０５° 解 得 MN＝ １０(６－ ２)海里,∴货轮船行速度v＝１０ (６－ ２) ３ nmile /h．] ３．A　[因 为 ∠DAC＝∠ACB－∠D＝６０°－３０°＝３０°,所 以 △ADC为等腰三角形．所以AC＝DC＝１００m,在 Rt△ABC 中,AB＝ACsin６０°＝５０ ３m．] 课堂互动学案 题型一　[例１]　[解]　(１)∵y＝cos２x＋２sinxcosx－sin２x ＝cos２x＋sin２x＝ ２sin ２x＋π４( ) ,∴函数取得最大值 ２, 最小值－ ２． (２)函数取得最大值 ２时,sin ２x＋π４( ) ＝１,此时,２x＋ π ４ ＝π２＋２kπ ,k∈Z．即x＝ π８＋kπ ,k∈Z．∴函数取得最大值 时x的取值集合为 x x＝π８＋kπ ,k∈Z{ }． 变式 训 练 　 １．解:由 y ＝sin x ＋ ３cos x,得 y ＝ ２ １ ２sinx＋ ３ ２cosx æ è ç ö ø ÷＝２ sinxcos π３＋cosxsin π ３( ) ＝２sin x＋π３( )．所以函数最大值为２,周期为:T＝２π． 题型二　[例２]　[解]　因为∠NBC＝４５°,∠A＝３０°,所 以 ∠C＝１５°．由题意知AB＝３６×０．５＝１８(海里),利用两角差 的正 弦 公 式 得 出 sin１５°＝sin(４５°－３０°)＝ ６－ ２４ ． 在 △ABC中,利用正弦定理可得 BC＝AB 􀅰sinA sinC ＝ １８sin３０° sin１５° ＝９ ６＋ ２( ) ≈３４．８ (海里)．所 以B 处到灯塔C 的距离约为３４．８海里． 变式训练　２．解:在△ABC 中,利用余弦定理可得AB２＝AC２ ＋BC２－２AC􀅰BC􀅰cosC＝＝３５０２＋４５０２－２×３５０×４５０× cos６０° ＝１６７５００．则得AB＝ １６７５００≈４０９(m)．所以隧道AB 的 长度约为４０９m． 题型三　[例３]　[解]　如图所示,设预报 时台风中心为B,开始影响基地时台风中 心为C,基地刚好不受影响时台风中心为 D,则B,C,D 在一条直线上,且AD＝２０n mile,AC＝２０nmile．由 题 意 得 AB＝２０ ３＋１( )nmile．DC＝２０ ２nmile,BC＝１０ ２ ３＋１( )n mile．在 △ADC 中,DC２ ＝AD２ ＋AC２,∴ ∠DAC＝９０°,∠ADC＝４５°．在 △ABC 中,由 余 弦 定 理,得 cos∠BAC＝AC ２＋AB２－BC２ ２AC􀅰AB ＝ ３ ２ ,∠BAC＝３０°．∵B 位于 A 的南偏东６０°方向,６０°＋３０°＋９０°＝１８０°．∴D 位于A 的正 北方向．∵∠ADC＝４５°,∴台风移动的方向为向量CD→ 的方 向,即北偏西４５°方向．故台风的移动方向为北偏西４５°方 向． 变式训练　３．解:在 △ABC 中,∠ABC＝１５５°－１２５°＝３０°, ∠BCA＝１８０°－１５５°＋８０°＝１０５°,∠BAC＝１８０°－３０°－１０５° ＝４５°,BC＝ １２ ×５０＝２５ (海里),由正弦定理,得 AC sin３０°＝ BC sin４５° ,解得AC＝２５ ２２ (海里)．即此时货轮与灯塔间的距 离为２５ ２ ２ 海里． 随堂步步夯实 １．B　[y＝ ３２sin２x＋ １ ２cos２x ＝sin２x􀅰cos π６＋cos２x 􀅰sin π６ ＝sin ２x＋π６( ) ,∴最小正周期T＝ ２π ２＝π． ] ２．A　[根 据 实 际 情 况,α,β都 是 不 易 测 量 的 数 据,在 △ABC 中,a,b可以测得,角γ也可测得,根据余弦定理能直接求出 AB 的长．] ３．D　[由余弦定理得AC２＝AB２＋BC２－２AB􀅰BCcos∠ABC＝ １０２＋２０２－２×１０×２０×cos１２０°＝７００,所以AC＝１０ ７(km)．] ４．解析:将t＝ １２００s 代入关系式,得到I＝５sin １００πt＋π３( ) ＝ ５sin １００π× １２００＋ π ３( )＝２．５,即I＝２．５A． 答案:２．５A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６６１􀅰