1.4.1 余弦定理-2024-2025学年中职高二数学同步（人教版2021·拓展模块一）

第一章三角计算 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.函数y=3sin 2x+2 的最小正周期是 A.该函数为偶函数 B.该函数的最大值为1 ( C.该函数的最小正周期是4π A.8 B.π C.2π D.5π D.p的值是-号 2.函数y=4sn(r+)的最大值为 4.已知函数y=sin(w.x十p)(w>0,一π≤p≤ π)的图象如图所示，则”= A.-4B.4 c. D.-2 3.函数y=Asin(wx十p)(A >0,w>0,p<受)的部 分图象如图所示，则下列 C温蓉提 说法正确的是 学习至此，请完成配套训练课时作业6 1.4解三角形 1.4.1 余弦定理 课程标准 素养解读 1.通过推导余弦定理、主要培养逻辑推理核心 1.掌握余弦定理及证明余弦定理的方法 素养 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形 2.通过运用余弦定理解三角形，主要提升数学 问题 运算核心素养。 课前·预习学案 《 盘点新知 落实双基 情境引入 必备知识 △ABC中常用∠A、 C 知识点一] 余弦定理及其变形 ∠B、∠C表示三个角，用a、 三角形中任何一边的平方等于 b、c分别表示这三个角的对 文字 减去这两边与它们 边.根据已知条件求三角形A 表述 的两倍. 的边和角的过程称为解三角形， 在生产实践和科学研究中，经常会遇到解 4= 公式 三角形的问题.余弦定理反映了任意三角形中 表达 边和角之间的数量关系，是解三角形的重要工 c2= 具.下面我们来看，已知三角形的两边及其夹 cos A= 角，如何求第三边 变形 cos B= cos C= ·17· 三数学佑尼膜快(R时 ?思考余弦定理与勾股定理之间有何联系？ 预习自测 1.在△ABC中，若a=3,b=2,∠C=60°，则d 等于 () A.2 B.22 C.7 D.27 2.在△ABC中，若b=6c=4,osA=3,则a [知识点二]余弦定理的应用 等于 1.已知三角形的两边及其夹角（或一边的对 A.6 B.4 C.6 D.8 角)，求第三边和其余两角 3.已知△ABC的三边a=2,b=3,c=4,则最 2.已知三角形的三边，求三个角. 大角的余弦值为 3.判断三角形形状. A. C.- D.- 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型一已知两边及二角解三角形 ⊙[变式训练] 例1 在△ABC中， 1.已知在△ABC中，∠B=60°，a=6,c=8,求 (1)已知a=23,c=6十2，B=45°，求b b的值. 及A; (2)已知b=3,c=3√5，B=30°，求边a [思路点拨](1)直接利用余弦定理求解 (2)利用余弦定理，构造关于a的一元二次 题型二“己知苣角形的苣边求角 方程 例2 如图所示，在△ABC [听课记录] 中，AB=3+1,AC=2, BC=√2，求： (1)三角形的内角A: (2)AC边上的中线BE的长， [思路点拨]已知三边的长度，根据余弦定 理可以求出三边所对应的角；在△ABE中， 由AB,AE和∠A可以求BE的长 通法通性 已知三角形的两边及一角解三角形的 [听课记录] 方法，已知三角形的两边及一角解三角形， 必须先判断该角是给出两边中一边的对 角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的 夹角，可以由余弦定理求第三边：若是给出 两边中一边的对角，可以利用余弦定理建 立一元二次方程，解方程求出第三边： ·18· 第一章三角计算 通法通性 [听课记录] 已知三边求解三角形策略 (1)已知三边求角的基本思路是利用余弦 定理的推论求出相应角的余弦值，值为正， 角为锐角：值为负，角为钝角，其思路清晰， 结果唯一 (2)若已知三角形的三边的关系或比例关 系，常根据边的关系直接代入化简或利用 比例性质，转化为已知三边求解 ⊙[变式训练] 2.在△ABC中，a=6,b=7,c=10,求△ABC 通法通性 中的最大角和最小角（精确到1°）. (1)判断三角形形状的基本思想要从“统 一”入手，化边为角或化角为边，体现转化 思想 (2)利用余弦定理证明三角恒等式的关键 证明三角恒等式关键是消除等号两端三角 函数式差异，形式上一般有左→右、右→左 或左→中二右三种. ⊙[变式训练] 3.在△ABC中，a:b:c=(5+1):6:2, 题型目 “余弦定理的应用 判断△ABC的形状并求出三角形的最 例3(1)在△ABC中，已知acos A+bcos B 小角。 =ccos C,试判断△ABC的形状 (2)在△ABC中，求证：a2+b+c2=2(bccos A +cacos B+abcos C). [思路点拨](1)根据余弦定理，把角化为 边即可判断； (2)根据余弦定理，从右向左证明 》 巩因即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.在△ABC中，已知a=5,b=7,c=8,则∠B 3.在△ABC中，若bcos A=acos B,则△ABC是 等于 ( A.等边三角形 B.等腰三角形 A.30°B.45 C.60 D.90 C.直角三角形 D.锐角三角形 2.在△ABC中，已知a=4,b=6,∠C=120°， 4.在△ABC中，已知a=2,b=3,cosC= 则 则边c的值是 边c长为 ©温馨提污 A.8 B.217 C.62 D.219 学习至此，请完成配套训练 课时作业7 ·19４．提示:ω２π＝ １ ４π ,∴ω＝１２． 答案:１ ２ 第二课时　正弦型函数(二) 课前预习学案 必备知识　知识点一 １．R　２．２πω　３． [－A,A]　A　－A 预习自测 １．B　[最小正周期T＝２π２＝π． ] ２．B　[最小正周期T＝２πω＝ π ３ ,解得ω＝６．] ３．A　[∵x∈R,令f(x)＝－２sin３x ∴f(－x)＝－２sin(－３x)＝２sin３x＝－f(x)．∴y＝－２sin３x 是奇函数．] 课堂互动学案 题型一　[例１]　[解]　(１)最小正周期T＝２π１＝２π． (２)最小正周期T＝２π２＝π． (３)最小正周期T＝２π１ ４ ＝８π． 变式训练　１．解析:∵T＝２πω＝２ ,∴ω＝π． 答案:π 题型二　[例２]　[解]　函数的周期为T＝２π２＝π． 设z＝２x＋π６ ,则x＝z２－ π １２． 当z＝２kπ＋π２ ,即x＝kπ＋ π６ (k∈Z)时,函数y＝２sinz有 最大值,最大值为２;当z＝２kπ＋３π２ ,即x＝kπ＋２π３ (k∈Z) 时,函数y＝２sinz有最小值,最小值为－２．所以,当x＝kπ ＋π６ (k∈Z)时,函数y＝２sin ２x＋π６( ) 取得最大值２;当x ＝kπ＋２π３ (k∈Z)时,函数y＝２sin ２x＋π６( ) 取得最小值－２． 变式训练　２．解析:(１)∵T＝２πω ,∴周期为π, (２)当sin ２x－π６( ) ＝１时,ymax＝４,此 时 ２x－ π ６ ＝ π ２ ＋ ２kπ,k∈Z,则x的取值集合是 x|x＝π３＋kπ ,k∈Z{ }; (３)当sin ２x－π６( ) ＝－１时,ymin＝－４,此时２x－ π ６ ＝－ π ２ ＋ ２kπ , k ∈ Z, 则 x 的 取 值 集 合 是 x|x＝－π６＋kπ ,k∈Z{ } 答案:(１)π (２)４ 　 x|x＝π３＋kπ ,k∈Z{ } (３)－４ 　 x|x＝－π６＋kπ ,k∈Z{ } 题型三　[例３]　[解]　方法一　逐一定参法 由图象知A＝３, T＝５π６－ － π ６( )＝π, ∴ω＝２πT＝２ ,∴y＝３sin(２x＋φ)． ∵点 －π６ ,０( ) 在函数图象上, ∴０＝３sin －π６×２＋φ( )． ∴－π６×２＋φ＝kπ ,k∈Z,得φ＝ π ３＋kπ (k∈Z)． ∵|φ|＜ π ２ ,∴φ＝ π ３． ∴y＝３sin ２x＋π３( )． 方法二　待定系数法 由图象知A＝３．∵图象过点 π３ ,０( ) 和 ５π６,０( ) , ∴ πω ３＋φ＝π , ５πω ６ ＋φ＝２π ì î í ïï ï ,解得 ω＝２, φ＝ π ３．{ ∴y＝３sin ２x＋π３( )． 变式训练　３．C　[易知A＝２,T２＝ π ２ ,T＝π,则ω＝２,于是函 数解析式初步判定为:y＝２sin(２x＋φ)．将点 － π １２ ,２( ) 代入 解析式,得２＝２sin －π６＋φ( ) ,即－ π ６＋φ＝ π ２ ＋２kπ ,k∈ Z,于是φ＝ ２π ３＋２kπ ,k∈Z．然后选择恰当的k值,使|φ|最 小,显 然 k＝０ 时,φ＝ ２π ３． 因 此,函 数 的 解 析 式 为:y＝ ２sin ２x＋２π３( )．] 随堂步步夯实 １．B　[周期T＝２π２＝π． ] ２．B　[y＝４sin １２x＋ π ３( ) 的最大值为４．] ３．C　[由图象可知,该函数不关于原点、y轴对称,为非奇非偶 函数,最大值为２．T４＝ π ３－ － ２π ３( ) ＝π,所以最小正周期是 ４π．因为２πω＝４π ,所以ω＝１２． 令１ ２× π ３＋φ＝０ ,得φ＝－ π ６． ] ４．解析:由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为２ ２π－ ３π ４( ) ＝ ５π ２ ,∴２πω ＝ ５π ２ ,∴ω＝ ４５．∵ 当x＝３π４ 时,y 有 最 小 值－１, ∴４５× ３π ４＋φ＝２kπ－ π ２ (k∈Z)．∵－π≤φ＜π,∴φ＝ ９π １０． 答案:９π １０ １．４　解三角形 １．４．１　余弦定理 课前预习学案 必备知识　知识点一 １．其他两边的平方和　夹角余弦的积　b２＋c２－２bccosA　a２ ＋c２－２accosB　a２＋b２－２abcosC　b ２＋c２－a２ ２bc 　 a２＋c２－b２ ２ac 　a ２＋b２－c２ ２ab [思考] [提示]　余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理是余 弦定理的特例． 预习自测 １．C　[c２＝a２＋b２－２abcosC＝９＋４－２×３×２× １２＝７．∴c ＝ ７．] ２．A　[a２＝b２＋c２－２bccosA＝３６＋１６－２×６×４×１３＝３６． ∴a＝６．] ３．D　[∵a＝２,b＝３,c＝４,∴c＞b＞a ,∴C＞B＞A,∴∠C 是 最大角,∴cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＝４＋９－１６２×２×３＝－ １ ４． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４６１􀅰 课堂互动学案 题型一　[例１]　[解]　(１)由 余 弦 定 理,得b２＝a２＋c２－ ２accosB＝ ２ ３( ) ２ ＋ ６＋ ２( ) ２ －２× ６＋ ２( ) ×２ ３× cos４５°＝８,所以b＝２ ２．由cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ． 得cosA＝ ２ ２ ( ) ２＋ ６＋ ２( ) ２－ ２ ３( ) ２ ２×２ ２× ６＋ ２( ) ＝１２． 因为０°＜ A＜１８０°,所以A＝６０°． (２)由余弦定理b２＝a２＋c２－２accosB,得３２＝a２＋ ３ ３( ) ２ －２×３ ３a×cos３０°,即a２－９a＋１８＝０,所以a＝６或a＝３． 变式训练　１．解:由余弦定理可得b２＝a２＋c２－２accosB ＝６２＋８２－２×６×８×cos６０° ＝１００－４８＝５２,所以b＝２ １３． 题型二　 [例 ２]　 [解]　 (１)cosA＝AC ２＋AB２－BC２ ２AB􀅰AC ＝ ４＋ ３＋１( ) ２－２ ２×２× ３＋１( ) ＝ ３２ ,∵角A 是三角形的一个内角, ∴∠A＝３０°． (２)在△ABE 中,BE２＝AB２＋AE２－２􀅰AB􀅰AE􀅰cosA＝ ３＋１( ) ２＋ ２２( ) ２ －２× ３＋１( ) 􀅰１􀅰cos３０°＝２＋ ３ , ∴BE＝ ２＋ ３＝ ６＋ ２２ ． 变式训练　２．解:因为在三角形中大边对大角,小边对小角,由 于a＜b＜c,所 以 ∠C 最 大,∠A 最 小．可 得 cosA ＝ b２＋c２－a２ ２bc ＝ ７２＋１０２－６２ ２×７×１０ ≈０．８０７１ , cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＝ ６２＋７２－１０２ ２×６×７ ≈－０．１７８６ ,所以∠A≈ ３６°,∠C≈１００°． 题型三　[例３]　[解]　(１)由余弦定理,得a􀅰b ２＋c２－a２ ２bc ＋b 􀅰c ２＋a２－b２ ２ca ＝c 􀅰a ２＋b２－c２ ２ab ． 所以a２(b２＋c２－a２)＋b２(c２ ＋a２－b２)＝c２(a２＋b２－c２),a２(b２－a２)＋a２c２＋b２(a２－b２) ＋b２c２＝c２a２＋b２c２－c４,即(a２－b２)２＝c４,所以a２－b２＝c２ 或a２－b２＝－c２,即b２＋c２＝a２ 或a２＋c２＝b２．所以△ABC 是直角三角形． (２)右 边 ＝２bc􀅰b ２＋c２－a２ ２bc ＋２ac 􀅰a ２＋c２－b２ ２ac ＋２ab 􀅰 a２＋b２－c２ ２ab ＝b ２＋c２－a２＋a２＋c２－b２＋a２＋b２－c２＝a２＋b２ ＋c２＝左边．故等式成立． 变式训练　３．解:[依题意,设a＝ ３＋１( )x,b＝ ６x,c＝２x, 则a＞b＞c,∴∠A 最大,∠C最小．cosA＝ b２＋c２－a２ ２bc ＝ ６x２＋４x２－ ４＋２ ３( )x２ ２× ６x×２x ＝６－２ ３ ４ ６ ＞０．∴∠A 为锐角,∴△ABC为锐角三角形． cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＝ ３＋１( )x２＋６x２－４x２ ２􀅰 ３＋１( )x􀅰 ６x ＝ ２２． ∴∠C＝４５°∴最小角C的大小为４５°．] 随堂步步夯实 １．C　[因为cosB＝５ ２＋８２－７２ ２×５×８ ＝ １ ２ ,所以∠B＝６０°．] ２．D　[由余弦定理得:c２＝a２＋b２－２abcosC＝１６＋３６－２×４ ×６cos１２０°＝７６,所以c＝２ １９．] ３．B　[因为bcosA＝acosB,所以b􀅰 b２＋c２－a２ ２bc ＝a 􀅰a ２＋c２－b２ ２ac 􀅰所以b２＋c２－a２＝a２＋c２－ b２．所以a２＝b２．所以a＝b．故此三角形是等腰三角形．] ４．[因为c２＝a２＋b２－２abcosC＝２２＋３２－２×２×３×１３＝９ ,所 以c＝３．] 答案:３ １．４．２　三角形的面积及正弦定理 课前预习学案 必备知识　知识点一 １．１２acsinB　 １ ２bcsinA 知识点二 １．asinA　 b sinB　 c sinC ２．(１)sinA　sinB　sinC　(２)b２R　 (３)sinA∶sinB∶sinC 　(４) asinA　２R [思考] 提示:由 a ＞b,且 a ＝ ２Rsin A,b ＝ ２Rsin B,可 得 ２RsinA＞２RsinB,即sinA＞sinB． 预习自测 １．C　[在△ABC 中,∠A＝１８０°－(∠B＋∠C)＝４５°,由正弦 定理 a sinA＝ b sinB ,得b＝４ ６．] ２．B　[根据三角形面积公式得S△ABC＝ １ ２acsinB＝ １ ２×１×２× sin π３＝ ３ ２． ] ３．D　[由正弦定理 asinA＝ b sinB ,所以sinB＝bsinAa ＝ ２× ３２ ３ ＝ ３３． ] 课堂互动学案 题型一　[例１]　[解]　由三角形的面积公式可得, S△ABC＝ １ ２absinC＝ １ ２×４×６×sin６０° ＝１２×４×６× ３ ２＝６ ３． 变式训练　１．解:由三角形的面积公式可得, S△ABC＝ １ ２acsinB＝ １ ２×４×２ ２×sinB． 于是,４ ２sinB＝ ４,即sinB＝ ２２． 又因为０°＜∠B＜１８０°,故∠B＝４５°或１３５°． 题型二　[例２]　[解]　在△ABC 中,由∠A＋∠B＋∠C＝ １８０°,得∠A＝１８０°－∠B－C＝１８０°－４５°－１５°＝１２０°．由正 弦定理 知, a sinA＝ b sinB． 于 是,b＝asinBsinA ＝ ５×sin４５° sin１２０° ＝ ５× ２２ ３ ２ ＝５ ６３ ． 因此,b＝５ ６３ ． 变式训练　２．解析:根据正弦定理有 asinA＝ b sinB ,所以a＝ bsinA sinB ＝ １４sin３０° sin１２０°＝ １４ ３ ３ ． 题型三　[例３]　[解]　(１)由正弦定理可知, asinA＝ b sinB． 于是,sinB＝bsinAa ＝ ２×sin３０° １ ＝ ２× １ ２＝ ２ ２． 又因为０° ＜∠B＜１８０°,所以∠B＝４５°或１３５°．当∠B＝４５°时,∠C＝ １８０°－∠A－∠B＝１８０°－３０°－４５°＝１０５°．当∠B＝１３５°时, ∠C＝１８０°－∠A－∠B＝１８０°－３０°－１３５°＝１５°．因此,∠C ＝１０５°或∠C＝１５°． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５６１􀅰 参考答案