1.1.3 两角和与差的正切公式-2024-2025学年中职高二数学同步（人教版2021·拓展模块一）

世数学拓辰颜快（时 1.1.3两角和与差的正切公式 课程标准 素养解读 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差 从公式间的联系入手，引导学生 的正切公式 对公式变形，感悟数学抽象、逻辑 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 推理、数学运算素养 》 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 2.T。-的变形： tan a-tan B- 我们知道，a士3的正弦、余弦都可以用a、 tan a-tan B-tan atan Btan(a-B)- B的正弦与余弦表示，那么《士3的正切，即 tan(a士B),能否用a、3的正切来表示呢？ tan atan B= 预习自测 必备知识 1.tan75°= [知识点一] 两角和与差的正切公式 A.2-3 B.2+3 名称 简记 使用 C.3-2 D.2+3 符号 公式 条件 3 tan(a十3)= 两角和的 ( 正切公式 T a,B,a十3，a 2.a(骨- 法红+受内 A.2-3 B.2+3 两角差的 tan(a-B)= ∈Z)且tana C.W3-2 D.2+3 ·tanB≠士1 3 正切公式 3.若tana=一 7am=一圣则Itma+B等于 [知识点二]两角和与差的正切公式的变形 L.Ta+的变形： ( tan a+tan B= B.1 tana+tan3+tan atan3an(a十3)=tan(a十3). A号 tan atan B-l-tana十tanβ tan(a+B) C.-1 D.- 3 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题里利用两角和与差的正切公式求值们 例1计算：tan15. [思路点拨]15°=45°-30°，利用公式直接 求解。 通法通性 [听课记录] 在求值的过程中要特别注意所求角与特殊 角（如30°，45°，60）之间的关系，还要注意 角之间的互余、互补等 6 第一章三角计算 ⊙[变式训练] 题型 给值求值问题 1.计算tan105的值. 例3 )已知am(e+)=1,ana- 则tan+5片 (2)已知a,3为锐角，cosa= 5,tan(a-B)= 题型一和与差的正切公式的变形及其应用] 号则tamB的值为 例2 化简下列各式。 思路点拨] 1+=(a+)-(a-) (1)3-an15 1+3an15o (2)B=a-(a-B) [听课记录] (2)tan50°+tan70°-3tan50°tan70°. [思路点拨]观察两角和的正切公式，当a十 3为特殊角时可得到一个含tana十tanB和 tan atan B的等式，利用这个等式可进行tana 十tan3与tan atan B之间的转换. [听课记录] 通法通性 给值求值问题的两种变换 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特 点，结合两角和与差的三角函数公式，通过 通法通性 变形，建立与待求式间的联系以实现求值. 灵活运用两角和与差的正切公式的变形解 (2)角的变换：首先从角间的关系入手，分 题公式T+,T。B是变形较多的两个公式， 析已知角与待求角间的关系，如用α=3 公式中有tan atan B,tana+tan(或tana (B-a),2a=(a十B)+(a-B)等关系，把待 -tan3),tan(a十3)[或tan(a-B)],三者 求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立 知二可表示或求出第三个. 等量关系，从而求值 ◇[变式训练] ◇[变式训练] 2.求值：(1)tan10°+tan35°+tan10°tan35°； 3已知tana=号，求am(至+a的值。 (2)(1+tan18)(1+tan27). 。7 世数学拓辰膜快(R > 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.若1ana=2,ang2则tana-》 3.若tan于十a-2,则tana的值为 ( A.3 c号 D.-号 A-B是 C.3 D.3 4.若a,c(0,且tama= 2,tan B= 3则。 1+tan 48 tan 18-= 3 tan48°-tan18° 十B= C温馨提西 A C③ D.3 学习至此，请完成配套训练 课时作业3 3 1.2 倍角公式 课程标准 素养解读 1.会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式 通过倍角公式的综合运用，掌握有关技巧，提 推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式 高分析问题、解决问题的能力；通过学习，逐 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等 步提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 变换，并能灵活地将公式变形应用。 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 以上这些公式都叫作倍角公式，倍角公式给出 二倍角公式是三角计算中常用的一组公 了a的三角函数与2a的三角函数之间的 式.用角a的三角函数值表示其二倍角2a的 关系 三角函数值，在化简、求值、证明及工程中有着 广泛的运用。 2思考角2a是a的二倍角，那么角a是 2 在两角和的余弦、正弦和正切公式中，当 的倍角吗？ α=B时，我们能得到什么结果呢？ 必备知识 [知识点二]倍角公式的常用变形 [知识点一] 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.倍角公式的逆用 三角函数 公式 简记 (1)S2:2sin acos a=sin 2a; 正弦 sin 2a= (2)C20 cos'a-sin'a=2cos'a-1 =1- cos 2a=cos'a-sin'a 2sin'a=cos 2a. 余弦 2tan a=tan 2a,2tan a-tan 2a(1 正切 (3)T:]-tan'a tan 2a= -tan'a). 8变式训练　２．解:(１)sin１２°cos１８°＋cos１２°sin１８°＝sin(１２°＋１８°) ＝sin３０°＝１２． (２)sinβcos(α－β)＋cosβsin(α－β)＝sin[β＋(α－β)]＝sinα． 题型三　[例３]　[解]　由于cosα＝３５ ,α∈ －π２ ,０( ) ,所以 sinα＝－ １－cos２α＝－ １－ ３５( ) ２ ＝－４５ , 则sinα＋π３( )＝sinαcos π ３＋cosαsin π ３ ＝ －４５( )× １ ２＋ ３ ５× ３ ２＝ ３ ３－４ １０ ． 变式训练　３．解析:因为sinα＝５１３ ,cosβ＝－ ４ ５ ,并且α和β 都是第二象限角,所以cosα＝－ １－sin２α＝－１２１３ ,sinβ＝ １－cos２β＝ ３ ５． 因此sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝ ５ １３× － ４ ５( )＋ － １２ １３( )× ３ ５＝－ ５６ ６５． 随堂步步夯实 １．A　[∵sin４３°cos１３°－cos４３°sin１３°＝sin(４３°－１３°)＝ sin３０°＝１２． ] ２．C　[sin(α＋１５°)cos(４５°－α)＋cos(α＋１５°)sin(４５°－α) ＝sin[(α＋１５°)＋(４５°－α)] ＝sin６０°＝ ３２． ] ３．C　[原式＝sin[(α＋８０°)－(３５°＋α)] ＝sin４５°＝ ２２． ] ４．解析:[sin π４＋α( ) ＝sin π ４cosα＋cos π ４sinx＝ ２ ２ × －３５( )＋ ２ ２× ４ ５＝ ２ １０． ] １．１．３　两角和与差的正切公式 课前预习学案 必备知识　知识点一 tanα＋tanβ １－tanαtanβ 　tanα－tanβ１＋tanαtanβ 知识点二 １．tan(α＋β)(１－tanαtanβ) ２．tan(α－β)(１＋tanαtanβ)　tan(α－β)　 tanα－tanβ tan(α－β) －１ 预习自测 １．B　[tan７５°＝tan(４５°＋３０°) ＝tan４５°＋tan３０°１－tan４５°tan３０°＝ １＋ ３３ １－ ３３ ＝２＋ ３．] ２．C　[tan π４－ π ３( )＝ tanπ４－tan π ３ １＋tan π４tan π ３ ＝１－ ３ １＋ ３ ＝ ３－２．] ３．C　[∵tanα＝－１７ ,tanβ＝－ ３ ４ , ∴tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝ －１７－ ３ ４ １－ －１７( ) － ３ ４( ) ＝ －２５２８ ２５ ２８ ＝－１．] 课堂互动学案 题型 一 　 [例 １]　 [解]　tan １５°＝tan(４５°－３０°) ＝tan４５°－tan３０°１＋tan４５°tan３０° ＝ １－ ３３ １＋ ３３ ＝２－ ３． 变 式 训 练 　 １． 解:tan １０５° ＝ tan (４５° ＋ ６０°) ＝ tan４５°＋tan６０°１－tan４５°􀅰tan６０° ＝１＋ ３ １－ ３ ＝－２－ ３． 题型二　 [例 ２]　 [解]　 (１)原 式 ＝ tan６０°－tan１５°１＋tan６０°tan１５°＝ tan(６０°－１５°)＝tan４５°＝１． (２)原式＝tan１２０°(１－tan５０°tan７０°)－ ３tan５０°tan７０°＝ － ３＋ ３tan５０°tan７０°－ ３tan５０°tan７０°＝－ ３． 变式训练　２．解:(１)１＋tan１５°１－tan１５°＝ tan４５°＋tan１５° １－tan１５°tan４５° ＝tan(４５°＋１５°)＝tan６０°＝ ３． (２)∵tan１０°＋tan３５°＝tan４５°(１－tan１０°tan３５°)＝１－ tan１０°tan３５°,所以tan１０°＋tan３５°＋tan１０°tan３５°＝１． (３)(１＋tan１８°)(１＋tan２７°)＝１＋tan１８°＋tan２７°＋tan１８° tan２７°＝１＋tan４５°(１－tan１８°tan２７°)＋tan１８°􀅰tan２７°＝２． 题 型 三 　 [例 ３]　 [解 ]　 (１)tan β＋ π ３( ) ＝ tan (α＋β)－ α－ π ３( )[ ] ＝ tan(α＋β)－tanα－ π ３( ) １＋tan(α＋β)tanα－ π ３( ) ＝ １－１３ １＋１×１３ ＝１２． (２)∵α为锐角,cosα＝４５ ,∴tanα＝３４． ∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝ tanα－tan(α－β) １＋tanαtan(α－β) ＝ ３ ４－ － １ ３( ) １＋３４× － １ ３( ) ＝１３９． 答案:(１)１２　 (２)１３９ 变式训练　３．解析:tan π４＋α( )＝ tanπ４＋tanα １－tanπ４tanα ＝ １＋２５ １－１×２５ ＝７３． 随堂步步夯实 １．B　[tan(α－β)＝ tanα－tanβ １＋tanαtanβ ＝ ２－１２ １＋２×１２ ＝３４． ] ２．C　[tan４８°－tan１８°１＋tan４８°tan１８°＝tan (４８°－１８°)＝tan３０°＝ ３３． ] ３．A　[tan π４＋α( )＝ １＋tanα １－tanα＝２ , 解得tanα＝１３． ] ４．解析:tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝ １ ２＋ １ ３ １－１６ ＝１．∴α＋β＝ π ４． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６１􀅰 参考答案