1.1.2 两角和与差的正弦公式-2024-2025学年中职高二数学同步（人教版2021·拓展模块一）

第一章三角计算 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.cos(一75°)的值为 3.已知a∈ .cosa- A.6-2 B6+2 02 2 2 C.6-2 D.6+2 A号 B.1- 6 4 4 2.cos78°cos18°+sin78°sin18°= c+ D誓誓 A号 B号 4.2c0s105+5 1 sin105的值为 C温馨提 C. 2 学习至此，请完成配套训练 课时作业1 1.1.2两角和与差的正弦公式 课程标准 素养解读 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的 理清两角和与差的正弦公式，熟悉公式 正弦公式 的特征，完善知识结构，重点提升学生的 2.会用两角和与差的正弦进行简单的三角函数的 数学抽象、逻辑推理、数学运算素养 求值、化简. 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 预习自测 1.sin15的值为 上一节学习了a士B的余弦，即cos(a士B) 可以用a、B的正弦、余弦来表示.那么，a士B的 A.6+2 B6-2 4 4 正弦，即sin(a士3)是否也可以用a、3的正弦、 余弦来表示呢？ C.2-6 D.6+3 4 4 2.sin105°= 必备知识 A B青 [知识点]两角和与差的正弦公式 Sa+g:sin(a十B)= C.6-2 D.6+2 S。-psin(a-B)= 4 4 ?思考两角和与差的正弦公式有巧记的方 3.sin30°cos15°+cos30°sin15°= 法吗？ A.1 B. c号 ·3· 世数学拓辰被快(R时 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型一 公式的直接应用 [听课记录] 例1求sin75的值. 汇思路点拨] 将75°看成是30°与45°的和， 利用两角和的正弦公式得. [听课记录] 通法通性 通法通性 把一个大角分解成两个特殊角，用两角和的 两角和与差的正弦公式把角α十B的三角 正弦公式计算， 函数转化成了α，B的三角函数式，如果反 ⊙[变式训练] 过来，从右向左使用公式，我们就可以将上 1.利用两角差的正弦公式求sin(一15°)的值. 述的三角函数式化简。 ⊙[变式训练] 2.化简下列各式. (1)sin12cos18°+cos12sin18°； (2)sin Bcos(a-B)+cos Bsin(a-B). 题型二 公式的逆用 例2求下列各式的值， (1)sin80°cos10°+cos80°sin10°； (29sn15+2os15 汇思路点拨了根据式子的特点，逆向使用 公式. 第一章三角计算 题型 给值求值 通法通性 给值求值的解题策略 例3 已知cosa=号，a∈（-受0小求 (1)在解决此类题目时，一定要注意已知角 sina+的值。 与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼 角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的 [思路点拨] 可利用两角和的正弦公式来 代换化异角为同角，具体做法是： 进行求解，但首先应求出sina的值，灵活运 ①当条件中有两角时，一般把“所求角”表 用公式cos2a十sina=1即可求解 示为已知两角的和或差； [听课记录] ②当条件中只有一个已知角时，可利用诱 导公式把所求角转化为已知角， (2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题 时往往需要根据三角函数值缩小角的范围， ⊙[变式训练] 3.已知sma=8cosB=-青，并且a和B都 是第二象限角，求sin(a十)的值， 》 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果 3.sin(a+80°)cos(35°+a)-cos(a+80) 等于 ( sin(35°+a)的值为 A.司 B号 C② n C② ·2 D.② 2.sin (a+15)cos(45-a)cos (a++15) 4.已知sina= 号aex小则sim+a sin(45°-a)= A2B-司 ©温器提店 2 学习至此，请完成配套训练 课时作业2 5·参 考 答 案 第一章　三角计算 １．１　和角公式 １．１．１　两角和与差的余弦公式 课前预习学案 必备知识　知识点一 cosαcosβ＋sinαsinβ 知识点二 cosαcosβ－sinαsinβ [思考] １．提示:公式的结构特征 巧记为:余余、正正、符号反． 预习自测 １．B　[cos１０５°＝cos(４５°＋６０°) ＝cos４５°cos６０°－sin４５°sin６０° ＝ ２２ 􀅰１ ２－ ２ ２ 􀅰 ３ ２ ＝ ２４－ ６ ４＝ ２－ ６ ４ ． ] ２．C　[原式＝cos５６°cos２６°＋sin５６°sin２６°＝cos(５６°－２６°) ＝cos３０°＝ ３２． ] ３．C　 [cos５０°＝cos(７０°－２０°)＝cos７０°cos２０°＋sin７０° sin２０°．] 课堂互动学案 题型一　[例１]　[解]　cos７５°＝cos(３０°＋４５°) ＝cos３０°cos４５°－sin３０°sin４５° ＝ ３２× ２ ２－ １ ２× ２ ２＝ ６－ ２ ４ ． 变式训练　１．解:cos１５°＝cos(４５°－３０°) ＝cos４５°cos３０°＋sin４５°sin３０° ＝ ２２× ３ ２＋ ２ ２× １ ２ ＝ ６＋ ２４ ． 题型二　[例２]　解:　(１)cos４０°cos２０°－sin４０°sin２０°＝ cos(４０°＋２０°)＝cos６０°＝１２． (２)cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ＝cos[(α－β)＋β]＝ cosα． 变式训练　２．(１)B　[cos６９°cos９°＋sin６９°sin９°＝cos(６９°－９°) ＝cos６０°＝１２． ] (２)D　[cos１６°cos１４°－sin１６°sin１４°＝cos(１６°＋１４°)＝ cos３０°＝ ３２． ] 题型三　[例３]　[解]　因为cosα＝３５ ,cosβ＝ ４ ５ ,并且α和 β都是锐 角,所 以 由 cos ２α＋sin２α＝１,cos２β＋sin ２ β＝１,得 sinα＝ １－cos２α＝４５ ,sinβ＝ １－cos２β＝ ３ ５ , 因此,利用公式得cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝ ３ ５× ４ ５ －４５× ３ ５＝０． 变式训练　３．解:∵sinθ＝３５ , 又θ是第二象限角,∴cosθ＝－４５． ∵cosφ＝－ ２ ５ ５ ,且φ为第三象限角, ∴sinφ＝－ ５ ５ , ∴cos(θ－φ)＝cosθcosφ＋sinθsinφ ＝ －４５( )× － ２ ５ ５ æ è ç ö ø ÷＋３５× － ５ ５ æ è ç ö ø ÷＝ ５５． 随堂步步夯实 １．C　[cos(－７５°)＝cos(－３０°－４５°)＝cos(－３０°)cos４５°＋ sin(－３０°)sin４５°＝ ３２× ２ ２－ １ ２× ２ ２＝ ６－ ２ ４ ． ] ２．B　[cos７８°cos１８°＋sin７８°sin１８°＝ cos(７８°－１８°)＝cos６０°＝１２． ] ３．A　[因 为α∈ ０,π２( ) ,cosα＝ ３ ３ ,所 以 sinα＝ ６３ ,所 以 cosα＋π６( )＝cosαcos π ６－sinαsin π ６＝ ３ ３× ３ ２－ ６ ３× １ ２ ＝１２－ ６ ６． ] ４．解析:原式＝cos６０°cos１０５°＋sin６０°sin１０５°＝cos(６０°－ １０５°)＝cos(－４５°)＝ ２２． 答案:２ ２ １．１．２　两角和与差的余弦公式 课前预习学案 必备知识　知识点 sinαcosβ＋cosαsinβ　sinαcosβ－cosαsinβ [思考] １．提示:结构特征． 巧记为:正余、余正符号同． 预习自测 １．B　[sin１５°＝sin(６０°－４５°) ＝sin６０°cos４５°－cos６０°sin４５° ＝ ３２× ２ ２－ １ ２× ２ ２＝ ６－ ２ ４ ． ] ２．D　[sin１０５°＝sin(６０°＋４５°) ＝sin６０°cos４５°＋cos６０°sin４５° ＝ ３２× ２ ２＋ １ ２× ２ ２＝ ６＋ ２ ４ ． ] ３．C　[sin３０°cos１５°＋cos３０°sin１５° ＝sin(３０°＋１５°)＝sin４５°＝ ２２． ] 课堂互动学案 题型一　[例 １]　[解]　sin７５°＝sin(３０°＋４５°)＝sin３０° cos４５°＋cos３０°sin４５°＝１２× ２ ２＋ ３ ２× ２ ２＝ ２＋ ６ ４ ． 变式训练　１．解:sin(－１５°)＝sin(３０°－４５°)＝sin３０°cos４５° －cos３０°sin４５° ＝１２× ２ ２－ ３ ２× ２ ２＝ ２－ ６ ４ 题型二　[例２]　[解]　(１)sin８０°cos１０°＋cos８０°sin１０°＝ sin(８０°＋１０°)＝sin９０°＝１; (２)３２sin１５°＋ １ ２cos１５°＝sin１５°cos３０°＋cos１５°sin３０°＝ sin(１５°＋３０°)＝sin４５°＝ ２２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０６１􀅰 变式训练　２．解:(１)sin１２°cos１８°＋cos１２°sin１８°＝sin(１２°＋１８°) ＝sin３０°＝１２． (２)sinβcos(α－β)＋cosβsin(α－β)＝sin[β＋(α－β)]＝sinα． 题型三　[例３]　[解]　由于cosα＝３５ ,α∈ －π２ ,０( ) ,所以 sinα＝－ １－cos２α＝－ １－ ３５( ) ２ ＝－４５ , 则sinα＋π３( )＝sinαcos π ３＋cosαsin π ３ ＝ －４５( )× １ ２＋ ３ ５× ３ ２＝ ３ ３－４ １０ ． 变式训练　３．解析:因为sinα＝５１３ ,cosβ＝－ ４ ５ ,并且α和β 都是第二象限角,所以cosα＝－ １－sin２α＝－１２１３ ,sinβ＝ １－cos２β＝ ３ ５． 因此sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝ ５ １３× － ４ ５( )＋ － １２ １３( )× ３ ５＝－ ５６ ６５． 随堂步步夯实 １．A　[∵sin４３°cos１３°－cos４３°sin１３°＝sin(４３°－１３°)＝ sin３０°＝１２． ] ２．C　[sin(α＋１５°)cos(４５°－α)＋cos(α＋１５°)sin(４５°－α) ＝sin[(α＋１５°)＋(４５°－α)] ＝sin６０°＝ ３２． ] ３．C　[原式＝sin[(α＋８０°)－(３５°＋α)] ＝sin４５°＝ ２２． ] ４．解析:[sin π４＋α( ) ＝sin π ４cosα＋cos π ４sinx＝ ２ ２ × －３５( )＋ ２ ２× ４ ５＝ ２ １０． ] １．１．３　两角和与差的正切公式 课前预习学案 必备知识　知识点一 tanα＋tanβ １－tanαtanβ 　tanα－tanβ１＋tanαtanβ 知识点二 １．tan(α＋β)(１－tanαtanβ) ２．tan(α－β)(１＋tanαtanβ)　tan(α－β)　 tanα－tanβ tan(α－β) －１ 预习自测 １．B　[tan７５°＝tan(４５°＋３０°) ＝tan４５°＋tan３０°１－tan４５°tan３０°＝ １＋ ３３ １－ ３３ ＝２＋ ３．] ２．C　[tan π４－ π ３( )＝ tanπ４－tan π ３ １＋tan π４tan π ３ ＝１－ ３ １＋ ３ ＝ ３－２．] ３．C　[∵tanα＝－１７ ,tanβ＝－ ３ ４ , ∴tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝ －１７－ ３ ４ １－ －１７( ) － ３ ４( ) ＝ －２５２８ ２５ ２８ ＝－１．] 课堂互动学案 题型 一 　 [例 １]　 [解]　tan １５°＝tan(４５°－３０°) ＝tan４５°－tan３０°１＋tan４５°tan３０° ＝ １－ ３３ １＋ ３３ ＝２－ ３． 变 式 训 练 　 １． 解:tan １０５° ＝ tan (４５° ＋ ６０°) ＝ tan４５°＋tan６０°１－tan４５°􀅰tan６０° ＝１＋ ３ １－ ３ ＝－２－ ３． 题型二　 [例 ２]　 [解]　 (１)原 式 ＝ tan６０°－tan１５°１＋tan６０°tan１５°＝ tan(６０°－１５°)＝tan４５°＝１． (２)原式＝tan１２０°(１－tan５０°tan７０°)－ ３tan５０°tan７０°＝ － ３＋ ３tan５０°tan７０°－ ３tan５０°tan７０°＝－ ３． 变式训练　２．解:(１)１＋tan１５°１－tan１５°＝ tan４５°＋tan１５° １－tan１５°tan４５° ＝tan(４５°＋１５°)＝tan６０°＝ ３． (２)∵tan１０°＋tan３５°＝tan４５°(１－tan１０°tan３５°)＝１－ tan１０°tan３５°,所以tan１０°＋tan３５°＋tan１０°tan３５°＝１． (３)(１＋tan１８°)(１＋tan２７°)＝１＋tan１８°＋tan２７°＋tan１８° tan２７°＝１＋tan４５°(１－tan１８°tan２７°)＋tan１８°􀅰tan２７°＝２． 题 型 三 　 [例 ３]　 [解 ]　 (１)tan β＋ π ３( ) ＝ tan (α＋β)－ α－ π ３( )[ ] ＝ tan(α＋β)－tanα－ π ３( ) １＋tan(α＋β)tanα－ π ３( ) ＝ １－１３ １＋１×１３ ＝１２． (２)∵α为锐角,cosα＝４５ ,∴tanα＝３４． ∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝ tanα－tan(α－β) １＋tanαtan(α－β) ＝ ３ ４－ － １ ３( ) １＋３４× － １ ３( ) ＝１３９． 答案:(１)１２　 (２)１３９ 变式训练　３．解析:tan π４＋α( )＝ tanπ４＋tanα １－tanπ４tanα ＝ １＋２５ １－１×２５ ＝７３． 随堂步步夯实 １．B　[tan(α－β)＝ tanα－tanβ １＋tanαtanβ ＝ ２－１２ １＋２×１２ ＝３４． ] ２．C　[tan４８°－tan１８°１＋tan４８°tan１８°＝tan (４８°－１８°)＝tan３０°＝ ３３． ] ３．A　[tan π４＋α( )＝ １＋tanα １－tanα＝２ , 解得tanα＝１３． ] ４．解析:tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝ １ ２＋ １ ３ １－１６ ＝１．∴α＋β＝ π ４． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６１􀅰 参考答案