6.3.2 圆的一般方程-2024-2025学年中职高一数学同步（人教版2021·基础模块下册）

|CN|＝ (４－３)２＋(６－４)２＝ ５, |CP|＝ (４－３)２＋(６－５)２＝ ２＜ ５, 所以点 M 在此圆外,点N 在此圆上,点P 在此圆内． 变式训练 ２．A　[由已知得a≥０,且(３－０)２＋(a－０)２＜１６, 所以０≤a＜７．] 随堂步步夯实 １．C　[圆心为(２,－１),半径为４的圆的方程为(x－２)２＋ (y＋１)２＝１６．] ２．B　[圆的圆心是(０,－３),半径是r＝１２|－５－ (－１)|＝２． 故圆的方程为x２＋(y＋３)２＝４．] ３．A　[设圆的标准方程为(x－４)２＋(y＋１)２＝r２, 把点(５,２)代入可得r２＝１０．] ４．解析:∵点P(－１,３)在圆x２＋y２＝m２ 上, ∴１＋３＝m２,∴m＝±２． 答案:±２ ６．３．２　圆的一般方程 课前预习学案 必备知识　知识点一 C －D２ ,－E２( )　 １ ２ D ２＋E２－４F [思考] 提示:不是,只有当D２＋E２－４F＞０时才表示圆．当D２＋ E２－４F＝０时表示点 －D２ ,－E２( ),当D ２＋E２－４F＜０ 时,不表示任何图形． 预习自测 １．(１)√　(２)√ ２．B　[－D２＝３ ,－E２＝－２ ,∴圆心坐标是(３,－２)．] ３．解析:因(x＋１)２＋(y－２)２＝５－m,∴r＝ ５－m＝２, ∴m＝１． 答案:１ 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　法一:由方程x２＋y２－４mx＋２my＋２０m－２０ ＝０, 可知D＝－４m,E＝２m,F＝２０m－２０, ∴D２＋E２－４F＝１６m２＋４m２－８０m＋８０ ＝２０(m－２)２． 因此,当m＝２时,它表示一个点; 当m≠２时,原方程表示圆,此时圆的圆心为(２m,－m), 半径为r＝１２ D ２＋E２－４F＝ ５|m－２|． 法二:原方程可化为(x－２m)２＋(y＋m)２＝５(m－２)２,因 此,当m＝２时,它表示一个点;当m≠２时,原方程表示 圆,此时圆的圆心为(２m,－m),半径为r＝ ５|m－２|． 变式训练 １．C　[由二元二次方程表示圆的条件,知(－１)２＋１２－４a ＞０,解得a＜１２． ] 题型二 [例２]　[解]　法一:设△ABC 的外接圆方程为x２＋y２＋ Dx＋Ey＋F＝０(D２＋E２－４F＞０), ∵A,B,C在圆上, ∴ １＋１６＋D＋４E＋F＝０, ４＋９－２D＋３E＋F＝０, １６＋２５＋４D－５E＋F＝０, ì î í ïï ï 解得 D＝－２, E＝２, F＝－２３, ì î í ïï ï ∴△ABC的外接圆方程为x２＋y２－２x＋２y－２３＝０, 即(x－１)２＋(y＋１)２＝２５． ∴圆心坐标为(１,－１),外接圆半径为５． 法二:∵kAB＝ ４－３ １＋２＝ １ ３ ,kAC＝ ４＋５ １－４＝－３ , ∴kAB􀅰kAC＝－１,∴AB⊥AC． ∴△ABC是以角A 为直角的直角三角形, ∴圆心是线段BC的中点,坐标为(１,－１), r＝１２|BC|＝５． ∴外接圆方程为(x－１)２＋(y＋１)２＝２５． 变式训练 ２．解:法一:设圆的方程为x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝０(∗) 把A、B、C三点坐标代入方程(∗)得 １－D＋F＝０ ９＋３D＋F＝０ １＋E＋F＝０ ì î í ïï ï ,解得 D＝－２ E＝２ F＝－３ ì î í ïï ï ． 故所求圆的方程为x２＋y２－２x＋２y－３＝０, 即(x－１)２＋(y＋１)２＝５． 法二:线段AB 的中垂线方程为x＝１,线段AC 的中垂线 方程为x＋y＝０, 由 x＝１ x＋y＝０{ ,得圆心坐标为 M(１,－１), 半径r＝|MA|＝ ５, ∴圆的方程为(x－１)２＋(y＋１)２＝５． 题型三 [例３]　[解]　设点 M 的坐标是(x,y), 则|MO| |MA|＝２．∴ x２＋y２ (x－３)２＋y２ ＝２． 化简,得x２＋y２－１２x＋１８＝０, 即所求轨迹方程为(x－６)２＋y２＝１８． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０９􀅰 变式训练 ３．解:法一:设顶点C(x,y),因为AC⊥BC,且A,B,C 三点 不共线,所以x≠３,且x≠－１． 又因为kAC＝ yx＋１ ,kBC＝ yx－３ ,且kAC􀅰kBC＝－１, 所以 y x＋１ 􀅰 y x－３＝－１ ,化简, 得x２＋y２－２x－３＝０． 所以直角顶点C 的轨迹方程为x２＋y２－２x－３＝０(x≠ ３,且x≠－１)． 法二:同法一,得x≠３,且x≠－１． 由勾股定理,得|AC|２＋|BC|２＝|AB|２, 即(x＋１)２＋y２＋(x－３)２＋y２＝１６, 化简得x２＋y２－２x－３＝０． 所以直角顶点C 的轨迹方程为x２＋y２－２x－３＝０(x≠ ３,且x≠－１)． 法三:设AB 的中点为D,由中点坐标公式,得D(１,０)． 由直角三角形的性质,知|CD|＝１２|AB|＝２． 由圆的定义,知动点C 的轨迹是以D(１,０)为圆心,以２ 为半径长的圆(因为A,B,C三点不共线,所以应除去与x 轴的交点)． 设C(x,y),则直角顶点C的轨迹方程为(x－１)２＋y２＝４ (x≠３,且x≠－１)． 随堂步步夯实 １．A　[方程２x２＋２y２－４x＋８y＋１０＝０,可化为x２＋y２－ ２x＋４y＋５＝０,即(x－１)２＋(y＋２)２＝０,∴方程２x２＋ ２y２－４x＋８y＋１０＝０表示点(１,－２)．] ２．A　[方程x２＋y２－４x＋２y＝０,即(x－２)２＋(y＋１)２＝５,所 以圆心为(２,－１),半径为 ５．] ３．B　[将圆的一般方程化为标准方程得(x＋１)２＋(y－２)２ ＝５,则圆心为(－１,２)． ∵直线过圆心,∴３×(－１)＋２＋a＝０,∴a＝１．] ４．解析:由题意知r＝ [５－(－３)]２＋(４－１)２＝ ７３, 所以圆的一般方程为(x＋３)２＋(y－４)２＝７３, 即x２＋y２＋６x－８y－４８＝０． 答案:x２＋y２＋６x－８y－４８＝０ ６．４　直线与圆的位置关系 课前预习学案 必备知识　知识点一 两个　一个　没有 [思考] 提示:“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系,是 从不同的方面,不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧 重于“形”,更多地结合了图形的几何性质;“代数法”则侧 重于“数”,它倾向于“坐标”与“方程”． 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)√　(４)× ２．B　 [圆 心 (０,０)到 直 线 ３x＋４y－５＝０ 的 距 离 d＝ |－５| ３２＋４２ ＝１．∵d＝r,∴直线与圆相切．] ３．解析:由已知得圆心C(３,１),半径r＝５．又圆心C 到直线 l的距离d＝|３＋２| ５ ＝ ５,则弦长＝２ r２－d２＝４ ５． 答案:４ ５ 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　法一:将直线mx－y－m－１＝０代入圆的方 程,化简、整理, 得(１＋m２)x２－２(m２＋２m＋２)x＋m２＋４m＋４＝０． ∵Δ＝４m(３m＋４), (１)当Δ＞０,即m＞０或m＜－４３ 时,直线与圆相交,即直 线与圆有两个公共点． (２)当Δ＝０,即m＝０或m＝－４３ 时,直线与圆相切,即直 线与圆只有一个公共点． (３)当Δ＜０,即－４３＜m＜０ 时,直线与圆相离,即直线与 圆没有公共点． 法二:已知圆的方程可化为(x－２)２＋(y－１)２＝４,即圆 心为(２,１),半径r＝２．圆心(２,１)到直线mx－y－m－１ ＝０的距离d＝|２m－１－m－１| １＋m２ ＝|m－２| １＋m２ ． (１)当d＜２,即m＞０或m＜－４３ 时,直线与圆相交,即直 线与圆有两个公共点． (２)当d＝２,即m＝０或m＝－４３ 时,直线与圆相切,即直 线与圆只有一个公共点． (３)当d＞２,即－４３＜m＜０ 时,直线与圆相离,即直线与 圆没有公共点． 变式训练 １．B　[∵圆心(０,０)到直线y＝x＋１的距离d＝ １ １＋１ ＝ ２ ２ ,则０＜ ２２＜１ ,∴直线与圆相交但直线不过圆心．] 题型二 [例２]　[解]　因为(４－３)２＋(－３－１)２＝１７＞１,所以点 A 在圆外,过点A 与圆C 有两条切线． (１)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k, 则切线方程为y＋３＝k(x－４)． 因为圆心C(３,１)到切线的距离等于半径,半径为１,所以 |３k－１－３－４k| k２＋１ ＝１,即|k＋４|＝ k２＋１, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１９􀅰 参考答案 第六章直线和圆的方程 6.3.2圆的一般方程 课程标准 素养解读 1.掌握圆的一般方程： 通过学习圆的一般方程，提升逻辑推理、数学 2.了解二元二次方程表示圆的条件 运算的数学素养 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 [知识点二]用“待定系数法”求圆的方程的 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x一 大致步骤 a)2+(y-b)2=r2,现将其展开可得：x2+y2 ①根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般 2a.x-2bx十a2+b-r2=0.可见，任何一个圆 方程； 的方程都可以变形为x十y+Dx十Ey十F=0 ②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方 的形式 程组； 请大家思考一下，形如x2十y2+Dx+Ey+F ③解出a、b、r或D、E、F,代人标准方程或 =0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们 一般方程. 来探讨这一方面的问题 预习自测 必备知识 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） [知识点一]圆的一般方程 (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程. 当D2+E一4F>0时，方程x2+y+Dx+ ( Ey十F=0称为圆的一般方程，其中圆心为 (2)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次 ,半径为r 方程. ) 2思考所有形如x+y2+Dx十Ey十F=0 2.圆x2+y2-6.x十4y=0的圆心坐标是 的二元二次方程都表示圆吗？ A.(3,2) B.(3,-2) C.(-3,-2) D.(-3,2) 3.圆x2+y2+2x-4y十m=0的半径为2，则 m的值为 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型 圆的一般方程的认识 思路点拨]可直接利用D+E一4F>0 例1 判断方程x2+y2-4m.x+2my+20m-20 是否成立来判断，也可把左端配方，看右端 =0能否表示圆.若能表示圆，求出圆心和 是否为大于零的常数」 半径. ·25· 世数学草础候快下 [听课记录] [听课记录] 通法通性 二元二次方程表示圆的判断方法 任何一个圆的方程都可化为x十y十Dx十 Ey十F=0的形式，但形如x2十y十Dx十 通法通性 Ey十F=0的方程不一定表示圆.判断它 (1)由圆的标准方程和圆的一般方程可以 是否表示圆可以有以下两种方法： 看出方程都含有三个参数，因此必须具 备三个独立的条件，才能确定一个圆； (1)计算D十E2一4F,若其值为正，则表 (2)求圆的方程时，若能根据已知条件找出 示圆；若其值为0，则表示一个点；若其 圆心坐标和半径，则可直接写出圆的标 值为负，则不表示任何图形 准方程，否则可通过圆的标准方程或圆 (2)将该方程配方为+)+(+号 的一般方程用待定系数法求解 D+E-4F ,根据圆的标准方程来 ⊙[变式训练] 2.求过点A(一1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的 判断. 方程 ⊙[变式训练] 1.若方程x+y2-x十y十a=0表示一个圆， 则实数a的取值范围是 ) A.(-∞，2] B.(-∞，2) C.(-c. 题型二 求圆的二般方程 例2 已知△ABC的三个顶点为A(1,4), B(一2,3)，C(4,一5)，求△ABC的外接圆 方程、圆心坐标和外接圆半径 [思路点拔]可以先设出圆的一般式方程， 用待定系数法求解，也可以先确定圆心和半 径，再写出方程， ·26· 第六章直线和圆的方程 题型 求动点的轨迹方程 (3)代入法：若动点P(x,y)依赖于某圆上 例3 求到点O(0,0)的距离是到点A(3,0) 的一个动点Q(x1y1)而运动，把x1y 的距离的2倍的点M的轨迹方程。 用x,y表示，再将Q点的坐标代入到 [思路点拨了先设出M的坐标(x,y),根据 已知圆的方程中，得点P的轨迹方程. 两点间距离公式和距离的关系列式化简 [特别提醒] 在解决此类问题时易出现不符 即可. 合条件的点仍在所求的轨迹上，故应排除不合 [听课记录] 适的点 ⊙[变式训练] 3.已知直角△ABC的斜边为AB,且A(-1,0), B(3,0),求直角顶点C的轨迹方程. 通法通性 求轨迹方程的三种常用方法 (1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设 出动点坐标，找出动点满足的条件，然 后化简、证明. (2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定 义时，可利用定义写出动点的轨迹 方程。 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.方程2x2+2y2-4x十8y十10=0表示的图 3.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2.x-4y 形是 ( =0的圆心，则a的值为 A.一个点 B.一个圆 A.-1 B.1 C.一条直线 D.不存在 C.3 D.-3 2.圆x2+y-4x+2y=0的圆心和半径分 4.圆心是（一3,4），经过点M(5,1)的圆的一般 别是 方程为 A.(2,-1),5 B.(2,-1),5 c温蓉提 学习至此，请完成配套训练 课时作业11 C.(-2,1).5 D.(-2,1),5 ·27·