6.3.1 圆的标准方程-2024-2025学年中职高一数学同步（人教版2021·基础模块下册）

心数学基础膜快J 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.点(5，一3)到直线x十2=0的距离等于( 3.若两条平行线3x一4y十m=0与3x一4y+ A.7 B.5 1=0之间的距离是2，则m的值为() C.3 D.2 A.-9或11 B.-8或10 2.两平行直线x十y十2=0与x十y一3=0的 C.-7或12 D.-8或11 距离等于 4.点P(1,1)到直线3x+4y+3=0的距离是 A R号 ©温蓉提污 C.52 D.√2 学习至此，请完成配套训练课时作业9 6.3 圆的方程 6.3.1 圆的标准方程 课程标准 素养解读 1.了解圆的定义； 通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、 2.掌握圆的标准方程 逻辑推理、数学抽象的数学素养 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 2.确定圆的基本要素是 《古朗月行》 和 M(z.y) [唐]李白 如图所示. 小时不识月，呼作白玉盘。 3.圆的标准方程：圆心 又疑瑶台镜，飞在青云端。 为C(a,b),半径长为r的圆的标准方程是 月亮，是中国人心目中的 宇宙精灵，古代人们在生活中 ?思考 当a=b=0时，圆的标准方程是 崇拜、敬畏月亮，在文学作品中 什么？ 也大量描写、如果把天空看作一个平面，月亮 当做一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么 圆的坐标方程如何表示？ 必备知识 [知识点一]圆的标准方程 知识点二]点与圆的位置关系 1.圆的定义：圆是平面内到一 的距离 圆C:(x-a)+(y一b)2=r2(r>0),其圆心 等于 的点的轨迹，定点是圆心，定 为(a,b),半径为r,点P(xoyo),设d=|PC= 长是圆的半径， √(xo-a)+(yo-b). ·22· 第六章直线和圆的方程 d与r的 预习自测 位置 点P的坐 图示 关系 大小 标的特点 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） (1)方程(x一a)2+(y-b)2=m表示圆.() (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径， 点在 (xo-a)2+ d 圆外 (y。-b)2>r (3)圆(x+1)2+(y+2)2=4的圆心坐标是 (1,2),半径是4. () (4)(0,0)在圆(x-1)+(y-2)=1上.() 点在 (xo-a)2+ d 2.圆(x-1)2+(y+2)=2的半径为() 圆上 0 (y%一b)2=r A.1 B.2 C.2 D.4 3.以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是 点在 (x。-a)2+ d A.x2+y2=2 B.x2+y2=4 圆内 0 (y%-b)2<r3 C.(x-2)2+(y-2)2=8D.x+y2=2 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型一 求圆的标准方程 例1 写出下列各圆的标准方程： (1)圆心为(1，-1)，半径长为3： (2)圆心是直线x+y-1=0与2x-y十3=0 的交点，半径长为子 [思路点拨]确定圆心坐标和半径，利用圆 的标准方程求解。 [听课记录] 通法通性 (1)要确定圆的标准方程需要两个条件（包 含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的 半径长；反之如果已知圆的标准方程也 能直接得到圆的圆心坐标和半径； (2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心 和半径，再写方程， 23· 数学基础膜快(J ⊙[变式训练] 1.写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3： (2)圆心在点C(3,4)处，半径是5： (3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,一3)处 通法通性 点与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆 题型二 点与圆的位置关系 的半径r比较： 例2已知两点P,(3,8)和P2(5,4),求以线 (2)代数法：直接利用下面的不等式判定： 段PP。为直径的圆的方程，并判断点 ①(x。-a)2+(y。-b)2>r2,点(xo) M(5,3)、N(3,4)、P(3,5)是在此圆上，在圆 在圆外： 内，还是在圆外？ ②(x-a)2+(y-b)2=r2,点(xy) [思路点拨]先确定圆心坐标和半径，写出 在圆上： 圆的方程，再利用点到圆心的距离判断点与 ③(x-a)2+(y%-b)<r产，点(x6)在 圆的位置关系 圆内. [听课记录] ⊙[变式训练] 2.若点(3，√a)在圆x2+y=16的内部，则a 的取值范围是 ( A.[0,7) B.(-∞，7) C.{7} D.(7,+∞) 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.以(2，一1)为圆心，4为半径的圆的方程为 3.圆心是(4，一1)，且过点(5,2)的圆的标准方 程是 A.(x+2)2+(y-1)2=4 A.(x-4)2+(y+1)2=10 B.(x+2)2+(y+1)2=4 B.(x+4)2+(y-1)2=10 C.(x-2)2+(y+1)=16 C.(x-4)2+(y+1)2=100 D.(x-2)+(y-1)2=16 D.(x-4)2+(y+1)2=10 2.已知A(0,一5)、B(0,一1)，则以线段AB为 4.若点P(一1,3)在圆x2十y2=m2上，则实 直径的圆的方程是 () 数m= A.(x+3)2+y2=2B.x2+(y十3)2=4 ©温蓉提 C.(x+3)2+y2=4D.(x-3)2+y2=2 学习至此，请完成配套训练课时作业10 ·24参考答案 (3)法一：由点到直线的距离公式得d 6.3圆的方程 1-1×0+2-1山=1. 6.3.1圆的标准方程 √02+1日 课前预习学案 法二：：直线y-1=0与x轴平行， 必备知识知识点一 .由图知d=2-1=1. 1.定点定长2.圆心半径3.(x-a)2+(y-b)2=2 题型二 [思考] [例2][解]法一：由已知，可设所求的直线方程为2x一 提示：当a=b=0时，方程为x2十y2=r2,表示以原点O y+C=0(C≠-1). 为圆心、半径为r的圆. 则它到直线2x-y-1=0的距离d=C-(-1D 知识点二 √22+(-1)8 >=< -lC+1L=2. 5 预习自测 1.(1)×(2)√(3)×(4)× .1C+1=25,C=士25-1， 2.B[图(x-1)2+(y+2)2=2的半径r=2.] ∴所求直线的方程为2x-y+25-1=0或2x-y 3.B[以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2十y 25-1=0. =4.] 法二：设所求直线上任落一点P(x,y), 课堂互动学案 则点P到2x一y-1=0的距离为d=2r二y-1山 题型一 W22+(-1)2 [例1][解](1)：圆心为(1，-1)，半径长为3， =12x-y=1山=2,2x-y-1=±25 即a=1,b=-1,r=3. 5 ∴.周的标准方程为(x一1)2+(y十1)2=9. ∴.所求直线的方程为2x一y+25一1=0或2x-y (2),圆心是两直线的交点， 25-1=0. t=- 2 变式训练 由 x+y-1=0 得 2.C[由题意，得2m-3×4=0,.m=6. 2x-y+3=0 y= 故两直线2x十3y十1=0与4x十6y十7=0的距离d= 国公为（号号} √22+32 5酒] 又丰径长为 随堂步步夯实 ∴国的标准方程为(+号)+(-号)= 1.A[直线x十2=0，即x=一2为平行于y轴的直线，所 变式训练 以点(5，-3)到x=-2的距离d=|5-(-2)1=7.] 1.解：(1)圆心为(0,0)，r=3,方程为x2+y2=9. 2.A[直线x+y+2=0与x抽的交点是P(-2,0),点P (2)方程为(x-3)2+(y-4)2=5. 到直线十y一3=0的距高d-5,印这 √12+12 (3)r=√(8-5)2+(-3-1)2=5. 方程为(x-8)2+(y+3)2=25. 两条平行线间的距房为5受.】 题型二 3.A[因为两条平行线3.x-4y+m=0与3x-4y+1=0 [例2][解]设國心C(a,b),半径长为r,则由C为线段 之间的距离是2， P1P2的中，点得a=35=4,b=8=6,即国心坐标为 2 2 所以m一1山 =2-→m-1=10=>m=11. √32+(-4)F C(4,6),又由两点间的距离公式得r=CP1|= 或m=一9.] √(4-3)2+(6-8)2=√5， 4解析：由已知得d=3X1+4X1+3=2. 故所求圆的标准方程为(x一4)2+(y一6)2=5. √/32+4 分别计算点MN,P到圆心C的距离： 答案：2 1CM川=(4-5)2+(6-3)2=/10>5， ·89· 世数学草础被快(R心下 1CN|=√(4-3)2+(6-4)2=w5, 法二：原方程可化为(x-2m)2+(y十m)2=5(m-2)2.图 此，当m=2时，它表示一个点：当m≠2时，原方程表示 1CP1=(4-3)2+(6-5)7=√2<5， 所以点M在此圖外，点N在此回上，点P在此国内. 圆，此时圆的圆心为(2m,一m),半径为r=√5m一2|. 变式训练 变式训练 2.A[由已知得a≥0，且(3-0)2+(a-0)2<16, 1.C[由二元二次方程表示圆的条件，知（一1）2+12一4a 所以0≤a<7.] >0,解得a<2] 随堂步步夯实 题型二 1.C[圆心为(2，一1)，半径为4的圆的方程为(x-2)2+ [例2][解]法一：设△ABC的外接圆方程为x2+y2十 (y+1)2=16.] Dx+Ey+F=0(D2+E-4F>0). 2.B[圆的圆心是(0，-3)，半径是r=2-5-（-1)1=2 ,A.B.C在圆上， 1+16+D+4E+F=0, D=-2, 故圆的方程为x2+(y十3)2=4.] 3.A[设圆的标准方程为(x一4)2+(y十1)2=r2, .{4+9-2D+3E+F=0,解得{E=2, 16+25+4D-5E+F=0, F=-23 把点(5,2)代入可得r2=10.] .△ABC的外接间方程为x2十y2-2x十2y-23=0, 4.解析：：点P(-13)在圆x2+y2=m2上. 即(x-1)2+(y+1)2=25. ∴.1十3=m2..m=士2. .圆心坐标为(1，一1)，外接圆半径为5. 答案：士2 6.3.2圆的一般方程 法二w年日0--8 课前预习学案 .kB·k=-1,.AB⊥AC 必备知识知识点一 ∴.△ABC是以角A为直角的直角三角形， c(号-号)D+- .圆心是线段BC的中点，坐标为(1，一1)， [思考] -BCI-5. 提示：不是，只有当D+E2一4F>0时才表示圆.当D2十 ∴.外接圆方程为(x一1)2+(y十1)2=25. E-4F=0时表示点（号-号）当D2+E-F<0 变式训练 2.解：法一：设圆的方程为x2十y3十Dx十Ey十F=0(*) 时，不表示任何图形. 把A、B、C三，点坐标代入方程（￥）得 预习自测 1-D+F=0 D=-2 1.(1)/(2)/ 9+3D+F=0,解得E-2. 2B[-2-3,-号=-2周心金标是3，-2] 1+E+F=0 F=-3 2 故所求圆的方程为x2+y2-2x十2y一3=0， 3.解析：图(x十1)2+(y-2)2=5-m,.r=√5-m=2, 即(x-1)2+(y+1)2=5. .m=1. 法二：线段AB的中垂线方程为x=1,线段AC的中垂线 答案：1 方程为x十y=0, 课堂互动学案 题型一 由/1 ,得圆心坐标为M(1,一1)， x+y=0 [例1][解]法一：由方程.x2+y2-4mx+2my+20m-20 半径r=MA=5, =0, ∴.圆的方程为(x-1)2十(y十1)2=5. 可知D=一4m,E=2m,F=20m一20， 题型三 ∴.D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80 [例3[解]设点M的坐标是(x,y), =20(m一2)2. 因此，当m=2时，它表示一个点： 7MA=2.+y 则MO =2. 当m≠2时，原方程表示圆，此时间的圆心为(2m,一m), √(x-3)2+y 化简.得x2+y2-12x+18=0, 丰径为r=之D+E-4F=5m-21. 即所求轨远方程为(.x一6)2+y2=18. ·90·