6.2.5 点到直线的距离-2024-2025学年中职高一数学同步（人教版2021·基础模块下册）

课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　(１)因为２×１２≠－１ ,所以l１ 与l２ 不垂直． (２)因为(－３)×１３＝－１ ,所以l１⊥l２． (３)因为直线l１ 的倾斜角是０,直线l２ 的倾斜角是 π ２ ,所 以l１⊥l２． 变式训练 １．B　[直线 AB、CD、BD、AC 的斜率都存在,因为kAB ＝ －４－２ ６－(－４)＝－ ３ ５ ,kCD＝ １２－６ ２－１２＝－ ３ ５ ,kAC＝ ６－２ １２－(－４)＝ １ ４ ,kBD＝ １２－(－４) ２－６ ＝－４ ,所以kAB＝kCD,kACkBD ＝－１, 即AB∥CD,AC⊥BD．] 题型二 [例２]　[解]　法一:已知直线l:３x＋４y－２０＝０的斜率k ＝－３４． 过A 与l垂直的直线的斜率k１＝－ １ k＝ ４ ３ ,方程 为y－２＝４３ (x－２)．故４x－３y－２＝０即为所求． 法二:设所求直线方程为４x－３y＋λ＝０, 由(２,２)点在直线上,∴４×２－３×２＋λ＝０, ∴λ＝－２．∴所求直线方程为４x－３y－２＝０． 变式训练 ２．A　[由直线l与直线２x－３y＋４＝０垂直,可知直线l的 斜率是 － ３２ ,由 点 斜 式 可 得 直 线l的 方 程 为y－２＝ －３２ (x＋１),即３x＋２y－１＝０．] 随堂步步夯实 １．B　[∵k１􀅰k２＝１×(－１)＝－１,∴l１⊥l２．] ２．B　[因为直线l１ 的倾斜角是 π ２ ,直线l２ 的倾斜角是０,所 以l１⊥l２．] ３．A　[因为直线l与直线y＝x＋１垂直,所以设直线l的 方程为y＝－x＋b,又l在y 轴上截距为 ２,所以所求直 线l的方程为y＝－x＋ ２,即x＋y－ ２＝０．] ４．解析:因为直线y＝３x－５的斜率为３,且所求直线与该直 线垂直,所以所求直线斜率为－１３． 又直线过点(０,－２),由直线方程的斜截式,得 y＝－１３x－２ ,即x＋３y＋６＝０． 答案:x＋３y＋６＝０ ６．２．５　点到直线的距离 课前预习学案 情境引入 提示:铺设一条从饭馆到公路的垂直道路,道路的长度 最短． 必备知识　知识点一 |Ax０＋By０＋C| A２＋B２ [思考] １．提示:要求直线的方程应化为一般式． 知识点二 (２)点到直线 [思考] ２．提示:两条平行直线的方程都是一般式,且x,y对应的系 数应分别相等． 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)√ ２．D　[利用点到直线的距离公式,可得原点到直线x＋２y －５＝０的距离d＝|０＋０－５| １２＋２２ ＝ ５．] ３．C　[d＝|－７－ (－１２)| ３２＋４２ ＝１．] 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　(１)把方程y＝３４x＋ １ ４ 化为３x－４y＋１＝０,由 点到直线的距离公式得d＝|３×３－４× (－２)＋１| ３２＋(－４)２ ＝１８５． (２)法一:把方程y＝６化为０􀅰x＋y－６＝０,由点到直线 的距离公式得d＝|０×３＋ (－２)－６| ０２＋１２ ＝８． 法二:因为直线y＝６平行于x轴,所以d＝|６－(－２)|＝８． (３)因为直线x＝４平行于y轴,所以d＝|４－３|＝１． 变式训练 １．解:(１)由点到直线的距离公式知d＝|２× (－１)＋２－１０| ２２＋１２ ＝１０ ５ ＝２ ５． (２)法一:直线方程化为一般式为x－２＝０．由点到直线的 距离公式d＝|－１＋０×２－２| １２＋０２ ＝３． 法二:∵直线x＝２与y轴平行, ∴由图知d＝|－１－２|＝３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８８􀅰 (３)法一:由点到直线的距离公式得d＝ |－１×０＋２－１| ０２＋１２ ＝１． 法二:∵直线y－１＝０与x轴平行, ∴由图知d＝|２－１|＝１． 题型二 [例２]　[解]　法一:由已知,可设所求的直线方程为２x－ y＋C＝０(C≠－１), 则它到直线２x－y－１＝０的距离d＝|C－ (－１)| ２２＋(－１)２ ＝|C＋１| ５ ＝２, ∴|C＋１|＝２ ５,C＝±２ ５－１, ∴所求直线的方程为２x－y＋２ ５－１＝０或２x－y－ ２ ５－１＝０． 法二:设所求直线上任意一点P(x,y), 则点P 到２x－y－１＝０的距离为d＝|２x－y－１| ２２＋(－１)２ ＝|２x－y－１| ５ ＝２,∴２x－y－１＝±２ ５, ∴所求直线的方程为２x－y＋２ ５－１＝０或２x－y－ ２ ５－１＝０． 变式训练 ２．C　[由题意,得２m－３×４＝０,∴m＝６． 故两直线２x＋３y＋１＝０与４x＋６y＋７＝０的距离d＝ １－７２ ２２＋３２ ＝５ １３２６ ． ] 随堂步步夯实 １．A　[直线x＋２＝０,即x＝－２为平行于y轴的直线,所 以点(５,－３)到x＝－２的距离d＝|５－(－２)|＝７．] ２．A　[直线x＋y＋２＝０与x 轴的交点是P(－２,０),点P 到直线x＋y－３＝０的距离d＝|－２＋０－３| １２＋１２ ＝５ ２２ ,即这 两条平行线间的距离为５ ２ ２ ． ] ３．A　[因为两条平行线３x－４y＋m＝０与３x－４y＋１＝０ 之间的距离是２, 所以 |m－１| ３２＋(－４)２ ＝２⇒|m－１|＝１０⇒m＝１１, 或m＝－９．] ４．解析:由已知得d＝|３×１＋４×１＋３| ３２＋４２ ＝２． 答案:２ ６．３　圆的方程 ６．３．１　圆的标准方程 课前预习学案 必备知识　知识点一 １．定点　定长　２．圆心　半径　３．(x－a)２＋(y－b)２＝r２ [思考] 提示:当a＝b＝０时,方程为x２＋y２＝r２,表示以原点O 为圆心、半径为r的圆． 知识点二 ＞　＝　＜ 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)×　(４)× ２．B　[圆(x－１)２＋(y＋２)２＝２的半径r＝ ２．] ３．B　[以原点为圆心,２为半径的圆,其标准方程为x２＋y２ ＝４．] 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　(１)∵圆心为(１,－１),半径长为３, 即a＝１,b＝－１,r＝３． ∴圆的标准方程为(x－１)２＋(y＋１)２＝９． (２)∵圆心是两直线的交点, 由 x＋y－１＝０ ２x－y＋３＝０{ ,得 x＝－２３ y＝５３ ì î í ï ï ïï ． ∴圆心为 －２３ ,５ ３( ), 又半径长为１ ４ , ∴圆的标准方程为 x＋２３( ) ２ ＋ y－５３( ) ２ ＝１１６． 变式训练 １．解:(１)圆心为(０,０),r＝３,方程为x２＋y２＝９． (２)方程为(x－３)２＋(y－４)２＝５． (３)r＝ (８－５)２＋(－３－１)２＝５, 方程为(x－８)２＋(y＋３)２＝２５． 题型二 [例２]　[解]　设圆心C(a,b),半径长为r,则由C 为线段 P１P２ 的中点得a＝ ３＋５ ２ ＝４ ,b＝８＋４２ ＝６ ,即圆心坐标为 C(４,６),又 由 两 点 间 的 距 离 公 式 得 r＝|CP１|＝ (４－３)２＋(６－８)２＝ ５, 故所求圆的标准方程为(x－４)２＋(y－６)２＝５． 分别计算点 M、N、P 到圆心C 的距离: |CM|＝ (４－５)２＋(６－３)２＝ １０＞ ５, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９８􀅰 参考答案 世数学草础候快（心 6.2.5 点到直线的距离 课程标准 素养解读 1.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于 通过点到直线的距离、两条平行线间距离公式 求平行线间的距离等问题： 的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的 2.理解点到直线的距离的运算过程 数学素养 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 C2).设P(xoy)是直线l2上的任意一点， 在公路附近有一家 则Ax十By十C2=0,即A6十By=-C2, 乡村饭馆，现在需要铺设 于是P(xy)到直线4：Ax十By+C=0 一条连接饭馆和公路的 的距离d=A,+B+C_1C-C 道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样 √A+B √A+B 此式就是两条平行直线L,与(2间的距离 铺路可以使这条连接道路的长度最短？ 公式. 纪思考2.在应用两条平行线间的距离公式 必备知识 时对直线方程有什么要求？ [知识点一]点到直线的距离公式 点P(xoy)到直线l:Ax十By+C=0的 距离d= 预习自测 2思考1.在使用点到直线的距离公式时对 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 直线方程有什么要求？ (1)点P(xo,y)到与x轴平行的直线y=b(b ≠0)的距离d=y。一b. () (2)点P(xoy)到与y轴平行的直线x=a(a ≠0)的距离d=|x。一a. [知识点二]两条平行直线间的距离 (3)两直线x十y=m与x+y=2n的距离为 (1)定义：夹在两条平行直线间公垂线段的长 m-2n 叫做这两条平行直线间的距离. √② (2)求法：转化为求 的距离，即在 2.原点到直线x十2y一5=0的距离为( 其中任意一条直线上任取一点，这点到另 A.1 B.3 C.2 D.5 一条直线的距离就是这两条平行直线间的 3.两条平行线l1:3x十4y一7=0和l2:3x+ 距离 4y-12=0的距离为 ( (3)公式：一般地，已知两条平行直线(1：Ax+ By+C=0,12:Ax+By+C2=0(C A.3 B.2 C.1 ·20· 第六章直线和圆的方程 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型 点到直线的距离 题型二 求两苹行直线的距离 例1 求点P(3,一2)到下列直线的距离： 例2求与直线2x一y一1=0平行，且与直线 1y=是+7(2y=6:3)r=4 2x一y一1=0的距离为2的直线的方程. 汇思路点拨]设直线L的方程或直线上 汇思路点拨]解答本题可先把直线方程化为 一般式（特殊直线可以不化），然后再利用点到 任一点的坐标，利用距离公式列方程求解. 直线的距离公式及特殊形式求出相应的距离. [听课记录] [听课记录] 通法通性 通法通性 1.求点到直线的距离，首先要把直线方程 1.求两平行直线间距离的两种思路： 化为一般式方程，然后再套用点到直线 (1)转化为求其中一条直线上任意一点到 的距离公式 另一条直线的距离。 2.当点与直线有特殊位置关系时，也可以 (2)利用两条平行直线间距离公式d 用公式求解，但是这样会把问题变复杂 IC-C 了，要注意数形结合 VA+B 3.几种特殊情况的点到直线的距离： 2.当两直线都与x轴（或y轴）垂直时，可 (1)点P。(xo,yo)到直线x=a的距离d 利用数形结合来解决， =lxo-al; (1)两直线都与x轴垂直时，1：x=x1, (2)点P,(xy%)到直线y=b的距离d= l2:x=x2,则d=x2-x; 1y。-b. (2)两直线都与y轴垂直时，l1:y=y1 ◇[变式训练] l2:y=y2,则d=y一y 1.求点P,(一1,2)到下列直线的距离： ⊙[变式训练] (1)2.x+y-10=0;(2)x=2; (3)y-1=0. 2.直线2x+3y+1=0与4x+my+7=0平 行，则它们之间的距离为 ( A.4 B.213 13 C. 710 D.20 ·21· 世数学草础候快（心 > 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.点(5，一3)到直线x十2=0的距离等于( 3.若两条平行线3.x一4y十m=0与3x一4y十 A.7 B.5 1=0之间的距离是2，则m的值为() C.3 D.2 A.-9或11 B.-8或10 2.两平行直线x十y+2=0与x十y一3=0的 C.-7或12 D.-8或11 距离等于 4.点P(1,1)到直线3x+4y+3=0的距离是 A B号 C温蓉提 C.52 D.2 学习至此，请完成配套训练课时作业9 6.3 圆的方程 6.3.1 圆的标准方程 课程标准 素养解读 1.了解圆的定义； 通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、 2.掌握圆的标准方程 逻辑推理、数学抽象的数学素养 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 2.确定圆的基本要素是 《古朗月行》 和 Mx,y） [唐]李白 如图所示 小时不识月，呼作白玉盘。 3.圆的标准方程：圆心 又疑瑶台镜，飞在青云端。 为C(a,b),半径长为r的圆的标准方程是 月亮，是中国人心目中的 宇宙精灵，古代人们在生活中 ?思考 当a=b=0时，圆的标准方程是 崇拜、敬畏月亮，在文学作品中 什么？ 也大量描写、如果把天空看作一个平面，月亮 当做一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么 圆的坐标方程如何表示？ 必备知识 [知识点一]圆的标准方程 [知识点二]点与圆的位置关系 1.圆的定义：圆是平面内到一 的距离 圆C:(x-a)2+(y-b)=r(r>0),其圆心 等于 的点的轨迹，定点是圆心，定 为(a,b),半径为r,点P(x%),设d=|PC= 长是圆的半径 √/(xo-a)2+(y-b)2. ·22·