6.2.4 第2课时 直线与直线垂直-2024-2025学年中职高一数学同步（人教版2021·基础模块下册）

６．２．４　直线与直线的位置关系 第１课时　直线与直线平行或相交 课前预习学案 必备知识　知识点一 相交　平行　重合 [思考] 提示:不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜 率才相等． 知识点二 (２)交点个数　有唯一　无　有无数组 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)√　(４)× ２．B　[∵直线l１∥l２,且l１、l２ 的斜率存在,∴k１＝k２＝３．] ３．B　[解方程组 ２x－y－１＝０ x＋３y－１１＝０{ ,得 x＝２ y＝３{ ．故交点坐标为 (２,３)．] 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　(１)解方程组 ２x＋y＋３＝０ x－２y－１＝０{ ,得 x＝－１ y＝－１{ , 所以直线l１ 与l２ 相交,交点坐标为(－１,－１)． (２)解方程组 x＋y＋２＝０　① ２x＋２y＋３＝０　②{ ,①×２－②得１＝０,矛 盾,方程组无解． 所以直线l１ 与l２ 无公共点,即l１∥l２． (３)解方程组 x－y＋１＝０　① ２x－２y＋２＝０　②{ ,①×２得２x－２y＋２＝０, 因此,①和②可以化为同一个方程,即①和②表示同一条 直线．所以两直线重合． 变式训练 １．(１)C　[由l１:y＝－ １ ２x－ １ ２ ,l２:y＝－ １ ２x－ １ ４ 知,这两 条直线的斜率相等截距不等,即l１,l２ 平行．] (２)C　[联立方程组 ３x＋４y－５＝０ ３x＋５y－６＝０{ , 解得 x＝１３ y＝１ { ,故交点坐标为 １３,１( )．] 题型二 [例２]　[解]　法一:已知直线l:３x＋４y－２０＝０的斜率 k＝－３４． 过点A(２,２)与直线l平行的直线方程为y－２＝ －３４ (x－２)．即３x＋４y－１４＝０． 法二:设所求直线方程为３x＋４y＋c＝０, 由(２,２)点在直线上, ∴３×２＋４×２＋c＝０,∴c＝－１４． ∴所求直线方程为３x＋４y－１４＝０． [例３]　[解]　由２×３－m(m＋１)＝０, 得m＝－３或m＝２． 当m＝－３时,l１:x－y＋２＝０,l２:３x－３y＋２＝０, 显然l１ 与l２ 不重合,∴l１∥l２． 当m＝２时,l１:２x＋３y＋４＝０,l２:２x＋３y－２＝０,显然l１ 与l２ 不重合,∴l１∥l２, 故实数m 的值为２或－３． 变式训练 ２．(１)A　[所求直线与直线x－２y－２＝０平行,故所求直线 的斜率k＝１２ ,又直线过点(１,０),利用点斜式得所求直线 方程y－０＝１２ (x－１),即x－２y－１＝０．] (２)B　[由题意,得a＝２－a,∴a＝１．] 随堂步步夯实 １．B　[由 ３x＋２y＋６＝０ ２x＋５y－７＝０{ ,得 x＝－４ y＝３{ ,所以交点为(－４,３)．] ２．B　[需考虑两条直线重合的特殊情况,②④都可能是两 条直线重合,①③正确．] ３．A　[直线方程２x－y＝７化为y＝２x－７,直线斜率为２, 纵截距为－７, 直线方程２x－y－１＝０化为y＝２x－１,直线斜率为２,纵 截距为－１, 两直线斜率相等,纵截距不相等,两直线平行．] ４．解析:∵直线x＝－３的斜率不存在, ∴与直线x＝－３平行的直线的斜率也不存在, ∴过点(２,１)与直线x＝－３平行的直线方程为x＝２． 答案:x＝２ 第２课时　直线与直线垂直 课前预习学案 必备知识　知识点一 －１　互相垂直　l１⊥l２⇔k１k２＝－１ [思考] 提示:不一定．若两条直线的斜率都存在,它们垂直时斜 率之积是－１,若两条直线垂直时,还可能它们的斜率一 个是０,另一个不存在． 预习自测 １．(１)×　(２)√ ２．B　[∵k１􀅰k２＝２× － １ ２( )＝－１,∴l１⊥l２．] ３．C　[由于直线y＝１２x－１ 的斜率为１ ２ ,故所求直线的斜 率等于－２,故所求直线的方程为y－０＝－２(x－１),即y ＝－２x＋２．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７８􀅰 参考答案 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　(１)因为２×１２≠－１ ,所以l１ 与l２ 不垂直． (２)因为(－３)×１３＝－１ ,所以l１⊥l２． (３)因为直线l１ 的倾斜角是０,直线l２ 的倾斜角是 π ２ ,所 以l１⊥l２． 变式训练 １．B　[直线 AB、CD、BD、AC 的斜率都存在,因为kAB ＝ －４－２ ６－(－４)＝－ ３ ５ ,kCD＝ １２－６ ２－１２＝－ ３ ５ ,kAC＝ ６－２ １２－(－４)＝ １ ４ ,kBD＝ １２－(－４) ２－６ ＝－４ ,所以kAB＝kCD,kACkBD ＝－１, 即AB∥CD,AC⊥BD．] 题型二 [例２]　[解]　法一:已知直线l:３x＋４y－２０＝０的斜率k ＝－３４． 过A 与l垂直的直线的斜率k１＝－ １ k＝ ４ ３ ,方程 为y－２＝４３ (x－２)．故４x－３y－２＝０即为所求． 法二:设所求直线方程为４x－３y＋λ＝０, 由(２,２)点在直线上,∴４×２－３×２＋λ＝０, ∴λ＝－２．∴所求直线方程为４x－３y－２＝０． 变式训练 ２．A　[由直线l与直线２x－３y＋４＝０垂直,可知直线l的 斜率是 － ３２ ,由 点 斜 式 可 得 直 线l的 方 程 为y－２＝ －３２ (x＋１),即３x＋２y－１＝０．] 随堂步步夯实 １．B　[∵k１􀅰k２＝１×(－１)＝－１,∴l１⊥l２．] ２．B　[因为直线l１ 的倾斜角是 π ２ ,直线l２ 的倾斜角是０,所 以l１⊥l２．] ３．A　[因为直线l与直线y＝x＋１垂直,所以设直线l的 方程为y＝－x＋b,又l在y 轴上截距为 ２,所以所求直 线l的方程为y＝－x＋ ２,即x＋y－ ２＝０．] ４．解析:因为直线y＝３x－５的斜率为３,且所求直线与该直 线垂直,所以所求直线斜率为－１３． 又直线过点(０,－２),由直线方程的斜截式,得 y＝－１３x－２ ,即x＋３y＋６＝０． 答案:x＋３y＋６＝０ ６．２．５　点到直线的距离 课前预习学案 情境引入 提示:铺设一条从饭馆到公路的垂直道路,道路的长度 最短． 必备知识　知识点一 |Ax０＋By０＋C| A２＋B２ [思考] １．提示:要求直线的方程应化为一般式． 知识点二 (２)点到直线 [思考] ２．提示:两条平行直线的方程都是一般式,且x,y对应的系 数应分别相等． 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)√ ２．D　[利用点到直线的距离公式,可得原点到直线x＋２y －５＝０的距离d＝|０＋０－５| １２＋２２ ＝ ５．] ３．C　[d＝|－７－ (－１２)| ３２＋４２ ＝１．] 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　(１)把方程y＝３４x＋ １ ４ 化为３x－４y＋１＝０,由 点到直线的距离公式得d＝|３×３－４× (－２)＋１| ３２＋(－４)２ ＝１８５． (２)法一:把方程y＝６化为０􀅰x＋y－６＝０,由点到直线 的距离公式得d＝|０×３＋ (－２)－６| ０２＋１２ ＝８． 法二:因为直线y＝６平行于x轴,所以d＝|６－(－２)|＝８． (３)因为直线x＝４平行于y轴,所以d＝|４－３|＝１． 变式训练 １．解:(１)由点到直线的距离公式知d＝|２× (－１)＋２－１０| ２２＋１２ ＝１０ ５ ＝２ ５． (２)法一:直线方程化为一般式为x－２＝０．由点到直线的 距离公式d＝|－１＋０×２－２| １２＋０２ ＝３． 法二:∵直线x＝２与y轴平行, ∴由图知d＝|－１－２|＝３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８８􀅰 世数学草础候快（心 第2课时 直线与直线垂直 课程标准 素养解读 1.理解两条直线垂直的条件： 通过对两条直线垂直的学习，提升直观想象和 2.掌握两条直线垂直的判定方法 数学抽象的数学素养 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 (2)可利用如下待定系数法：与直线Ax十By 在一条笔直的公路同侧有 +C=0垂直的直线方程可设为Bx十Ay 两个大型小区，现在计划在公路 +C,=0,再由直线所过的点确定C 上某处建一个公交站点C,以方 预习自测 便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） 点到两个小区的距离之和最小？ (1)若两条直线中有一条直线的斜率不存在， 必备知识 另一条直线的斜率存在，则这两条直线 [知识点一]两条直线垂直 垂直 若已知平面直角坐标系中的直线l1:y=kx (2)已知直线1，，的斜率分别为k,k2,若k 十b1,l2:y=k2x十b2都有斜率，且它们互相 垂直，那么它们的斜率之积等于 =3,k2=- 3则4与6垂直. ( 如果它们的斜率之积等于一1，那么它们 2.已知直线L1的斜率k,=2,直线l2的斜率k 即 日思考 2,则4与4 如果两条直线垂直，则它们的斜率 的积一定等于一1吗？ A.平行 B.垂直 C.重合 D.非以上情况 3.过点(1,0)且与直线y= 1 x一1垂直的直线 [知识点二]过一点与已知直线垂直的直线方程 方程是 ( (1)由已知直线求出斜率，再利用垂直的直线 1 1 A.y=2- 2 斜率之间的关系确定所求直线的斜率，求 1 点斜式写方程. C.y=-2x+2 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型 两系直线垂直关系的判断 (2)1:y=-3x+2,2:y2= 3x-1: 例1 判断下列各对直线是否垂直： (3)l1:y=2,l2:y=1. 1D4:y=2-1.y=2x+1: [思路点拨]先确定斜率，再根据两直线垂 直的条件进行判断. 18· 第六章直线和圆的方程 [听课记录] [思路点拔]先根据垂直确定斜率，再由点 斜式写出方程：也可利用直线系 [听课记录] 通法通性 两条直线垂直的判定条件 (1)如果两条直线的斜率都存在且它们的 通法通性 积为一1，则这两条直线一定垂直： 过一点与已知直线垂直的直线方程的求法 (2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存 (1)由已知直线求出斜率，再利用垂直的直 在，同时另一条直线的斜率为0，那么 线斜率之间的关系确定所求直线的斜 这两条直线也垂直 率，由点斜式写方程； ◇[变式训练] (2)可利用如下待定系数法：与直线Ax十 1.已知四点A(-4,2)、B(6,-4)、C(12,6)、 By十C=0垂直的直线方程可设为Bx D(2,12),则下面四个结论：①AB∥CD: 一Ay十C2=0,再由直线所过的点确 ②AB⊥CD;③AC∥BD;④AC⊥BD,其中 定C2: 正确的结论为 ( ⊙[变式训练] A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 2.直线1过点（一1,2）且与直线2x-3y十4=0垂 题里二 垂直的应用 直，则直线（的方程是 ( 例2求过点A(2,2)且与直线3x+4y一20=0 A.3.x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 垂直的直线方程 C.2x-3y+5=0 D.2.x-3y+8=0 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.已知直线L1的斜率k,=1,直线l2的斜率k2 3.直线l垂直于直线y=x十1，且I在y轴上 =-1,则1与2 的截距为√2，则直线（的方程是 ( A.平行 B.垂直 A.x十y-2=0 B.x+y+1=0 C.重合 D.非以上情况 C.x+y-1=0 D.x+y+√2=0 2.直线l1:x=1与直线l2:x=一1的位置关 4.经过点(0，一2)，且与直线y=3x-5垂直的 系是 直线方程为 A.平行 B.垂直 ©温蓉提 C.重合 D.非以上情况 学习至此，请完成配套训练课时作业8 ·19