6.2.3 第1课时 直线的点式方程和斜截式方程-2024-2025学年中职高一数学同步（人教版2021·基础模块下册）

世数学草础候快（心 6.2.3直线方程的几种形式 第1课时 直线的点斜式方程和斜截式方程 课程标准 素养解读 通过对直线的点斜式和斜截式方 1.掌握直线的点斜式方程，会求直线的点斜式方程： 程的学习，培养数学抽象、逻辑推 2.掌握直线的斜截式方程，会求直线的斜截式方程 理、数学运算的数学素养 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 必备知识 笛卡尔出生于法国，毕业于普瓦捷大学， [知识点一]直线的点斜式方程 法国著名哲学家、物理学家、数学家，被黑格尔 (1)定义：如图所示，直线1上 称为“近代哲学之父” 不同于P。的任意一点 P(x,y) P(x,y),则由直线I的斜 率为k可知k=)二出，整 x-To 理得 此式叫做直线的 点斜式方程. 笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成 (2)拓展： 代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、 当斜率k=0时，直线（的方程为 证明，从而达到最终解决几何问题的目的.依 此时直线（平行于x轴（或与x轴重合）， 照这种思想他创立了“解析几何学” 如图1所示 当斜率不存在时，直线！的方程为 此时直线！平行于y轴（或与y轴重合）， 2-5y2=12 如图2所示. 我们知道给定一点和一 个方向可以唯一确定一条直 0 图1 图2 线，这样，在平面直角坐标系可 ?思考1.直线的点斜式方程能否表示坐标 中给定一个点P。(x。,y)和斜率就能唯一 平面上的所有直线呢？ 确定一条直线，也就是说这条直线上任意一 点坐标(x,y)与点P。的坐标(x。,y)和斜 率k之间的关系是完全确定的，那么这一关 系如何表示呢？ ·10 第六章直线和圆的方程 [知识点二]直线的斜截式方程 预习自测 (1)定义：如图所示，直线的斜 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 率为k,截距为b,则直线的 (1)y轴所在直线方程为y=0. ( 方程为y一b=k(x一0)，即 (2)直线y-3=k(x+1)恒过定点(-1,3). .此式称为直线的斜截式方程， ( (2)拓展：一般地，把直线与y轴交点(0，b)的 (3)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到 纵坐标b称为直线在y轴上的 原点的距离 () 与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为直线 (4)直线y=kx一b在y轴上的截距为b.() 在x轴上的 ,倾斜角是 2.过点P(一5,7)，倾斜角为135°的直线方 的直线没有斜截式方程， 程为 () 2思考2.截距是距离吗？为什么？ A.x-y+12=0 B.x+y-2=0 C.x+y-12=0 D.x-y+2=0 3.倾斜角为135°，在y轴上的截距为一1的直 线方程是 ( A.y=x+1 B.y=z-1 C.y=-x+1 D.y=-x-1 》 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型一 直线的点斜式方程 例1求满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)过点P(一4,3)，斜率k=-3; (2)过点P(3,一4)，且与x轴平行； (3)过P(-2,3)、Q(5,-4)两点. [思路点拔]先确定直线的斜率k,再根据 点斜式方程写出直线的方程. [听课记录] 通法通性 求直线的点斜式方程的步骤：定点(x,y) →定斜率k→写出方程y一y。=k(x一x). 点斜式方程y-。=k(x一xo)可表示过点 P(xoy)的所有直线，但x=xo除外 11 世数学草础候快(R心 ⊙[变式训练] [听课记录] 1.你能写出下列直线的点斜式方程吗？没有 点斜式方程的直线和斜率为0的直线如何 表示？ (1)经过点A(一2,5)，斜率是3： (2)经过点B(2,一3)，倾斜角是135°： (3)经过点C(一1，一1)，与x轴平行： (4)经过点D(1,1),与x轴垂直. 通法通性 斜截式方程的求法 已知直线的斜率与y轴上的截距，可直接 写出直线的方程；已知直线的斜截式方程， 可得直线的斜率与y轴上的截距；直线的 斜截式方程形式简单，特点明显，是运用较多 题型二 直线的斜截式方程 的直线方程的形式之一： 例2写出下列直线的斜截式方程： ⊙[变式训练] (1)斜率是3，在y轴上的截距是一3； 2.写出满足下列条件的直线的方程. (2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5： (1)斜率为5，在y轴上截距为一1， (3)倾斜角是150°，在y轴上的截距是0. [思路点拨]确定直线的斜率及在y轴上 (2)倾斜角30°，在y轴上截距为√3， 的截距，用斜截式写出直线方程。 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.过点P(一2,0)，斜率为3的直线的方程是 3.直线1的点斜式方程是y一2=3(x+1),则 ( 直线1的斜率是 ( A.y=3.x-2 B.y=3.x+2 A.2 B.-1 C.y=3(x-2) D.y=3(x+2) C.3 D.-3 2.直线2.x+y十3=0在y轴上的截距是 4.直线y=一2x十3的斜率是 ,在y ( 轴上的截距是 ,在x轴上的截距 是 .2 B.一2 C温馨提污 C.3 D.-3 学习至此，请完成配套训练 课时作业5 ·12·变式训练 １．D　[解答本题可先借助直观图形,再利用倾斜角的定义 求解．如图,当l向上方向的部分在y 轴左侧时,倾斜角为 ９０°＋α;当l 向 上 方 向 的 部 分 在y 轴 右 侧 时,倾 斜 角 为９０°－α．] 题型二 [例２]　[解]　由斜率公式得kAB＝ １－１ １－(－１)＝０． kBC＝ ３＋１－１ ２－１ ＝ ３． kAC＝ ３＋１－１ ２－(－１)＝ ３ ３． 倾斜角的取值范围是０°≤α＜１８０°． 又∵tan０°＝０,∴直线AB 的倾斜角为０°． ∵tan６０°＝ ３,∴直线BC的倾斜角为６０°． 又∵tan３０°＝ ３３ ,∴直线AC的倾斜角为３０°． 变式训练 ２．解:(１)直线的斜率k＝ ３－０－２＋３＝ ３＝tan６０° ,此直线的斜 率为 ３,倾斜角为６０°． (２)直线的斜率k＝ ９－４－２－３＝－１ ,此直线的斜率为－１,倾 斜角为１３５°． (３)因为两点横坐标都为３,故直线斜率不存在,倾斜角 为９０°． 随堂步步夯实 １．C　[①③中直线的倾斜角为α．] ２．A　[由题意知k＝－３－５－１－３＝２． ] ３．D　[由tanα＝－ ３３ ,可得倾斜角α＝１５０°．] ４．解析:l平 行 于y 轴,即 直 线l垂 直 于x 轴,故 倾 斜 角 为９０°． 答案:９０° ６．２．３　直线方程的几种形式 第１课时　直线的点斜式方程和斜截式方程 课前预习学案 必备知识　知识点一 (１)y－y０＝k(x－x０)　(２)y＝y０　x＝x０ [思考] １．提示:不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程,凡是垂 直于x轴的直线,其方程都不能用点斜式表示． 知识点二 (１)y＝kx＋b　(２)截距　截距　９０° [思考] ２．提示:截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标 或纵坐标,可以为正数、负数和０．当直线过原点时,它的 横截距和纵截距都为０． 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)×　(４)× ２．B　[依题意,直线的斜率k＝tan１３５°＝－１, 所以直线方程为y－７＝－１×(x＋５),即x＋y－２＝０．] ３．D　[由题意知,直线的斜率k＝－１,又在y轴上截距为－１, 故直线方程为y＝－x－１．] 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　(１)∵直线过点P(－４,３),斜率k＝－３, 由直 线 方 程 的 点 斜 式 得 直 线 的 点 斜 式 方 程 为 y－３ ＝－３(x＋４)． (２)与x轴平行的直线,其斜率k＝０,由直线方程的点斜 式可得直线的点斜式方程为y－(－４)＝０×(x－３)． (３)过 点 P(－２,３)、Q(５,－４)的 直 线 的 斜 率kPQ ＝ －４－３ ５－(－２)＝ －７ ７ ＝－１． 又∵直线过点P(－２,３), ∴直线的点斜式方程为y－３＝－(x＋２)． 变式训练 １．解:(１)y－５＝３(x＋２)． (２)k＝tan１３５°＝－１,∴y＋３＝－(x－２)． (３)y＝－１． (４)x＝１． 题型二 [例２]　[解]　(１)y＝３x－３． (２)∵k＝tan６０°＝ ３,∴y＝ ３x＋５． (３)∵k＝tan１５０°＝－ ３３ ,∴y＝－ ３３x． 变式训练 ２．解析:(１)方程为y＝５x－１,即５x－y－１＝０． (２)方程为y＝xtan３０°＋ ３,即x－ ３y＋３＝０． 答案:(１)５x－y－１＝０　(２)x－ ３y＋３＝０ 随堂步步夯实 １．D　[由点斜式方程可知,直线的方程为y－０＝３(x＋２), 即y＝３(x＋２)．] ２．D　[直线２x＋y＋３＝０整理为y＝－２x－３．∴直线在y 轴上的截距是－３．] ３．C　[由直线的点斜式的定义可知,直线的斜率k＝３．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５８􀅰 参考答案 ４．解析:斜率是－２;在y 轴上的截距是３;令y＝０,得x＝ ３ ２ ,即在x轴上的截距是３２． 答案:－２　３　３２ 第２课时　直线的一般式方程 课前预习学案 情境引入 提示:(１)y－８＝x－１;(２)y＝x＋７．如果我们画出这２条 直线的图象,你会惊奇地发现:这２条直线是重合的．事实 上,它们的方程都可以化简为x－y＋７＝０．这样前几种直线 方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的直线的 一般式方程． 必备知识　知识点一 Ax＋By＋C＝０　一般式方程 [思考] １．提示:都可以,原因如下: (１)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b,可转化为 kx＋(－１)y＋b＝０,这是关于x,y的二元一次方程． (２)若直线的斜率k不存在,方程可表示成x－a＝０,它可 以认为是关于x,y的二元一次方程,此时方程中y的系 数为０． 知识点二 y－y０＝k(x－x０)　y＝kx＋b　Ax＋By＋C＝０(A２＋B２≠０) [思考] ２．提示:(１)若A＝０,则y＝－CB ,表示与y 轴垂直的一条 直线． (２)若B＝０,则x＝－CA ,表示与x轴垂直的一条直线． (３)若C＝０,则Ax＋By＝０,表示过原点的一条直线． 预习自测 １．(１)√　(２)√　(３)×　(４)× ２．C　[直线斜率k＝－ ３３ ,所以倾斜角为１５０°．] ３．解析:由直线点斜式方程可得y－３＝２(x－１),化成一般 式为２x－y＋１＝０． 答案:２x－y＋１＝０ 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　(１)由点斜式方程可知,所求直线方程为y －３＝ ３(x－５),化为一般式方程为 ３x－y＋３－５ ３ ＝０． (２)由斜截式方程可知,所求直线方程为y＝４x－２,化为 一般式方程为４x－y－２＝０． (３)由斜率公式得k＝ ５＋１－１－２＝－２ ,由点斜式方程可知, 所求直线方程为y－５＝－２(x＋１), 化为一般式方程为２x＋y－３＝０． 变式训练 １．解:(１)由点斜式方程,得y－(－２)＝－１２ (x－８), 即x＋２y－４＝０． (２)由点斜式方程,得y－２＝０． (３)由斜率公式得k＝０＋３３ ２－０ ＝２,由斜截式方程可知,所求 直线方程为y＝２x－３, 化为一般式方程为２x－y－３＝０． 题型二 [例２]　[解]　(１)由题意知m２－２m－３≠０,即 m≠３且 m≠－１,令y＝０,得x＝ ２m－６m２－２m－３ , ∴ ２m－６ m２－２m－３ ＝－３,得m＝－５３ 或m＝３(舍去)． ∴m＝－５３． (２)由题意知,２m２＋m－１≠０, 即m≠１２ 且m≠－１． 由直线l化为斜截式方程得 y＝m ２－２m－３ ２m２＋m－１ x＋ ６－２m ２m２＋m－１ , 则m ２－２m－３ ２m２＋m－１ ＝１, 解得m＝－２或m＝－１(舍去)． ∴m＝－２． 变式训练 ２．解析:(１)若方程不能表示直线,则 m２＋５m＋６＝０且 m２＋３m＝０． 解方程组 m２＋５m＋６＝０, m２＋３m＝０,{ 得m＝－３,所以m≠－３时,方程 表示一条直线． 答案:m≠－３ (２)６ 随堂步步夯实 １．D　[A、B 不能同时为０,则A２＋B２≠０．] ２．B　[由点斜式可得y－０＝x－３,化为一般式为x－y－３ ＝０．] ３．B　[由x－y＋２＝０,得y＝x＋２． 其斜率为１,倾斜角为４５°．] ４．解析:由于直线过点(１,１),且斜率不存在, 所以直线的方程为x＝１,化为一般式为x－１＝０． 答案:x－１＝０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６８􀅰