6.2.2 直线的倾斜角和斜率-2024-2025学年中职高一数学同步（人教版2021·基础模块下册）

第六章 直线和圆的方程 6.2.2 直线的倾斜角和斜率 课程标准 素养解读 1. 理解直线的倾斜角与斜率的 1.通过倾斜角概念的学习,提升直观想象的数学素养; 概念: 2.通过斜率的学习,培养逻辑推理和数学运算的数学 2.掌握直线斜率的计算方法 素养 课前·预习学案 落实双 盘点新知 情境引A 续表 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道 用倾斜角表示平面直角坐标系内 (1) 路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车 一条直线相对于x轴的 沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向 确定平面直角坐标系中一条直 作用 前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为 线位置的几何要素是:直线上的 (2) 一个定点以及它的 DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡 ,二者 上升高度DB 缺一不可 度一 水平距离AD .>0表示上坡,0 ②思考1.如图中标的倾斜角a对不对? 表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设 , 时常要规划坡度的大小,那么“坡度”是如何来 刻画道路的倾斜程度的呢? 水平距离 D [知识点二]斜率(倾斜角为。) 必备知识 [知识点一] 倾斜角 一条直线的倾斜角a的 a-90 定义 叫做这条直线的斜率 在平面直角坐标系中,直线向 的 -90。 斜率不存在 方向与x轴正方向所成的最小正角。 记法 称为这条直线的倾斜角 定义 斜率-tana 当直线与v垂直时,规定这条直 范围 规定 线的倾斜角为 一般地,若x子x,则过点P(x. 公式 y),P(x,y)的直线的斜率为一 图示 _45 150 用实数反映了平面直角坐标系内的直 作用 0<a<180。 范围 线相对于:轴的倾斜程度 .7. 数学耳础模块(R下) ?思考2.所有直线都有斜率吗?若直线没 (3)若一条直线的倾斜角为a,则它的斜率为 b-tand. ) 有斜率,那么这条直线的倾斜角为多少 (4)直线斜率的取值范围是(一oo,十o).( △ ( 2.如图所示,直线/的倾斜角为 ) ### 颜习白测 A.45* B. 135{ C.0* 1.判断正误(正确的打“/”,错误的打“×”) D.不存在 (1)任一直线都有倾斜角,都存在斜率, ~_ 3.已知点A(1,-2),B(5,-2),则直线AB的 ~ (2)倾斜角为135{*的直线的斜率为1.( 斜率为 ##去题犁 通法悟道 课堂·互动学案 题型一) 直线的倾斜角 通法通性 例1 给出下列命题: 有关直线倾斜角的辨析题关键是理解倾斜 ①任何一条直线都有唯一的倾斜角 角的概念: ②一条直线的倾斜角可以为一30*; (1)定义:当直线/与x轴相交时,直线/ ③倾斜角为0{}的直线只有一条,即x轴 向上的方向与x轴正向所成的最小正 ④按照倾斜角的概念,直线倾斜角的集合 角称为直线/的倾斜角, g0{}180{}与直线构成的集合建立了 (2)两点注意:①当直线与x轴平行或重合 一一对应关系, 时,倾斜角为0{},当直线与x轴垂直时, ( 其中正确命题的个数为 ) 倾斜角为90*, A.1 B.2 ②注意直线倾斜角的取值范围是0{< C.3 D.4 a<180”. [思路点拨] 根据倾斜角的概念依次判断 [变式训练] 过即可。 1.一条直线/与x轴相交,其向上方向与v轴 [听课记录] 正方向所成的角为a(0{}<a 90}),则其 斜角为 ( ) A. B.180{}-a C.180{*-a或90{*- D.90{*十a或90*-a .8. 第六章 直线和圆的方程 已知两点坐标求倾斜角和斜率 题型二 通法通性 例2 已知坐标平面内三点A(一1,1) (1)对求斜率的两个公式注意其应用的条 B(1.1).C(2./③+1).求直线AB,BC,AC 件,必要时应分类讨论; 的斜率和倾斜角。 (2)当直线绕定点由与工轴平行(或重合)位 置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重 [思路点拨] 2-1 合)时,斜率由0逐渐增大到十;按顺时 求解。 针方向时,斜率由0逐渐减小到一. [听课记录] 这种方法即可定性分析倾斜角与斜率 的关系,也可以定量求解斜率和倾斜角 的取值范围. [变式训练] 2.求经过下列两点直线的斜率,并根据斜率指 出其倾斜角. (1)(-3,0),(-2,/3);(2)(3,4),(-2,9); (3)(3,0),(3./③). 随堂·步步夯实 1.如图①②③④,a能表示直线/的倾斜角大 2.已知P(3,5),P(-1,-3),则直线P.P ) 小的是 ( 的斜率一 ( ) A.2 B.1 C. D.不存在 3.若直线经过原点和点A(一3.3),则直线的 ② 倾斜角为 . ) B.60* C.120* A.30* D.150* 4.若直线/平行于v轴,则/的倾斜角为 ③ ④ c温攀提示 A.① B.①② D.②④ C.①③ 学习至此,请完成配套训练 课时作业4 .9.[例３]　[解析]　设 M(x,y),由题意得 １＝－２＋x２ , ０＝５＋y２ , ì î í ï ï ïï 解得 x＝４, y＝－５,{ 即 M(４,－５)． 则点 M 到原点的距离为 (４－０)２＋(－５－０)２＝ ４１． [答案]　B 变式训练 ２．A　[线段AB 的中点为M, 设A(a,０),B(０,b)⇒M a２ ,b ２( ),所以 a ２＝３ ,b ２＝４⇒a ＝６,b＝８,所 以 A(６,０),B(０,８)⇒|AB|＝ ６２＋８２ ＝１０．] 随堂步步夯实 １．D　[由两点间的距离公式,可得|AB| ＝ (a－２)２＋(４＋１)２＝ ４１,解得a＝－２或a＝６．] ２．A　[因点A(１,５),点B(－１,２),于是得线段AB 中点坐 标为 ０,７２( ),所以AB 的中点M 的坐标为 ０, ７ ２( )．] ３．B　[设 AC 的中点为D,因为 A(２,１),C(０,－１),所以 D(１,０),所以AC边上的中线长BD ＝ (－２－１)２＋(３－０)２＝３ ２．] ４．５　 －１２ ,－１( ) ６．２　直线的方程 ６．２．１　直线与方程 课前预习学案 情境引入 提示:代数方程可以用几何图形表示,几何图形也可以用 代数方程来表示． 必备知识　知识点 坐标　坐标 预习自测 １．B　[根据直线的方程定义可知,过点A(２,１)且垂直与x 轴直线为x＝２．] ２．D　[根据直线的方程定义可知,过点A(－３,２)且平行于 x轴直线为y＝２．] ３．A　[将选项中各点坐标依次带入直线的方程即可．] 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　(１)如图所示,显然直线 m 上点的横坐标都是－２,而且,横坐 标是－２的点都在直线 m 上,所以直 线m 的方程是x＝－２． (２)因为x 轴上点的纵坐标都是０,而 且,纵坐标是０的点显然都在x 轴上, 所以x轴所在直线的方程是y＝０． 变式训练 １．D　[根据直线的方程定义可知,过点A －３,１２( ) 且平行 于x轴直线为y＝１２． ] 题型二 [例２]　[解]　由题意可知,点(１,a)既在直线x－y－２＝０ 上,又在直线２x－y＋b＝０上,所以有 １－a－２＝０, ２－a＋b＝０,{ 解得 a＝－１, b＝－３．{ 变式训练 ２．C　[将选项中各点坐标依次带入直线的方程即可．] 随堂步步夯实 １．A　[根据直线的方程定义可知,过点(－２,３)且平行于y 轴的直线为x＝－２．] ２．B　[将选项中各点坐标依次带入直线的方程即可知选项 B符合题意．] ３．B　[根据直线的方程定义可知,m＝２．] ４．解析:根据直线的方程定义可知,过点(８,－２)且垂直于x 轴的直线为x＝８． 答案:x＝８ ６．２．２　直线的倾斜角和斜率 课前预习学案 必备知识　知识点一 上　０°　倾斜程度　倾斜角 [思考] １．提示:都不对． 知识点二 正切值　R　y２ －y１ x２－x１ [思考] ２．提示:不是．若直线没有斜率,则其倾斜角为９０°． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)×　(４)√ ２．B　[由倾斜角的定义知直线l的倾斜角为１３５°．] ３．解析:直 线 的 斜 率k＝－２＋２５－１ ＝０ ,所 以 此 直 线 的 斜 率 为０． 答案:０ 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解析]　由倾斜角α∈[０°,１８０°)知②错;又平行于 x轴的直线的倾斜角是０°,这样的直线有无数条,故③④ 错;只有①是正确的． [答案]　A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４８􀅰 变式训练 １．D　[解答本题可先借助直观图形,再利用倾斜角的定义 求解．如图,当l向上方向的部分在y 轴左侧时,倾斜角为 ９０°＋α;当l 向 上 方 向 的 部 分 在y 轴 右 侧 时,倾 斜 角 为９０°－α．] 题型二 [例２]　[解]　由斜率公式得kAB＝ １－１ １－(－１)＝０． kBC＝ ３＋１－１ ２－１ ＝ ３． kAC＝ ３＋１－１ ２－(－１)＝ ３ ３． 倾斜角的取值范围是０°≤α＜１８０°． 又∵tan０°＝０,∴直线AB 的倾斜角为０°． ∵tan６０°＝ ３,∴直线BC的倾斜角为６０°． 又∵tan３０°＝ ３３ ,∴直线AC的倾斜角为３０°． 变式训练 ２．解:(１)直线的斜率k＝ ３－０－２＋３＝ ３＝tan６０° ,此直线的斜 率为 ３,倾斜角为６０°． (２)直线的斜率k＝ ９－４－２－３＝－１ ,此直线的斜率为－１,倾 斜角为１３５°． (３)因为两点横坐标都为３,故直线斜率不存在,倾斜角 为９０°． 随堂步步夯实 １．C　[①③中直线的倾斜角为α．] ２．A　[由题意知k＝－３－５－１－３＝２． ] ３．D　[由tanα＝－ ３３ ,可得倾斜角α＝１５０°．] ４．解析:l平 行 于y 轴,即 直 线l垂 直 于x 轴,故 倾 斜 角 为９０°． 答案:９０° ６．２．３　直线方程的几种形式 第１课时　直线的点斜式方程和斜截式方程 课前预习学案 必备知识　知识点一 (１)y－y０＝k(x－x０)　(２)y＝y０　x＝x０ [思考] １．提示:不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程,凡是垂 直于x轴的直线,其方程都不能用点斜式表示． 知识点二 (１)y＝kx＋b　(２)截距　截距　９０° [思考] ２．提示:截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标 或纵坐标,可以为正数、负数和０．当直线过原点时,它的 横截距和纵截距都为０． 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)×　(４)× ２．B　[依题意,直线的斜率k＝tan１３５°＝－１, 所以直线方程为y－７＝－１×(x＋５),即x＋y－２＝０．] ３．D　[由题意知,直线的斜率k＝－１,又在y轴上截距为－１, 故直线方程为y＝－x－１．] 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　(１)∵直线过点P(－４,３),斜率k＝－３, 由直 线 方 程 的 点 斜 式 得 直 线 的 点 斜 式 方 程 为 y－３ ＝－３(x＋４)． (２)与x轴平行的直线,其斜率k＝０,由直线方程的点斜 式可得直线的点斜式方程为y－(－４)＝０×(x－３)． (３)过 点 P(－２,３)、Q(５,－４)的 直 线 的 斜 率kPQ ＝ －４－３ ５－(－２)＝ －７ ７ ＝－１． 又∵直线过点P(－２,３), ∴直线的点斜式方程为y－３＝－(x＋２)． 变式训练 １．解:(１)y－５＝３(x＋２)． (２)k＝tan１３５°＝－１,∴y＋３＝－(x－２)． (３)y＝－１． (４)x＝１． 题型二 [例２]　[解]　(１)y＝３x－３． (２)∵k＝tan６０°＝ ３,∴y＝ ３x＋５． (３)∵k＝tan１５０°＝－ ３３ ,∴y＝－ ３３x． 变式训练 ２．解析:(１)方程为y＝５x－１,即５x－y－１＝０． (２)方程为y＝xtan３０°＋ ３,即x－ ３y＋３＝０． 答案:(１)５x－y－１＝０　(２)x－ ３y＋３＝０ 随堂步步夯实 １．D　[由点斜式方程可知,直线的方程为y－０＝３(x＋２), 即y＝３(x＋２)．] ２．D　[直线２x＋y＋３＝０整理为y＝－２x－３．∴直线在y 轴上的截距是－３．] ３．C　[由直线的点斜式的定义可知,直线的斜率k＝３．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５８􀅰 参考答案