6.1.2 平面直角坐标系中的距离公式与中点公式-2024-2025学年中职高一数学同步（人教版2021·基础模块下册）

第六章 直线和圆的方程 6.1.2 平面直角坐标系中的距离公式与中点公式 课程标准 素养解读 1.通过两点间距离公式和线段的中点坐标公式的学习,培 1.掌握两点间的距离公式; 养逻辑推理和直观想象的数学素养; 2.掌握线段的中点坐标公式 2.体验“数形结合”研究问题的便捷,感受科学思维方法 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 过?思考 两点A(x,y),B(x,y。)间的距离 , 公式是否可以写成 |AB1= (x.-x。)*十(y,一y。)的形式? 围棋起源于中国,如果把围棋的棋盘看作 平面直角坐标系,黑白棋子所落的位置,可以 [知识点二 平面直角坐标系中的中点坐标 用点坐标表示,棋盘上两枚棋子之间间隔大小 设A(x,y),B(x,y。)为平面内任意两点, 和中位所在,对应的就是平面直角坐标系上两 则线段AB中点M(x,y)的坐标为:x 点间的距离和线段的中点 在平面直角坐标系中,每个点对应着一对 预习白测 有序实数对,即每个点都有坐标,那么两点间 1.已知点A(2,4),B(5,4),那么A,B两点之 的距离与它们的坐标又有着怎样的关系呢 ( 间的距离等于 ) 必备 知识 A.8 B.6 [知识点一] 平面直角坐标系中的距离公式 C.3 D.0 (1)公式:平面直角坐标系中A(x,y),B(x, y。)两点的距离公式:|AB1 2.已知线段AB的端点A(3,4)及中点O(0,3) ( 则点B的坐标为 ) -(x2-x,)2十(y-y). A.37)# (2)两点间距离的特殊情况 B.(-3,2) ①原点O(0,0)与任一点P(x,v)的距离 C.(3,2) D.(3,10) lOP一 3.已知点A(2,3)和B(-4,1),则线段AB的 ②当AB/x轴(y=y)时,|AB|= 长及中点坐标分别是 ( ) A.2/10,(1,2) ③当AB/y轴(x.=x。)时,lAB|= B.2/10,(-1,-2) C.2/10,(-1,2 D.2/10,(1,-2) .3. E数学基础模块(RJ下) )2 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型一 平面上两点间的距离 [思路点拨] 直接带入中点坐标公式求解 例1 已知A(a,3)和B(3,3a十3)的距离为5 即可。 求a的值. [听课记录] [思路点拨 利用两点间的距离公式列方 程解得a的值, [听课记录] 例3 已知直角坐标平面上连接点(一2,5)和 点M的线段的中点是(1,0),则点M到原 通法通性 点的距离为 ( ) 两点间的 距 离 公式 |AB |= A.41 B.4T C.39 D.39 (x.-x。){②}十(y-y)}与两点的先后顺 [思路点拨 先由中点坐标公式求出M的 序无关,利用此公式可以将有关的几何问 坐标,再由两点间距离公式求解 题转化为代数问题进行研究,我们求线段 [听课记录] 的长度时,常常使用两点间的距离公式. [变式训练] 1.已知点A(3,6),在x轴上的点P与点A的 距离等于10,则点P的坐标为 题型二 线段的中点坐标 例2 已知平面上两点M(-1,0),N(3,4), [变式训练] ( 则线段MN的中点R的坐标为 ) 2.若点A在x轴上,点B在v轴上,线段AB的 A.(1,2) B.(1,4) 中点M的坐标是(3,4),则AB的长为 ) D.(2,4) C.(-2,2) A.10 B.5 C.8 D.6 #甲甲学 随堂·步步夯实 夯基因# 1.已知点A(2,-1),B(a,4),且lABl=41, 3.已知/\ABC的项点为A(2,1),B(-2,3),C(0 ( ) 一1),则AC边上的中线长为 ( 则a的值为 ) A.2 B.6 A.3 B.32 C.-2或-6 D.-2或6 C.4 D.42 2.已知点A(1,5),点B的坐标是(-1,2),则 4.已知两点A(-1,0)、B(0,-2),则 AB = ( AB的中点M的坐标为 ) ,线段AB的中点坐标为 #A.#.7)# B.(-3,-1) c温馨提示 学习至此,请完成配套训练 课时作业2 C.(2,3) D.(0,7) .4.参 考 答 案 第六章　直线和圆的方程 ６．１　坐标系中的基本公式 ６．１．１　数轴上的距离公式与中点公式 课前预习学案 必备知识　知识点一 x　P(x)　－４．５　P(－４．５)　－２　B(－２)　３　A(３) 知识点二 |AB|＝|x２－x１| 知识点三 x＝ x１＋x２ ２ 预习自测 １．B　[根据两点间的距离公式可知,|AB|＝|３－１|＝２．] ２．B　[根据两点间的距离公式可知,|AB|＝|－３－２| ＝５．] ３．B　[设点 M(x)是线段AB 的中点,根据线段的中点坐标 公式可知,x＝－３＋７２ ＝２． ] 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　|AB|＝|－２－４|＝６; |AC|＝|－２－８|＝１０; 设点E(x１),F(x２),则x１＝ －２＋４ ２ ＝１ ,x２＝ ４＋８ ２ ＝６ , 故|EF|＝|１－６|＝５． 变式训练 １．解:线段MN 的中点为P ４－２２( ),即P(１);线段MP 的中 点为Q ４＋１２( ),即 Q ５ ２( ),因此 P,Q 两点间的距离为 ５ ２－１ ＝ ３ ２． 题型二 [例２]　[解]　|x＋１|＋|x－２|表示数轴上的点P(x)到 A(－１),B(２)的距离之和,由于|AB|＝３,故P(x)不可能 在线段AB 上,要使P 到A,B 的距离之和为５,需要P 在 A 的左侧或B 的 右 侧,因 此 所 求 P 点 的 坐 标x 为－２ 或３． 变式训练 ２．C　[先找出满足|x|＝９的点为P(－９)和P(９),则满足 |x|＜９的x应满足－９＜x＜９．] 随堂步步夯实 １．A　[由距离公式得:|MO|＝|８－０|＝８．] ２．B　[由中点公式得AB 中点为:－２＋１２ ＝－０．５． ] ３．C　[由距离公式可得x＝０或x＝２．] ４．解析:由数轴上两点间的距离公式可得结果． 答案:|x２－x１| ６．１．２　平面直角坐标系中的距离公式与中点公式 课前预习学案 必备知识　知识点一 (２)x２＋y２　|x２－x１|　|y２－y１| [思考] 提示:可以,原因是 (x２－x１)２＋(y２－y１)２ ＝ (x１－x２)２＋(y１－y２)２,也就是说公式中 A,B 两点 的位置没有先后之分． 知识点二 x１＋x２ ２ 　 y１＋y２ ２ 预习自测 １．C 　 [由 点 A (２,４),B (５,４),得 |AB| ＝ (２－５)２＋(４－４)２＝３, 所以A,B 两点之间的距离等于３．] ２．B　[设B(x,y),AB 的端点A(３,４)及中点O(０,３),则 ０＝３＋x２ ３＝４＋y２ ì î í ï ï ïï ,解得 x＝－３ y＝２{ ,故点B 的坐标为(－３,２)．] ３．C　[|AB|＝ (－４－２)２＋(１－３)２＝２ １０,中点坐标为 ２－４ ２ ,３＋１ ２( ),即(－１,２)．] 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　∵|AB|＝ (a－３)２＋(３－３a－３)２＝５, 即５a２－３a－８＝０,∴a＝－１或a＝８５． 变式训练 １．解 析:设 点 P 的 坐 标 为 (x,０),由|PA|＝１０,得 (x－３)２＋(０－６)２＝１０, 解得x＝１１或x＝－５． ∴点P 的坐标为(－５,０)或(１１,０)． 答案:(－５,０)或(１１,０) 题型二 [例 ２]　 [解 析 ]　 由 题 意 知,中 点 R 的 坐 标 为 －１＋３ ２ ,０＋４ ２( ),即(１,２)． [答案]　A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３８􀅰 参考答案 [例３]　[解析]　设 M(x,y),由题意得 １＝－２＋x２ , ０＝５＋y２ , ì î í ï ï ïï 解得 x＝４, y＝－５,{ 即 M(４,－５)． 则点 M 到原点的距离为 (４－０)２＋(－５－０)２＝ ４１． [答案]　B 变式训练 ２．A　[线段AB 的中点为M, 设A(a,０),B(０,b)⇒M a２ ,b ２( ),所以 a ２＝３ ,b ２＝４⇒a ＝６,b＝８,所 以 A(６,０),B(０,８)⇒|AB|＝ ６２＋８２ ＝１０．] 随堂步步夯实 １．D　[由两点间的距离公式,可得|AB| ＝ (a－２)２＋(４＋１)２＝ ４１,解得a＝－２或a＝６．] ２．A　[因点A(１,５),点B(－１,２),于是得线段AB 中点坐 标为 ０,７２( ),所以AB 的中点M 的坐标为 ０, ７ ２( )．] ３．B　[设 AC 的中点为D,因为 A(２,１),C(０,－１),所以 D(１,０),所以AC边上的中线长BD ＝ (－２－１)２＋(３－０)２＝３ ２．] ４．５　 －１２ ,－１( ) ６．２　直线的方程 ６．２．１　直线与方程 课前预习学案 情境引入 提示:代数方程可以用几何图形表示,几何图形也可以用 代数方程来表示． 必备知识　知识点 坐标　坐标 预习自测 １．B　[根据直线的方程定义可知,过点A(２,１)且垂直与x 轴直线为x＝２．] ２．D　[根据直线的方程定义可知,过点A(－３,２)且平行于 x轴直线为y＝２．] ３．A　[将选项中各点坐标依次带入直线的方程即可．] 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　(１)如图所示,显然直线 m 上点的横坐标都是－２,而且,横坐 标是－２的点都在直线 m 上,所以直 线m 的方程是x＝－２． (２)因为x 轴上点的纵坐标都是０,而 且,纵坐标是０的点显然都在x 轴上, 所以x轴所在直线的方程是y＝０． 变式训练 １．D　[根据直线的方程定义可知,过点A －３,１２( ) 且平行 于x轴直线为y＝１２． ] 题型二 [例２]　[解]　由题意可知,点(１,a)既在直线x－y－２＝０ 上,又在直线２x－y＋b＝０上,所以有 １－a－２＝０, ２－a＋b＝０,{ 解得 a＝－１, b＝－３．{ 变式训练 ２．C　[将选项中各点坐标依次带入直线的方程即可．] 随堂步步夯实 １．A　[根据直线的方程定义可知,过点(－２,３)且平行于y 轴的直线为x＝－２．] ２．B　[将选项中各点坐标依次带入直线的方程即可知选项 B符合题意．] ３．B　[根据直线的方程定义可知,m＝２．] ４．解析:根据直线的方程定义可知,过点(８,－２)且垂直于x 轴的直线为x＝８． 答案:x＝８ ６．２．２　直线的倾斜角和斜率 课前预习学案 必备知识　知识点一 上　０°　倾斜程度　倾斜角 [思考] １．提示:都不对． 知识点二 正切值　R　y２ －y１ x２－x１ [思考] ２．提示:不是．若直线没有斜率,则其倾斜角为９０°． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)×　(４)√ ２．B　[由倾斜角的定义知直线l的倾斜角为１３５°．] ３．解析:直 线 的 斜 率k＝－２＋２５－１ ＝０ ,所 以 此 直 线 的 斜 率 为０． 答案:０ 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解析]　由倾斜角α∈[０°,１８０°)知②错;又平行于 x轴的直线的倾斜角是０°,这样的直线有无数条,故③④ 错;只有①是正确的． [答案]　A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４８􀅰