6.1.1 数轴上的距离公式与中点公式-2024-2025学年中职高一数学同步（人教版2021·基础模块下册）

第六章直线和圆的方程 6.1坐标系中的基本公式 6.1.1数轴上的距离公式与中点公式 课程标准 素养解读 1.掌握数轴上两点间距离公式： 1.通过数轴上两点间距离公式和线段的中点坐标公式的学 2.掌握数轴上线段的中点坐标 习，培养逻辑推理和直观想象的数学素养； 公式 2.体验“数形结合”研究问题的便捷，感受科学思维方法 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 [知识点二]数轴上两点间的距离公式 我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的. 般地，在数轴上，如果A(x1),B(x2),则这 如图所示的就是一条数轴。 两点之间的距离公式为 54-3-克-012345 [知识点三]数轴上线段中点坐标公式 如何定义数轴上点P的位置？ 一般地，在数轴上，以A(x1),B(x2)两点为 必备知识 端点的线段中点坐标x满足中点公式： [知识点一]数轴上点的坐标 如不特别说明，我们约定数轴水平放置，正 预习白测 方向为从左到右.为了方便起见，如果点P 1.已知点A(1),B(3),则|AB为 与数x对应，则称点P的坐标为，记作 A.-2 B.2 C.4 D.-4 2.已知点A(2),B(一3)，则AB|为( 3号845 A.-5 B.5 C.-1 D.1 如图，点P的坐标为 ,记作 3.已知点A(一3)，B(7),则线段AB的中点坐 点B的坐标为 ,记作 标为 点A的坐标为 ,记作 A.-2 B.2 C.-5 D.5 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型一 求数轴上两点间的距离 [思路点拨]先求出中点坐标，再利用两点 例1 已知点A(-2),B(4),C(8),线段AB、BC 的中点分别为E、F,求AB引，AC,|EF 之间的距离公式求解. 世数学草础候快下 [听课记录] 题型二 距离公式的应用 例2求满足|x+1|+x-2=5的x的值. [思路点拨]利用距离公式在数轴上的几 何意义求解。 [听课记录] 通法通性 求数轴上两点间的距离的方法是：先确定点 的坐标，然后带入两点间的距离公式，这里 常常用到中点公式， ◇[变式训练] 1.已知数轴上两点M(4),N(一2)，线段MN 的中点为P,线段MP的中点为Q,求P,Q 两点间的距离. 通法通性 由距离公式可知|x1一x2在数轴上的几 何意义是点(x1)和点(x2)的距离，结合 方程或不等式确定端点坐标，数形结合 得结果 ⊙[变式训练] 2.不等式|x<9的解是 A.x<9 B.x>-9 C.-9<x<9 D.x>3 巩固即学 随堂·步步夯实 夺基固本 1.点M(一8)到原点的距离等于 3.方程x一1=1的解为 A.8 B.4 A.x=0 B.x=2 C.x=0或x=2 D.x=1 C.0 D.-8 4.在数轴上，如果A(x1),B(x2),则这两点之 2.点A(一2)，B(1)的中点坐标是 ( 间的距离公式为AB= A.-1 B.-0.5 ©温馨提 C.0 D.3 学习至此，请完成配套训练 课时作业1 2参 考 答 案 第六章　直线和圆的方程 ６．１　坐标系中的基本公式 ６．１．１　数轴上的距离公式与中点公式 课前预习学案 必备知识　知识点一 x　P(x)　－４．５　P(－４．５)　－２　B(－２)　３　A(３) 知识点二 |AB|＝|x２－x１| 知识点三 x＝ x１＋x２ ２ 预习自测 １．B　[根据两点间的距离公式可知,|AB|＝|３－１|＝２．] ２．B　[根据两点间的距离公式可知,|AB|＝|－３－２| ＝５．] ３．B　[设点 M(x)是线段AB 的中点,根据线段的中点坐标 公式可知,x＝－３＋７２ ＝２． ] 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　|AB|＝|－２－４|＝６; |AC|＝|－２－８|＝１０; 设点E(x１),F(x２),则x１＝ －２＋４ ２ ＝１ ,x２＝ ４＋８ ２ ＝６ , 故|EF|＝|１－６|＝５． 变式训练 １．解:线段MN 的中点为P ４－２２( ),即P(１);线段MP 的中 点为Q ４＋１２( ),即 Q ５ ２( ),因此 P,Q 两点间的距离为 ５ ２－１ ＝ ３ ２． 题型二 [例２]　[解]　|x＋１|＋|x－２|表示数轴上的点P(x)到 A(－１),B(２)的距离之和,由于|AB|＝３,故P(x)不可能 在线段AB 上,要使P 到A,B 的距离之和为５,需要P 在 A 的左侧或B 的 右 侧,因 此 所 求 P 点 的 坐 标x 为－２ 或３． 变式训练 ２．C　[先找出满足|x|＝９的点为P(－９)和P(９),则满足 |x|＜９的x应满足－９＜x＜９．] 随堂步步夯实 １．A　[由距离公式得:|MO|＝|８－０|＝８．] ２．B　[由中点公式得AB 中点为:－２＋１２ ＝－０．５． ] ３．C　[由距离公式可得x＝０或x＝２．] ４．解析:由数轴上两点间的距离公式可得结果． 答案:|x２－x１| ６．１．２　平面直角坐标系中的距离公式与中点公式 课前预习学案 必备知识　知识点一 (２)x２＋y２　|x２－x１|　|y２－y１| [思考] 提示:可以,原因是 (x２－x１)２＋(y２－y１)２ ＝ (x１－x２)２＋(y１－y２)２,也就是说公式中 A,B 两点 的位置没有先后之分． 知识点二 x１＋x２ ２ 　 y１＋y２ ２ 预习自测 １．C 　 [由 点 A (２,４),B (５,４),得 |AB| ＝ (２－５)２＋(４－４)２＝３, 所以A,B 两点之间的距离等于３．] ２．B　[设B(x,y),AB 的端点A(３,４)及中点O(０,３),则 ０＝３＋x２ ３＝４＋y２ ì î í ï ï ïï ,解得 x＝－３ y＝２{ ,故点B 的坐标为(－３,２)．] ３．C　[|AB|＝ (－４－２)２＋(１－３)２＝２ １０,中点坐标为 ２－４ ２ ,３＋１ ２( ),即(－１,２)．] 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　∵|AB|＝ (a－３)２＋(３－３a－３)２＝５, 即５a２－３a－８＝０,∴a＝－１或a＝８５． 变式训练 １．解 析:设 点 P 的 坐 标 为 (x,０),由|PA|＝１０,得 (x－３)２＋(０－６)２＝１０, 解得x＝１１或x＝－５． ∴点P 的坐标为(－５,０)或(１１,０)． 答案:(－５,０)或(１１,０) 题型二 [例 ２]　 [解 析 ]　 由 题 意 知,中 点 R 的 坐 标 为 －１＋３ ２ ,０＋４ ２( ),即(１,２)． [答案]　A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３８􀅰 参考答案