课时达标检测(12) 离散型随机变量及其分布列(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

课时达标检测(十二)　离散型随机变量及其分布列 基础达标 一、单项选择题 1.同时抛掷3枚质地均匀的硬币,正面朝上的个数是随机变量,这个随机变量的所有可能取值为 (D) A.3 B.0 C.1,2,3 D.0,1,2,3 解析　同时抛掷3枚硬币,正面朝上的个数可能为0,1,2,3。故选D。 2.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为Y,则Y所有可能值的个数是 (C) A.25 B.10 C.7 D.6 解析　因为Y表示取出的2个球的号码之和,又1+2=3,1+3=4,1+4=5,1+5=6,2+3=5,2+4=6,2+5=7,3+4=7,3+5=8,4+5=9,故Y的所有可能取值为3,4,5,6,7,8,9,共7个。 3.若离散型随机变量X的分布列如表所示,则a的值为 (A) X -1 1 P 4a-1 3a2+a A. B.-2 C.或-2 D. 解析　由分布列的性质,得解得a=。 4.已知随机变量X所有可能取值的集合为{-2,0,3,5},且P(X=-2)=,P(X=3)=,P(X=5)=,则P(X=0)的值为 (C) A.0 B. C. D. 解析　由分布列的性质可知,P(X=0)=1-P(X=-2)-P(X=3)-P(X=5)=。 5.从只有3张有奖的10张彩票中不放回地随机逐张抽取,设X表示直至抽到有奖彩票时的次数,则P(X=3)等于 (D) A. B. C. D. 解析　“X=3”表示“前2次未抽到有奖彩票,第3次抽到有奖彩票”,故P(X=3)===。故选D。 6.一盒中有12个乒乓球,其中9个新球,3个旧球,从盒中任取3个球来用,用完后放回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为 (D) A. B. C. D. 解析　因为从盒中任取3个球来用,用完后放回盒中,此时盒中旧球个数X=4,即旧球增加一个,所以取出的3个球为1个新球,2个旧球,所以P(X=4)==,故选D。 二、多项选择题 7.已知随机变量X的分布列如表所示,其中a,b,c成等差数列,则 (BD) X -1 0 1 P a b c A.a= B.b= C.c= D.P(|X|=1)= 解析　因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c。由分布列的性质,得a+b+c=3b=1,所以b=。所以P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=1-P(X=0)=1-=。 8.一个盒子里装有大小相同的黑球10个,红球12个,白球4个,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列说法正确的是 (ABC) A.P(X=1)= B.P(X=2)= C.P(X≤1)= D.P(X≤2)<1 解析　由已知,得X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=,P(X≤2)=1,故D错误,A,B,C正确。 三、填空题 9.在某次考试中需回答三个问题,考试规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则某同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为 -300,-100,100,300 。  解析　若答对0个问题,则得分为-300;若答对1个问题,则得分为-100;若答对2个问题,则得分为100;若问题全答对,则得分为300。 10.已知随机变量Y的分布列如表: Y 1 2 3 4 5 6 P 0.1 x 0.35 0.1 0.15 0.2 则x= 0.1 ,P(Y>3)= 0.45 ,P(1<Y≤4)= 0.55 。  解析　由0.1+x+0.35+0.1+0.15+0.2=1,得x=0.1。P(Y>3)=P(Y=4)+P(Y=5)+P(Y=6)=0.1+0.15+0.2=0.45。P(1<Y≤4)=P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)=0.1+0.35+0.1=0.55。 11.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如表,其中a,b,c成等差数列,且c=ab。 X 0 2 3 P a b c 则这名运动员得3分的概率是  。  解析　由题意得,2b=a+c,c=ab,a+b+c=1,且a≥0,b≥0,c≥0,联立得a=,b=,c=,故得3分的概率是。 四、解答题 12.某市公交公司规定:身高不超过120 cm的学生免费乘车,凡身高超过120 cm的学生,每次乘车0.5元,若学生每次乘车应交的车费为η(单位:元),学生的身高用ξ(单位:cm)表示,那么ξ和η是不是离散型随机变量?若是,请写出相应的取值情况。 解　由于每个学生对应唯一的一个身高,并且可以一一列举出来(身高精确到厘米时),因此ξ是一个离散型随机变量,其取值为本市所有学生的身高;车费η=因此η也是一个离散型随机变量,其取值为0,0.5。 13.从一批有10个合格品与3个次品的产品中,一件一件地抽取产品,设各个产品被抽取到的可能性相同。在下列两种情况下,分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数X的分布列。 (1)每次取出的产品都不放回此批产品中; (2)每次取出一件产品后都将一件合格品放回此批产品中。 解　(1)X的可能取值为1,2,3,4。当X=1时,只取一次就取到合格品,所以P(X=1)=;当X=2时,第一次取到次品,而第二次取到合格品,所以P(X=2)=×=;同理可得P(X=3)=××=;P(X=4)=×××=。所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P (2)X的可能取值为1,2,3,4。当X=1时,只取一次就取到合格品,P(X=1)=;当X=2时,第一次取到次品,而第二次取到合格品,注意第二次取时,这批产品有11个合格品,2个次品,所以P(X=2)=×=;同理可得P(X=3)=××=;P(X=4)=×××=。所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P 素养提升 14.经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元。根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示,经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品。以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。 (1)将T表示为X的函数; (2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率; (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的分布列。 解　(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000,当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000。所以T= (2)由(1)知利润T不少于57 000元时120≤X≤150。由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7。 (3)依题意可得T的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 15.设ξ为随机变量。从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1。 (1)求概率P(ξ=0); (2)求ξ的分布列。 解　(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的一个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8对相交棱,因此P(ξ=0)===。 (2)若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对,故P(ξ=)===,于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=)=1--=。故随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 P 学科网（北京）股份有限公司 $$