专题 排列组合应用题的常见类型(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

专题　排列组合应用题的常见类型 专题概述 　　1.排列组合模型的常用知识 (1)排列数、组合数公式的运用。 (2)分类加法、分步乘法计数原理。 2.排列组合问题的常见类型 解决排列问题的关键是认真审题,把握问题的实质,分清分类与分步的标准,并且要遵循两个原则:(1)按事情发生的过程进行分步;(2)按元素的性质进行分类。 排列组合应用题的常见类型及处理方法。 相邻问题:(捆绑法)题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列。 相离问题:(插空法)元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。 定序问题:(缩倍法)在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法(先不考虑顺序全排列,再除以顺序种类)。 标号排位问题:(分步法)把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,然后再排另一个元素,如此依次继续下去,即可完成。 有序分配问题:(逐分法)有序分配问题是指把元素分成若干组,可用逐分法。 全员分配问题:(分组法)先用组合数公式分组,再进行排列。 名额分配问题:(隔板法)根据题意确定分n组,隔板为(n-1)个,对隔板进行排列即可。 多元问题:(分类法)元素多,取出的情况也有多种,可按结果要求分成互斥的几类情况分别计数,最后总计。 “至多”“至少”问题:(间接排除法)先求总的事件个数及对立事件个数,相减即可;(直接法)对至多、至少事件分类,最后总计。 选排问题:(先取后排)从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先取后排法。 部分符合条件问题:(排除法)在选取的总数中,只有一部分符合条件,可以从总数中减去不符合条件数,即为所求。 类型一 特殊元素、特殊位置优先法 　　【例1】　把甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周六的6天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,则不同的安排方法共有 (C) A.20种 B.30种 C.40种 D.60种 解析　甲是特殊元素,应优先安排,分类完成。甲排周一,乙、丙只能从周二至周六这5天中选2天,有种安排方法;甲排周二,乙、丙有种安排方法;甲排周三,乙、丙有种安排方法;甲排周四,乙、丙只能排周五和周六,有种安排方法。由分类加法计数原理可知,不同的安排方法共有+++=40(种)。 解答含有特殊元素或位置的问题的方法 若以元素为主时,先满足特殊元素的要求;以位置为主时,先满足特殊位置的要求。具体解答时还要辩证地看待“元素”和“位置”,哪些事件看成元素或位置,要视具体情况而定。 【变式训练】　用0,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有 (B) A.24个 B.30个 C.40个 D.60个 解析　由0,2,3,4,5组成没有重复数字的三位偶数分为两类:①个位数字为0共有个。②个位是2或4时共有个。由分类加法计数原理得+=30个偶数。 类型二 相邻问题捆绑法 　　【例2】　“仁、义、礼、智、信”为儒家“五常”,孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”。将“仁、义、礼、智、信”排成一排,“仁”排在第一位,且“智、信”相邻的概率为 (A) A. B. C. D. 解析　“仁、义、礼、智、信”排成一排,共有种排法,其中“仁”排在第一位,且“智、信”相邻的排法有种,故所求概率为=,故选A。 对于某几个元素要求相邻的排列问题,可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素全排列,然后再对相邻元素之间进行全排列。 【变式训练】　有2位女生、3位男生站成一排合影,要求女生甲不在队伍两端,3位男生中有且仅有2位相邻,则不同的排队方法共有 48 种。  解析　(利用间接法)先选2位男生捆绑在一起,和另外2位女生全排列,再插入剩下的1位男生,排队方法有··=72种。若女生甲在队伍两端,有··=24种。故女生甲不在队伍两端,3位男生中有且仅有2位相邻,不同的排队方法共有72-24=48种。 类型三 不相邻问题插空法 　　【例3】　某地媒体为了宣传援鄂医护人员A,B,C,D,E,F 共6人(其中A是队长)的优秀事迹,让这6名医护人员与接见他们的一位领导共7人站成一排进行拍照,则领导和队长站两端且B,C两人相邻,而B,D两人不相邻的站法种数为 (D) A.36 B.48 C.56 D.72 解析　根据题意,可分两步进行分析。第一步,领导和队长站在两端,有=2种站法。第二步,安排中间5人,分两种情况讨论:①若B,C相邻且C,D相邻,有=12种站法;②若B,C相邻且均不与D相邻,有=24种站法。故中间5人有12+24=36种站法。故领导和队长站两端且B,C两人相邻,而B,D两人不相邻的站法共有2×36=72(种)。故选D。 对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端的空隙中插入。 【变式训练】　有6个座位连成一排,现有3人就座,则恰有两个空座位相邻的不同坐法种数为 (C) A.36 B.48 C.72 D.96 解析　恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排3个人,然后插空,从而共有=72种不同的坐法。故选C。 类型四 定序问题消除法 　　【例4】　(1)用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数,若1,3,5,7的顺序一定,则有 210 个七位数符合条件;  解析　若1,3,5,7的顺序不定,排法有=24(种),故1,3,5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的。故符合条件的七位数有=210(个)。 (2)将A,B,C,D,E这5个字母排成一列,要求A,B,C在排列中的顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻)。这样的排列方法有 40 种。(用数字作答)  解析　5个元素无约束条件的全排列有种排法,由于字母A,B,C的排列顺序为“A,B,C”或“C,B,A”,因此,在上述的全排列中恰好符合“A,B,C”或“C,B,A”的排列方法有×2=40(种)。 部分元素定序的排列问题的两种解法 一是把不要求定序的元素首先排列,剩余的位置就是定序的元素,这些定序的元素只有一种排法,所以问题就转化为不要求定序的元素有多少种排法; 二是用“倍缩法”,有(m+n)个元素排成一列,其中m个元素之间的先后顺序确定不变,将这(m+n)个元素排成一列,有种不同的排法;然后任取一个排列,固定其他n个元素的位置不动,把这m个元素交换顺序,有种排法,其中只有一个排列是我们需要的,因此共有种满足条件的不同排法。 【变式训练】　书架上某一层有5本不同的书,新买了3本不同的书插进去,要保持原来5本书的顺序不变,则不同的插法种数为 (C) A.60 B.120 C.336 D.504 解析　新买3本书后,书架上共8本书,这8本书的不同排法有种,而原有的5本书对应的不同排法有种,所以不同的插法种数为==336。故选C。 类型五 综合问题“先选后排法” 　　【例5】　有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行。如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有多少种? 解　分三类。 第一类,当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时,不同的排法有····种。 第二类,当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时,不同的排法有··种。 第三类,当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时,不同的排法有··种。 故满足题意的所有不同的排法种数为····+2··=432。 (1)解排列组合的综合问题,首先要认真审题,把握问题的实质,分清是排列问题还是组合问题,再注意结合分类加法计数原理与分步乘法计数原理,按元素的性质确立分类的标准,按事情的发生过程确定分步的顺序。 (2)解排列组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列。 【变式训练】　(1)4种不同的种子,选出3种种在三块不同的地上,每一块地只能种一种,则不同的种法有 (A) A.种 B.种 C.种 D.种 解析　分两步完成:第一步,选种子,有种选法;第二步,种地,有种种法,故共有种不同种法。故选A。 (2)8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖。现将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有 60 种。(用数字作答)  解析　分情况:一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人,种数为=36;另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人,种数为=24,则获奖情况总共有36+24=60种。 类型六 分组与分配问题 　　【例6】　(1)某科室派出4名调研员到3个学校调研高三复习备考近况,要求每个学校至少1名,则不同的分配方案种数为 36 。  解析　分两步完成:第一步,将4名调研员按2,1,1分成3组,其分法有种;第二步,将分好的3组分配到3个学校,其分法有种,所以满足条件的分配方案有·=36(种)。 (2)若将9名教师分到3所中学任教,一所1名,一所3名,一所5名,则有 3 024 种不同的分法。  解析　将9名教师分组,分三步完成:第一步,在9名教师中任取1名作为一组,有种分法;第二步,在余下的8名教师中任取3名作为一组,有种分法;第三步,余下的5名教师作为一组,有种分法,根据分步乘法计数原理,共有=504种分法。再将这3组教师分配到3所中学,有=6种分法,故共有504×6=3 024种不同的分法。 分组、分配问题的求解策略 (1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种。 ①完全均匀分组,每组的元素个数均相等; ②部分均匀分组,应注意不要重复,若有n组均匀,最后必须除以n!; ③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象。 (2)分配问题属于“排列”问题。可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配。 【变式训练】　某校安排5个班到4个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班,不同的安排方法共有 240 种。(用数字作答)  解析　首先把5个班分成4组,即2,1,1,1,有种方法。然后把4组分配到4个工厂,每个工厂安排一组有种方法。由分步乘法计数原理可得不同的安排方法有·=240(种)。 学科网（北京）股份有限公司 $$