专题 排列组合应用题的常见类型(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

专题　排列组合应用题的常见类型

专题概述

　　1.排列组合模型的常用知识

(1)排列数、组合数公式的运用。

(2)分类加法、分步乘法计数原理。

2.排列组合问题的常见类型

解决排列问题的关键是认真审题,把握问题的实质,分清分类与分步的标准,并且要遵循两个原则:(1)按事情发生的过程进行分步;(2)按元素的性质进行分类。

排列组合应用题的常见类型及处理方法。

相邻问题:(捆绑法)题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列。

相离问题:(插空法)元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。

定序问题:(缩倍法)在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法(先不考虑顺序全排列,再除以顺序种类)。

标号排位问题:(分步法)把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,然后再排另一个元素,如此依次继续下去,即可完成。

有序分配问题:(逐分法)有序分配问题是指把元素分成若干组,可用逐分法。

全员分配问题:(分组法)先用组合数公式分组,再进行排列。

名额分配问题:(隔板法)根据题意确定分n组,隔板为(n-1)个,对隔板进行排列即可。

多元问题:(分类法)元素多,取出的情况也有多种,可按结果要求分成互斥的几类情况分别计数,最后总计。

“至多”“至少”问题:(间接排除法)先求总的事件个数及对立事件个数,相减即可;(直接法)对至多、至少事件分类,最后总计。

选排问题:(先取后排)从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先取后排法。

部分符合条件问题:(排除法)在选取的总数中,只有一部分符合条件,可以从总数中减去不符合条件数,即为所求。

类型一  特殊元素、特殊位置优先法

　　【例1】　把甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周六的6天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,则不同的安排方法共有    (C)

A.20种 B.30种 

C.40种 D.60种

解析　甲是特殊元素,应优先安排,分类完成。甲排周一,乙、丙只能从周二至周六这5天中选2天,有种安排方法;甲排周二,乙、丙有种安排方法;甲排周三,乙、丙有种安排方法;甲排周四,乙、丙只能排周五和周六,有种安排方法。由分类加法计数原理可知,不同的安排方法共有+++=40(种)。

解答含有特殊元素或位置的问题的方法

若以元素为主时,先满足特殊元素的要求;以位置为主时,先满足特殊位置的要求。具体解答时还要辩证地看待“元素”和“位置”,哪些事件看成元素或位置,要视具体情况而定。

【变式训练】　用0,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有    (B)

A.24个 B.30个 

C.40个 D.60个

解析　由0,2,3,4,5组成没有重复数字的三位偶数分为两类:①个位数字为0共有个。②个位是2或4时共有个。由分类加法计数原理得+=30个偶数。

类型二  相邻问题捆绑法

　　【例2】　“仁、义、礼、智、信”为儒家“五常”,孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”。将“仁、义、礼、智、信”排成一排,“仁”排在第一位,且“智、信”相邻的概率为    (A)

A. B. 

C. D.

解析　“仁、义、礼、智、信”排成一排,共有种排法,其中“仁”排在第一位,且“智、信”相邻的排法有种,故所求概率为=,故选A。

对于某几个元素要求相邻的排列问题,可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素全排列,然后再对相邻元素之间进行全排列。

【变式训练】　有2位女生、3位男生站成一排合影,要求女生甲不在队伍两端,3位男生中有且仅有2位相邻,则不同的排队方法共有 48 种。 

解析　(利用间接法)先选2位男生捆绑在一起,和另外2位女生全排列,再插入剩下的1位男生,排队方法有··=72种。若女生甲在队伍两端,有··=24种。故女生甲不在队伍两端,3位男生中有且仅有2位相邻,不同的排队方法共有72-24=48种。

类型三  不相邻问题插空法

　　【例3】　某地媒体为了宣传援鄂医护人员A,B,C,D,E,F 共6人(其中A是队长)的优秀事迹,让这6名医护人员与接见他们的一位领导共7人站成一排进行拍照,则领导和队长站两端且B,C两人相邻,而B,D两人不相邻的站法种数为     (D)

A.36 B.48 

C.56 D.72

解析　根据题意,可分两步进行分析。第一步,领导和队长站在两端,有=2种站法。第二步,安排中间5人,分两种情况讨论:①若B,C相邻且C,D相邻,有=12种站法;②若B,C相邻且均不与D相邻,有=24种站法。故中间5人有12+24=36种站法。故领导和队长站两端且B,C两人相邻,而B,D两人不相邻的站法共有2×36=72(种)。故选D。

对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端的空隙中插入。

【变式训练】　有6个座位连成一排,现有3人就座,则恰有两个空座位相邻的不同坐法种数为    (C)

A.36 B.48 

C.72 D.96

解析　恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排3个人,然后插空,从而共有=72种不同的坐法。故选C。

类型四  定序问题消除法

　　【例4】　(1)用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数,若1,3,5,7的顺序一定,则有 210 个七位数符合条件; 

解析　若1,3,5,7的顺序不定,排法有=24(种),故1,3,5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的。故符合条件的七位数有=210(个)。